2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第13讲 切点弦问题含解析.docx

2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第13讲 切点弦问题一、解答题 1已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，M是椭圆上的动点，的最大面积为1（1）求椭圆的方程；（2）求证：过椭圆上的一点的切线方程为：；（3）设点P是直线上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由2已知抛物线C：y24x和直线l：x1.(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.3已知抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为.（1）求p的值.（2）过点（）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线过定点.4已知圆O：上的点到直线的最小距离为1，设P为直线上的点，过P点作圆O的两条切线PA、PB， 其中A、B为切点.（1）求圆O的方程；（2）当点P为直线上的定点时，求直线AB的方程.5已知点，动点满足记点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，证明：直线过定点6已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B（1）求抛物线C的方程；（2）证明直线过定点7过直线上的动点作抛物线的两切线，为切点.（1）若切线，的斜率分别为，求证：为定值；（2）求证：直线过定点.8已知圆，直线（1）若直线与圆交于不同的两点，当时，求的值；（2）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点9已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.10已知抛物线，直线，设为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.（1）当点在轴上时，求线段的长；（2）求证：直线恒过定点.11已知抛物线，设为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为、.（1）证明：动直线恒过定点；（2）设与（1）中的定点的连线交抛物线与、两点，证明.第13讲 切点弦问题一、解答题 1已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，M是椭圆上的动点，的最大面积为1（1）求椭圆的方程；（2）求证：过椭圆上的一点的切线方程为：；（3）设点P是直线上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）直线AB过定点.【分析】（1）当M是椭圆的短轴端点时，的面积最大，得到，再结合离心率及，可求得椭圆方程；（2）联立，得(*) ，又点在椭圆上得，即可将方程变形为，即直线和椭圆仅有一个公共点，可证得为椭圆的公切线.（3）设，切点，由切线方程可知，又P在切线上，可知直线AB的方程为：，可得直线AB过定点【详解】（1）M是椭圆上的动点 ，即时， ，即，又，椭圆的方程为 （2）证明：联立，得(*) 点在椭圆上，即， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点，为椭圆的公切线（3）设，切点，由（2）的结论可知，切线的方程分别为 ， 在切线上，都满足，即直线AB的方程为： 直线AB过定点.【点睛】思路点睛：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关2已知抛物线C：y24x和直线l：x1.(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）设Q(x，y)，则(x1)2x2y2，又y24x，解得Q；（2）设点(1，t)的直线方程为ytk(x1)，联立y24x，则0，得k2kt10，则切点分别为A，B，所以A，B，F三点共线，AB过点F(1，0)。试题解析：(1)设Q(x，y)，则(x1)2x2y2，即y22x1，由解得Q.(2)设过点(1，t)的直线方程为ytk(x1)(k0)，代入y24x，得ky24y4t4k0，由0，得k2kt10，特别地，当t0时，k±1，切点为A(1，2)，B(1，2)，显然AB过定点F(1，0).一般地方程k2kt10有两个根，k1k2t，k1k21，两切点分别为A，B，又20，与共线，又与有共同的起点F，A，B，F三点共线，AB过点F(1，0)，综上，直线AB过定点F(1，0).点睛：切点弦问题，本题中通过点P设切线，求得斜率k，再求出切点A，B，通过证明与共线，AB过点F(1，0)。一般的，我们还可以通过设切点，写出切线方程，直接由交点P，结合两点确定一条直线，写出切点弦直线方程，进而得到定点。3已知抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为.（1）求p的值.（2）过点（）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义列方程可得结果；（2）设过N的直线：，代入得，根据判别式等于0，得，代入可得，设，的斜率分别为，则，根据点斜式可得直线的方程，结合，可得结论.【详解】（1）曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离，（2）依题意，过点N的抛物线切线的斜率存在，故可设过N的直线：，代入得，因为直线与曲线C相切，则得，即所以，代入并化简得，解得，设，的斜率分别为，则所以，当时，直线的方程：即：即：直线过定点当时，即，则所在的直线为.过点综上可得，直线过定点.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与抛物线相切的问题，考查了直线方程的点斜式，考查了直线过定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题.4已知圆O：上的点到直线的最小距离为1，设P为直线上的点，过P点作圆O的两条切线PA、PB， 其中A、B为切点.（1）求圆O的方程；（2）当点P为直线上的定点时，求直线AB的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）圆上的点到直线的最小距离是圆心到直线的距离减去圆的半径，这样就求得了半径的值；（2）先设出两个切点坐标，有四个坐标变量来表示两条切线方程，两条切线都过点，整理出关系式，再表示出直线AB的方程，消去变量整理就得到了.试题解析：（1）圆心到直线的距离 （2）设 ， 由于，有那么直线AB：，即 考点：直线方程与圆的方程.5已知点，动点满足记点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，证明：直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得的方程；（2）设，利用导数得出切线的方程，由在切线上，从而可得直线的方程，由直线方程可得定点坐标【详解】（1）设，则，所以，可以化为，化简得所以，的方程为（2）由题设可设，由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，因为在上，所以，即，将代入得，所以直线的方程为同理可得直线的方程为因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，故直线过定点【点睛】关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由在切线上，根据直线方程的意义得出直线方程，然后得定点坐标6已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B（1）求抛物线C的方程；（2）证明直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由双曲线，求得，根据题意，得到，进而求得抛物线的方程；（2）设切线方程为，联立方程组，结合（1）和根与系数的关系，求得，得到设，进而得到直线的方程，即可求解【详解】（1）由题意，双曲线，可得焦点，因为抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，可得，解得，所以抛物线的方程为.（2）设，切线方程为，联立方程组，整理得（1）由，可得，设两条切线的斜率分别为，则，由（1）知等根为，设，则，所以直线的方程为：，化简得，即，所以直线过定点【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。7过直线上的动点作抛物线的两切线，为切点.（1）若切线，的斜率分别为，求证：为定值；（2）求证：直线过定点.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析【分析】（1）设切线的直线方程为，联立方程组，根据，结果根与系数的关系，即可求解；（2）设切点坐标，取得中点中点坐标为，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】（1）设过与抛物线相切的直线方程为，联立方程组，整理得，因直线与抛物线相切，所以，即，可得为定值.（2）设切点坐标为，即，可得的中点坐标为，且斜率为，所以的方程为，即，由（1）知，所以直线的方程为，可得直线过定点.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及直线过定点问题的求解，其中解答中联立方程组，合理应用一元二次方程性质，以及直线方程的形式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8已知圆，直线（1）若直线与圆交于不同的两点，当时，求的值；（2）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点【答案】（1）；（2）过定点.【分析】（1）根据可确定点到的距离；利用点到直线距离公式表示出点到的距离，由此构造方程求得的值；（2）由四点共圆可确定为圆与四点所共圆的公共弦；设，求得圆的方程后，两圆方程作差可求得方程，根据直线过定点的求法可确定所求定点.【详解】（1）由圆的方程知：圆心，半径，直线与圆交于不同的两点，若，则点到的距离，又直线方程为，则有，解得：； （2）由题意可知：，四点共圆且在以为直径的圆上，设，以为直径的圆的方程为：，即， 又在圆上，即为两个圆的公共弦所在的直线，则的方程为：，即，令，解得：，直线过定点.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆问题中的定点问题的求解，解题关键是确定直线为两圆公共弦所在直线，通过两圆方程作差即可求得公共弦所在直线方程.9已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.【答案】（1）；（2）直线是过定点【分析】（1）设点的坐标为，根据代入数据化简得到答案.（2）判断都在以为直径的圆上，圆方程为，联立得到，解得直线方程为得到答案.【详解】（1）设点的坐标为，由可得，整理可得，所以曲线的轨迹方程为. （2）依题意，则都在以为直径的圆上是直线上的动点，设则圆的圆心为，且经过坐标原点即圆的方程为 又因为在曲线上由，可得即直线的方程为由且可得，解得所以直线是过定点.·【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和转化思想.10已知抛物线，直线，设为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.（1）当点在轴上时，求线段的长；（2）求证：直线恒过定点.【答案】（1）4（2）直线过定点(1，2)【解析】分析：（1）设切点坐标，求导，利用导数的几何意义分别写出过两点的切线方程，再利用点是两切线交点进行求解；（2）由（1）写出直线的斜率，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，再利用直线的点斜式方程进行证明详解：（1）设，的导数为，以为切点的切线方程为，即，同理以为切点的切线方程为，在切线方程上，轴，（2）证明：设，由（1）得，由已知直线的斜率必存在，设的方程为，由得，由在直线上可得，则方程为，即，直线过定点(1,2)点睛：本题考查导数的几何意义、直线和抛物线的位置关系、直线恒过定点等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力11已知抛物线，设为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为、.（1）证明：动直线恒过定点；（2）设与（1）中的定点的连线交抛物线与、两点，证明.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设点、，利用导数求出直线、的方程，将点的坐标代入两切线方程，观察等式的结构，可求得直线的方程，进而可求得点所过定点的坐标；（2）分析出，设点、，写出直线的方程，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析出证明等价于证明，代入韦达定理计算即可.【详解】（1）设点、，对函数求导得，所以，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，将点的坐标代入直线、的方程得，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，由，解得，因此，直线恒过定点；（2）设点、，若，则轴，此时直线与抛物线只有一个交点.所以，直线的斜率为，则直线的方程为，即.联立，消去可得，则，由韦达定理可得，要证，即证，即证，事实上，.因此，.【点睛】方法点睛：求切点弦所在直线方程方法如下：写出曲线在切点处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程.第14讲 极点极线问题一、解答题 1已知椭圆M：（ab0）过A（2，0），B（0，1）两点（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点2若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，且试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由3如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为.设过点的直线，与此椭圆分别交于点，其中，（）设动点满足：，求点的轨迹；（）设，求点的坐标；（）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标5已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.6已知椭圆：的左焦点为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.7设椭圆过点，且左焦点为（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上8设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程9已知椭圆的左右顶点分别为点，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.10如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，.（1）求证：；（2）若直线PQ过定点，求证：.11已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.12椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，点，线的倾斜角为.（1）求椭圆的方程；（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.13已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点14设分别是椭圆的左右顶点，点为椭圆的上顶点.（1）若，求椭圆的方程；（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积.（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.15已知曲线.（1）若曲线C表示双曲线，求的范围；（2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围；（3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线.16已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点连接，过点作的垂线与直线交于点（1）求椭圆的方程，并求点的坐标；（2）求证：，三点共线17已知椭圆的左右顶点分别为A和B，离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过点M（1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P，Q两点，连接AP、BQ，直线AP与BQ交于点N，探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.18已知椭圆的左、右顶点分别为，为原点.以为对角线的正方形的顶点，在上.（1）求的离心率；（2）当时，过作与轴不重合的直线与交于，两点，直线，的斜率分别为，试判断是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.19已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.（1）求C的方程.（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.第14讲 极点极线问题一、解答题 1已知椭圆M：（ab0）过A（2，0），B（0，1）两点（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由已知两点坐标得，求得后可得离心率；（2）直线方程为，设（，），由三点共线求得点坐标（用点坐标表示），由共线求得点坐标（用点坐标表示），写出直线的方程，把代入化简对方程变形可得定点坐标【详解】解：（1）因为点，都在椭圆上，所以，所以所以椭圆的离心率（2）由（1）知椭圆的方程为，由题意知：直线的方程为设（，），因为三点共线，所以有，所以所以所以因为三点共线，所以，即所以所以直线的方程为，即又因为点在椭圆上，所以所以直线的方程为所以直线过定点【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点的坐标，得出直线方程，再由在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标2若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，且试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）直线l恒过定点.【分析】（1）待定系数法椭圆的标准方程；（2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，表示出，整理出直线过定点.【详解】（1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为；由题意知，所以，所以椭圆的标准万程为（2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知：，不满足，故直线l的斜率不为零设直线l的方程为，由，得：，因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，所以，整理得：，设、，则，因为，所以，整理得：，将，代入整理得：要使上式恒成立，只需，此时满足，因此，直线l恒过定点【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)；直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) 3如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.【详解】（1）由已知，点在椭圆E上.因此，解得.所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，则，即.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.则，由，有，解得或.所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.下面证明：对任意的直线，均有.当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.联立得.其判别式，所以，.因此.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.又，所以，即三点共线.所以.故存在与P不同的定点，使得恒成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.4在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为.设过点的直线，与此椭圆分别交于点，其中，（）设动点满足：，求点的轨迹；（）设，求点的坐标；（）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标【答案】（I）；（II）；（III）.【解析】试题分析：（I）设出点，利用坐标化简，得到点的轨迹；（II）由分别得出直线的方程为，直线的方程为，联立方程组即可求解点的坐标；（III）直线的方程为：，直线的方程为：，分别与椭圆的方程联立，由，求得，此时直线的方程为，过点，若，由，所以直线过点.试题解析：（）由题设得，设动点，由，代入化简得，.故点的轨迹为直线. （）由，得，则点，直线的方程为，由，得，则点，直线的方程为，由 （）由题设知，直线的方程为：，直线的方程为：，点满足；点满足；若，且，得，此时直线的方程为，过点；若，则，直线的斜率，直线的斜率，所以，所以直线过点.因此直线必过轴上一定点. 考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线的方程，直线的方程，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得，再由和，由，两种情况分别判定直线过定点.5已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：， ，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.（2）设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：， ，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点当时，直线：，直线过点故直线CD过定点【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.6已知椭圆：的左焦点为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a，再根据c求b（2）设根据直线与椭圆方程联立方程组解得，N坐标，再根据两点式求MN直线方程，化成点斜式，求出定点试题解析：(1)椭圆的一个焦点，则另一个焦点为, 由椭圆的定义知:，代入计算得 又, 所以椭圆的标准方程为 (2)设， 则直线，与联立，解得 同理 所以直线的斜率为= 所以直线 所以直线恒过定点，且定点坐标为点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7设椭圆过点，且左焦点为（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）根据椭圆的左焦点为，得到，再根据椭圆过点，代入椭圆方程求解.（2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程，由，化简得到，即，再代入直线参数方程求解.【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，设椭圆方程为，又因为椭圆过点，所以，解得所以椭圆方程为：；（2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程，得：由，得，即，则，点轨迹的参数方程是，则，所以点在定直线上【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及直线的参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程【答案】略【解析】略9已知椭圆的左右顶点分别为点，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知，解方程即可得，故椭圆的方程是.（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线，的交点的坐标是.当直线斜率存在时，设直线方程为，进而联立方程结合韦达定理得，直线的方程是，直线的方程是，进而计算得时的纵坐标，并证明其相等即可.【详解】解：（1）因为，椭圆离心率为，所以，解得，.所以椭圆的方程是.（2）若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.所以点的坐标是，点的坐标是.所以直线的方程是，直线的方程是.所以直线，的交点的坐标是.所以点在直线上.若直线的斜率存在时，如图.设斜率为.所以直线的方程为.联立方程组消去，整理得.显然.不妨设，所以，.所以直线的方程是.令，得.直线的方程是.令，得.所以分子.所以点在直线上.【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设，写出直线的方程是和直线的方程是，进而计算得时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.10如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，.（1）求证：；（2）若直线PQ过定点，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设，代入斜率公式求；（2）设直线的方程是，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设 ；（2）设直线的方程是，设 与椭圆方程联立， 得： ， ， ， ， ,由（1）可知，两式消去，解得：.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.11已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列出方程组，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结设，由椭圆的性质可得出，故而可得，当斜率不存在时，设，解出，当直线斜率存在时，设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出，得出与的关系，代入直线方程即可得定点.【详解】（1）因为，所以，即椭圆的方程为（2）连结设则因为点在椭圆上，所以因为，所以当斜率不存在时，设，不妨设在轴上方，因为，所以（ii）当斜率存在时，设，即，所以因为所以，即或当时，恒过定点，当斜率不存在亦符合:当，过点与点重合，舍去.所以直线恒过定点【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，点，线的倾斜角为.（1）求椭圆的方程；（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b，可得椭圆的方程.（2）设，设过的动直线：，代入椭圆的方程得： ，由韦达定理得：，再由，及，三点共线，化简可得证明点在定直线上.【详解】（1），由题意，所以椭圆的方程.（2）设，过的动直线：，代入椭圆的方程得：，得：，分别由，及，三点共线，得：，两式相除得：，得：，即在直线上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.13已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由，得到，再由点在该椭圆上，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）设的方程为，联立方程组求得，再由的的方程，联立方程组，求得，结合斜率公式，进而得到直线过定点.【详解】（1）由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，可得，所以，又点在该椭圆上，所以，所以， 所以椭圆C的标准方程为（2）由于的斜率为，设的方程为，联立方程组，整理得，所以，所以，从而，即，同理可得：由于的斜率为，则，联立方程组，可得，即，所以，所以，从而，即，当时即；时，过点，当时，即，所以直线过点，综上可得，直线过点.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.14设分别是椭圆的左右顶点，点为椭圆的上顶点.（1）若，求椭圆的方程；（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积.（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）计算得，代入解方程即可得，故可得椭圆的方程；（2）设另一焦点为，则轴，计算出点坐标，计算即可；（3）设点P的坐标为，直线：，与椭圆方程联立，由韦达定理计算得出，同理可得，分，两种情况表示出直线方程，从而确定出定点.【详解】（1），解得即椭圆的方程为.（2）椭圆的方程为，由题