2022年解析几何知识点总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点解析几何学问点总结第一部分 :直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 1定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角；2范畴：（0,180）2.斜率：直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.k=tan（1）.倾斜角为 90° 的直线没有斜率；（2）.每一条直线都有唯独的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于 x 轴时,其斜率不存在 ,这就打算了我们在争论直线的有关问题时,应考虑到 斜率的存在与不存在 这两种情形,否就会产生漏解；（3）设经过 A（x1,y1）和 B（x2,y2）两点的直线的斜率为 K,就当 X1 X2 时, k=tan =Y1-Y2/X1-X2；当 X1=X2时, =90° ；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P（ x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角 ）求直线的方程用点斜式：y-y0=kx-x0 留意：当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x=x0；2.斜截式：如已知直线在 y 轴上的截距（直线与 y 轴焦点的纵坐标）为 b ,斜率为 k ,就直线方程： y=kx+b；特殊地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx 留意：正确懂得“截距 ” 这一概念,它具有 方向性,有正负之分,与“ 距离” 有区分；3.两点式：如已知直线经过（yy 1xx 1；y2y 1x 2x 1x1,y1）和（ x2,y2）两点,且（ X1 X2,y1 y2）就直线的方程：留意：不能表示与x 轴和 y 轴垂直的直线；y 1y2y 1xx 10时, 方程可以适应在于当两点式方程写成如下形式x 2x 1y任何一条直线 ；4 截距式：如已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a,b（a 0,b 0）就直线方程：xy1；ab留意： 1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线；2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为 程可设为 x-y=a 5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：个二元一次方程都表示一条直线；三、两条直线的位置关系x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方 Ax+By+C=0；（A,B 不同时为零） ；反之,任何一名师归纳总结 位置关系l l1: :y yk 1 xk 2 xb 1b 2l l1: :A 1 xA 2 xB 1 yB 2 yC 1C20 0第 1 页,共 10 页22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 平行k1k名师总结b 1b精品学问点A 1B 1C 1A1B2-A2B1=0 2,且2A 2B 2C2重合k1k2,且b 1b2或l l1: :A 1 xA 2 xB 1 yB 2 yA 1B 1C 10k2或A 2B2C2相交k 1k2A 1B 1A 2B 2垂直k 1k21A 1A 2B 1B2设两直线的方程分别为：l l1: :y yk 1 xk 2 xb 1b 2C 1C20 0；当k122A 1B 2A2B 1时它们相交, 交点坐标为方程组y yk 1k 2x xb 1b 2或A 1A 2x xB 1 yB 2 yC 1C20 0解；五、点到直线的距离公式：1. 点 PX0,Y0 到直线 L: Ax+By+C=0的距离为：d|Ax 0ABy 0C|；|；2B22. 两平行线 L1: Ax+By+C1=0,L2: Ax+By+C2=0的距离为：d|C 1C 22 AB2六、直线系：（1）设直线 L1: A1x+B1y+C1=0,L2: A2x+B2y+C2=0,经过L1,L2的交点的直线方程为A 1 x B 1 y C 1 A 2 x B 2 y C 2 0（除去 L2）；如：Y=kx+1y-1-kx=0 ,即也就是过 y-1=0 与 x=0 的交点 0,1 除去 x=0 的直线方程；直线 L: （m-1）x+（2m-1）y=m-5 恒过一个定点；（2）和 L: Ax+By+C=0平行的直线为 Ax+By+C1=0（3）与 L: Ax+By+C=0垂直的直线为 Bx-Ay+C1=0；七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点 称点 （2c-a,2d-b ）直线关于点的对称：A（a.b ）关于 C（c,d ）的对、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再 由两点式求出直线方程；、求出一个对称点,在利用L1/L2由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等；求出直线方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如：求与已知直线l1:2x3名师总结0精品学问点1 对称的直线2l 的方程；y6关于点P ,1（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数；、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐 标公式求解；如：求点A 3 ,5 关于直线l:3x4y40对称的坐标；直线关于直线对称： （设a,b关于 l 对称）、如 a.b 相交,就 a 到 L 的角等于 b 到 L 的角；如 a L,就 b L,且 a.b 与 L 的距 离相等；、求出a 上两个点A,B关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程；、设Px,y为所求直线直线上的任意一点,就 P 关于 l 的对称点P 的坐标适合 a 的方程；如：求直线a:2xy40关于l:3x4y10对称的直线 b 的方程；其次部分：圆与方程2.1 圆的标准方程：xa2yb2r2圆心C a,b ,半径 rr 的圆的方程是：x2y2r2. 特例：圆心在坐标原点,半径为2.2 点与圆的位置关系：名师归纳总结 1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：y0b2r24F. 0且第 3 页,共 10 页1点在圆上d=r ；2点在圆外dr ；3点在圆内dr 2.给定点Mx0y0及圆C:xa2yb2r2. M 在圆 C 内x 0a2y0b2r2 M 在圆 C 上（x0a2 M 在圆 C 外x0a2y 0b 2r22.3 圆的一般方程：x2y2DxEyF0. D2E2当D2E24F0时,方程表示一个圆,其中圆心CD,E,半径rB02AC22当D2E24F0时,方程表示一个点D,E. 22且当D2E24F0时,方程无图形（称虚圆）. 注：（ 1 ）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - D2E24AF0. 名师总结精品学问点圆的直径系方程：已知AB是圆的直径A x1,y1B x2,y2xx 1xx2yy1yy20xa 2yb2r2的位置关系有三2.4 直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆种, d 是圆心到直线的距离,； （3）dAaA2BbCB2相切01dr相离dr0；2dr相交0；2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r 1,r2,O 1O2d；外切3 条公切线；（1）dr1r2外离4条公切线；（2）dr1r2r 1r2内切1 条公切线（3）r 1r2dr 1r2相交2 条公切线；（4）d（5）0dr 1r 2内含无公切线；内含外离外切相交内切2.6 圆的切线方程 ：直线与圆相切的性质：1圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）过肯定点做圆的切线要分成两种情形：点在圆上和点在圆外；如点在圆上就切线只有一条,利用性质（2）可求切线斜率,再点斜式写出切线方程；如点在圆外就切线有两条,用性质（1）来求出切线斜率,此时留意切线斜率是否存在的分类争论；2.7 圆的弦长问题：半弦L 、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形,满意勾股定理：2L2R2d22第三部分 : 椭圆一椭圆及其标准方程名师归纳总结 1椭圆的定义： 平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数2 aF 1F 2的点的轨迹叫做椭第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆,即点集M=P| |PF名师总结精品学问点1|+|PF 2|=2a ,2a|F 1F2|=2c ；这里两个定点 F1,F2 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c；（2 a F 1 F 2 2 c 时为线段 F 1F 2,2 a F 1 F 2 2 c 无轨迹）；2标准方程：c 2 a 2 b 2焦点在 x 轴上：a x 22 b y2 21（ab0）； 焦点 F（± c,0）焦点在 y 轴上：a y 22 b x2 21（ ab0）； 焦点 F（0, ± c）留意：在两种标准方程中,总有 ab0,a 2b 2c 2并且椭圆的焦点总在长轴上；2 2一般形式表示：x y1 或者 mx 2 ny 2 1 m 0 , n ,0 m n m n二椭圆的简洁几何性质： 1. 范畴（1）椭圆x2y21（ ab0） 横坐标 -a xa , 纵坐标 -b xb a2b2（2）椭圆y2x21（ab0） 横坐标 -b xb, 纵坐标 -a x a a2b2 2.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ,0）,A2（a,0）,B1（0,-b ）,B2（0,b）（2）线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长； 4 离心率名师归纳总结 我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c,即c 称为椭圆的离心率,a第 5 页,共 10 页2a记作 e（0e1）,2 ec21b2a2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结; 精品学问点e 越接近于 0 （e 越小）,椭圆就越接近于圆e 越接近于 1 （e 越大）,椭圆越扁；5椭圆的的内外部（1）点P x0,y0在椭圆2 xy21 ab0的内部x 0 2y 0 211. 2a2b2a2b（2）点P x0,y0在椭圆2 xy21 ab0的外部2 x 02 y 0. a2b2a2b26. 几何性质（1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）AB2 b2：SMF1F 2b2tan2其中a（ 2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）F 1MF27 直线与椭圆的位置关系：1 判定方法 : 联立直线方程与椭圆方程消的符号判定位置关系：0 有两个交点 相交0 相切 有一个交点0 相离 没有交点y 或 x 得到关于 x 的一元二次方程,依据判别式2 弦中点问题 :（用点差法解决） 斜率为 k 的直线 l 与椭圆2 xm 2y21m,0n0 ,mn n2交于两点A x 1,y 1、Bx 2,y2M（x 0, y0）是 AB的中点,就：k ABn2x 02 my 03 弦长公式：AB（x 1kx 2）y 1y22x 1x 2（12）x 1x 224第四部分：双曲线名师归纳总结 双曲线标准方程（焦点在x轴）标准方程（焦点在y 轴）第 6 页,共 10 页x2y21 a0,b0y2x21 a,0b0a2b2a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第肯定义：平面内与两个定点名师总结精品学问点F F 2）的点的F ,F 的距离的差的肯定值是常数（小于轨 迹 叫 双 曲 线 ； 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 , 两 焦 点 的 距 离 叫 焦 距 ；定义MMF 1MF22a2aF 1F 2yyxxPy yxxF 2范畴F 1F 2F 1Pxa , yRya , xR对称轴x轴 ,y轴；实轴长为2a , 虚轴长为 2b对称中心原点O0,0F 20, F 10,cF 1c ,0F 2 ,0焦点坐标顶点坐标焦点在实轴上,ca22 b；焦距：F F 22 c）（a,0 ） a ,0 0, a , 0, a 离心率ece1 AB2b2a（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）a重要结论（2）焦点三角形：SMF 1F 2b22b2cot2tan渐近线ybxxb ay方程a共 渐 近 线x2y2k（k0）y2x2k（k0的 双 曲 线a2b2a2b2系方程 补充学问点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长 =半虚轴长；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）其标准方程为x2y2C名师总结精品学问点其中 C 0；（3）离心率 e 2；（4）渐近线：两条渐近线 y=± x 相互垂直；第五部分：抛物线学问点总结图象y22px p0y2y 2px p0x22py p0 x22pypl 0 l y l y y 定义范畴对称性焦点O F x F O x O F x O x F l 平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线；MMF=点 M到直线 l 的距离 x0,yRx0,yRxR y0xR y0关于 x 轴对称关于 y 轴对称p ,0 2p,0 0,p 20,p 22焦点在对称轴上名师归纳总结 顶点xx 1ppAFxppO0,0yy 1ppAFypp第 8 页,共 10 页离心率e=1 准线方程22p22焦点到准线的距离AFx 1AFy 1焦半径A x 1,y 12222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点弦长名师总结精品学问点ABx 1x 2px 1x 2py 1y2py 1y2p1. 直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,消 y 得：（1）当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点；（2）当 k 0 时, 0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点； =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点； 0,直线 l 与抛物线相离,无公共点；（3）如直线与抛物线只有一个公共点, 就直线与抛物线必相切吗.（不肯定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l ：ykxb抛物线, p0x 1x2,x 1x 2, 仍 可 进 一 步 求 出联立方程法：b20y2kxbk2x22kbpxy2px0 , 以 及2, 就 有设 交 点 坐 标 为Ax 1y 1,Bx2yy 1y2kx 1bkx 2bkx 1x 22 bb2,y 1y2kx 1b kx 2bk2x 1x 2kbx 1x2在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如名师归纳总结 a.相交弦 AB的弦长k2x 1x224x 1x211k22aa第 9 页,共 10 页AB1k2x 1x21或AB11y 1y 211y 1y 224y 1y2kk2k2b. 中点Mx 0y 0, x 0x 12x 2,y0y 12y2点差法：2y2,代入抛物线方程,得设交点坐标为Ax 1y1,Bx2 y 12px 1y 222 px 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点将两式相减,可得y 1y2y 1y22px 1x 2,是y 1y 22px 1x 2y 1y 2a.在涉及斜率问题时,kABy 12p2yb.在涉及 中点 轨迹 问题时,设线 段AB的中 点为Mx 0y0y 1y 22p22pp,x 1x 2y 1y2y0y0即k ABp,y 0同理,对于抛物线x22pyp0 ,如直线 l 与抛物线相交于A、B两点,点Mx 0y0弦 AB 的中点,就有k ABx 1x 22x0x 02p2pp（留意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点,2）直线的斜率存在,且不等于零）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页