用极限定义证明极限.doc

例1、用数列极限定义证明：上面的系列式子要想成立，需要第一个等号与不等号1、2、3均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号1成立的条件是2<n；不等号2成立的条件是7<n；不等号3成立的条件是，即n>2；不等号4成立的条件是，故取N=max7, 。这样当n>N时，有n>7，。因为n>7,所以等号第一个等号、不等式1、2、3能成立；因为，所以不等式4能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时，。在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或的方法，因此，对于具体的数，可把它放大为knk为大于零的常数的形式例2、用数列极限定义证明：不等号1成立的条件是,故取N=max4, ,那么当n>N时，上面的不等式都成立。注：对于一个由假设干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一局部。如：例3、，证明数列an的极限是零。证明：，欲使成立由不等式解得：，由于上述式子中的等式与不等号1对于任意的正整数n都是成立的，因此取，那么当n>N时，不等号2成立，进而上述系列等式与不等式均成立，所以当n>N时，。在上面的证明中，设定，而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如假设不设定，那么就有可能不是正整数，例如假设2，那么此时N1，故为了符合数列极限的定义，先设定，这样就能保证N是正整数了。那么对于大于1的，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当0.5时，有对应的N1，当n>N1时，0.5成立。因此，当nN1时，对于任意的大于1的，以下式子成立：0.51，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N，那么对于较大的就自然能找到对应的N。第 2 页