伯努利不等式及其应用.docx

Bernoulli不等式及其应用席华昌(山西师大临汾学院数计系，山西省临汾市 041000)摘 要：使用均值不等式及实数的稠密性推证Bernoulli不等式，并将其应用于证明极限、连续、单调以及其它不等式与判别级数敛散性.关键词：Bernoulli不等式、极限、连续、单调、不等式、级数.中图分类号：O178众所周知，Bernoulli不等式在?数学分析?中占有非常重要的地位。本文由均值不等式及实数稠密性出发推导Bernoulli不等式，并举例说明其在分析中的一些巧妙之应用.一、 Bernoulli不等式设 rR+，且-1<x0，那么 (A)分析与证明 先证明 (1+x)r<1+rx, (0<r<1). 当rQ+时，设r= (n、mN，n、m互质且n<m)，由均值不等式有： 当rR+-Q+时，假设x>0，取有理数列rn，使对任意自然数n，有r<rn<1，且，那么有<1+rnx, 令n，得 (1+x)r1+rx ；假设 -1<x<0，取有理数列rn，使对任意自然数n，有0<rn<r，且，那么有<1+rnx , 令n，得 +rx ,下证 (1+x)r<1+rx. 取0<z<minr,1-r，那么 r±z0，1，那么 (1+x)r=(1+x)r·1=(1+x)r·<由前面的关系式可得：从而 .再证明 (1+x)r>1+rx ( r>1).当1+rx0时，(1+x)r>01+rx ；当1+rx>0时，(1+rx)<1+rx=1+x, (1+x)r>1+rx .为应用方便，(A)式常常也写成： (AA)二、Bernoulli不等式的应用1、极限方面的应用例1 求证 (a>1,k>0均为常数).证明 由于 a>1, 可记 (>0 ) ，那么所以，对，要使，只需 ，即 ，于是取 N，那么 当n>N时，便有，即 .注：本极限中k取不同值时可得不同的极限式。1、 函数连续性方面的应用例2 证明指数函数f(x)=ax (0<a1) 在R上连续。证明 先证 .对 有1=a0<ax1+(a-1)x由于 ,所以 由迫敛法那么 .又，即 f(x)=ax在x=0处连续；再证 f(x)=ax在R上连续对，有=所以 f 在x0处连续，由的任意性，f 在R上连续。2、 不等式方面的应用例3 证明不等式 .证明 由于是单增趋于e的数列，从而，于是 ,因此，只需证明 成立即可.当n=1时，显然 ;设 n=k时，有k!<成立，两端同乘(k+1)，得(k+1)!<(k+1)=又 有 代入式，有(k+1)!<由数学归纳法知 (nN) 成立. n!.3、 单调性方面的应用例4 讨论函数 的单调性.分析与解 讨论函数 令 由A式得： 两边同时x2次方.即,函数在0，上严格增.论函数 令 由A式得， 两边同时x2+1次方 .从而 ，即,函数在0，上严格减.注：这两个函数的单调性还可以利用导数进展讨论，上面使用这种方法也适用于讨论数列与的单调性.4、 级数敛散性方面的应用例5判断级数 的敛散性.解 记 . 那么.由达朗贝尔判别法，级数收敛.注：该级数更一般的形式是：讨论函数项级数的敛散性.由上面几方面的应用可以看出：在解决一些数学问题时，假设能充分考虑到Bernoulli不等式的特点及其变形，便能到达妙题巧解，出奇制胜之效果.参考资料1、数学分析 纪乐刚2、数学分析经典习题解析 孙 涛附：041000 山西师大临汾学院数计系 副教授 席华昌 地 址 临汾市尧都区鼓楼南18号本文发表于高等数学研究,2005,4(8):42-44.并列入高等数学研究论文范例被以下四篇论文引用：也谈Bernoulli不等式的证明与应用?高等数学研究? 2006年 第6期  苏灿荣 禹春福 合肥工业大学贝努利不等式的高阶推广和数值验证?内江师范学院学报? 2007年 第6期  石勇国 陈志强 吕晓亚 内江师范学院Bernoulli不等式的控制证明及推广?北京联合大学学报：自然科学版? 2021年 第2期  石焕南 北京联合大学教授分数布朗运动的局部时及相关过程的随机分析?华东理工大学? 2021年陈超 博士论文第 5 页