2022年线性代数期末试题及参考答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数期末试卷及参考答案一、单项挑选题（每道题 3 分,共 15 分）1以下矩阵中,（）不是初等矩阵；0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2（A）1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 D 0 0 12设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,就以下向量组中线性无关的是（）；（A）1 2 , 2 3 , 3 1（B）1 , 2 , 3 1（C）1 , 2 ,2 1 3 2（D）2 , 3 ,2 2 33设 A 为 n 阶方阵,且 A 2A 5 E 0；就 A 2 1（）1 A E 1 A E A A E B E A C 3 D 34设A为 m n 矩阵,就有（）；（A）如 m n,就 Ax b 有无穷多解；（B）如 m n,就 Ax 0 有非零解,且基础解系含有 n m 个线性无关解向量；（C）如 A 有 n阶子式不为零,就 Ax b 有唯独解；（D）如 A 有 n阶子式不为零,就 Ax 0 仅有零解；5如 n 阶矩阵 A,B 有共同的特点值,且各有（）n 个线性无关的特点向量,就（A）A 与 B 相像（ B）A B ,但 |A-B|=0 （C）A=B （D）A 与 B 不肯定相像,但 |A|=|B| 二、判定题 正确填 T,错误填 F；每道题 2 分,共 10 分 1A 是 n阶方阵,R ,就有0AA；（）1A1；（）,就AB1B2A,B 是同阶方阵,且AB1 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3假如 A 与 B 等价,就 A 的行向量组与 B 的行向量组等价； 4如A,B均为 n阶方阵,就当AB时,A,B肯定不相像； 1,2,3也线性相关；（）5n 维向量组1,2,3,4线性相关,就三、填空题（每道题4 分,共 20 分）012n1A3, 就A1=_,3A*；1n0；2 A 为 3 阶矩阵,且满意1021112234423向量组1 ,5 ,7 ,0 是线性（填相关或无关）的,它的一个极大线性无关组是；4 已知1,2,3是四元方程组Axb的三个解,其中 A 的秩R A =3,114243234A4 ,4,就方程组Axb的通解为；2311a15设503,且秩 A=2,就 a=；四、运算以下各题（每道题1211已知 A+B=AB ,且A342n A ；122,求矩阵 B；2. 设1, 1, 1,1, 1,1,1, 1,而AT,求2 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1x 2ax 31x 1x 22x 313. 已知方程组 x 1 ax 2 x 3 a 2有无穷多解,求4. 求一个正交变换将二次型化成标准型a 以及方程组的通解；fx 1,x 2,x 32 x 122 x 22 2 x 34x 1x 24x 1x 38x2x 35 A,B 为 4 阶方阵, AB+2B=0,矩阵 B 的秩为 2 且| E+A|=|2 E- A|=0 ；（1）求矩阵 A 的特点值；（ 2）A 是否可相像对角化？为什么？；（3）求 | A+3E| ；五证明题（每题 5 分,共 10 分）；BA 是否为对称矩阵？证明你的结 1如 A 是对称矩阵, B 是反对称矩阵,AB 论；2设A为m n矩阵,且的秩R A 为 n,判定T A A是否为正定阵？证明你的结论；3 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数试卷解答一、1（ F）（AnA）2（ T）3（ F）；如反例：A100,B000；0100100000014（ T）（相像矩阵行列式值相同）5（ F）二、1选 B；初等矩阵肯定是可逆的；2选 B；A 中的三个向量之和为零,明显 A 线性相关； B 中的向量组与 1,2 ,3 等价 , 其秩为 3,B 向量组线性无关； C、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合, C、D 中的向量组线性相关；3选 C ；由 A 2A 5 E 0 A 2A 2 E 3 E A 2 E A E 3 E ,1 1A 2 E A E 3 ；4选 D；A 错误,由于 m n,不能保证 R A R A b ；B 错误,Ax 0 的基础解系含有 n R A 个解向量； C 错误,由于有可能 R A n R A b | n 1,Ax b 无解； D 正确,由于 R A n；5 选 A ； A 正 确 , 因 为 它 们 可 对 角 化 , 存 在 可 逆 矩 阵 P Q , 使 得1 1PAP diag 1 , 2 , , n QBQ,因此 A B 都相像于同一个对角矩阵；三、 11 1n .（按第一列绽开）n23 1；3 （5 3 A = 3 A ）3 24 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3相关（由于向量个数大于向量维数）；1,2,4；由于3212,A|124| 0；4T；由于RA3,原方程组的导出组的基41234Tk2022321,由原方程组的通解可表为导出础解系中只含有一个解向量,取为组的通解与其一个特解之和即得；5a6（RA2A0四、1解法一：ABABAE BABAE1A；将 AE 与 A 组成一E| AE1A ；01个矩阵AE|A ,用初等行变换求021121100001332342332342AE A =121122 r 1r3121122100001100001032341011222r23 ,3r 1021121r 2r 3021121100001100001011222011222r 32 r 20013253r001325100001001010103B103r2r 3001325；故325；BA解法二：ABABAE BAE1A ；0211010AE1332113BAE1A103121326,因此325；5 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1111T 1 1 1 1A1 1 1 12解：1 1 1 1,A 2 4 A,n T T T T T T T n 1 T n 1A 4 4 A ；3解法一：由方程组有无穷多解,得 R A R A b | 3,因此其系数行列式1 1 a| A | 1 1 2 01 a 1；即 a 1 或 a 4；当 a 1 时,该方程组的增广矩阵1 0 1 121 1 1 1 0 1 3 02 A b | 1 1 2 10 0 0 01 1 1 1于是 R A R A b | 2 3,方程组有无穷多解；分别求出其导出组的一个T基础解系 2 1 32 1,原方程组的一个特解 1 0 0 T,故 a 1 时,方程T1 0 0 Tk 1 3 1组有无穷多解,其通解为 2 2,1 1 4 1 1 1 4 1 A b 1 1 2 1 0 2 2 0当 a 4 时 增 广 矩 阵 1 4 1 1 6 0 0 0 1 5,R A 2 R A b | 3,此时方程组无解；解法二：第一利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形；6 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11a111a111a1A b | 1121022a0022a011a1a20a11aa210011a4a a22由于 该 方 程 组 有无 穷多 解 ,得R AR A b | 3； 因 此1 1 2a a42a,即1 a0 1；求通解的方法与解法一相同；4解：第一写出二次型的矩阵并求其特点值；二次型的矩阵122|AE|13222 27A224224242,122422 ,7 ；因此得到其特点值为再求特点值的特点向量；解方程组 A 2 E x 0,得对应于特点值为 1 2 2 的两个线性无关的特T T征向量 1 2 1 0,2 2 0 1；解 方 程 组 A 7 E x 0 得 对 应 于 特 征 值 为 3 7 的 一 个 特 征 向 量T3 1 2 2；T T T再 将 1 2 1 0,2 2 0 1 正 交 化 为 p 1 2 1 0,Tp 2 2 4 15 5；T最终将 p 1 2 1 0 T,p 25 2 45 1,3 1 2 2 T单位化后组成2 5 2 5 15 15 35 4 5 25 15 35 20的 矩 阵 即 为 所 求 的 正 交 变 换 矩 阵 3 3, 其 标 准 形 为7 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - f22 y 12y27y2；235 解 ： （ 1 ） 由E0A2EA0知 -1 , 2为 A 的 特 征 值 ；B,故-2 为 A 的特点值,又 B 的秩为 2,即特点值 -2AB2B0A2 E有两个线性无关的特点向量,故A 的特点值为 -1,2,-2,-2；（2）能相像对角化；由于对应于特点值-1,2 各有一个特点向量,对应于特点值-2 有两个线性无关的特点向量,所以 A有四个线性无关的特点向量,故 A可相像对角化；（3）A3E的特点值为 2,5,1,1；故A3 E=10；五、 1ABBA为对称矩阵；证明：ABBATABTBAT=BTATATBT=BAAB=ABBA,所以ABBA为对称矩阵；ATA为 对 称矩阵 ； 对 任 意的 n 维 向 量0 , 由2T AA为正定矩阵；证 明 ： 由ATATT AA知RAn得A0,TT AA=A20,由定义知A TA是正定矩阵；8 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页