word打印版衡中2020版二轮复习 数学练习题学案含答案和解析第1部分 专题2 第4讲讲导数的综合运用.doc

第一部分专题二第四讲A组1函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则下列结论成立的是(A)Aa>0，b<0，c>0，d>0Ba>0，b<0，c<0，d>0Ca<0，b<0，c>0，d>0Da>0，b>0，c>0，d<0解析由图象知f(0)d>0，因为f(x)3ax22bxc0有两个不相等的正实根，所以a>0，>0，所以b<0，又f(0)c>0，所以a>0，b<0，c>0，d>02若存在正数x使2x(xa)<1成立，则a的取值范围是(D)A(，)B(2，)C(0，)D(1，)解析2x(xa)<1，a>x令f(x)x，f(x)12xln2>0f(x)>f(0)011，a的取值范围为(1，)，故选D3(文)(2019·昆明市高三摸底调研测试)若函数f(x)2xx21，对于任意的xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为(D)A(，1B(，0C(，4D(，5解析对任意的xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，可转化为对任意的xZ且x(，a)，2xx21恒成立令g(x)2x，h(x)x21，当x<0时，g(x)<h(x)，当x0或1时，g(x)h(x)，当x2或3或4时，g(x)<h(x)，当x5时，g(x)>h(x)综上，实数a的取值范围为(，5，故选D(理)已知函数yf(x)是R上的可导函数，当x0时，有f(x)>0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是(B)A0B1C2D3解析由F(x)xf(x)0，得xf(x)，设g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)，因为x0时，有f(x)>0，所以x0时，>0，即当x>0时，g(x)f(x)xf(x)>0，此时函数g(x)单调递增，此时g(x)>g(0)0，当x<0时，g(x)f(x)xf(x)<0，此时函数g(x)单调递减，此时g(x)>g(0)0，作出函数g(x)和函数y的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数F(x)xf(x)的零点个数为1个4(文)已知x1是函数f(x)ax3bxlnx(a>0，bR)的一个极值点，则lna与b1的大小关系是(B)Alna>b1Blna<b1Clnab1D以上都不对解析f(x)3ax2b，x1是函数f(x)的极值点，f(1)3ab10，即3a1b令g(a)lna(b1)lna3a2(a>0)，则g(a)3，g(a)在(0，)上递增，在(，)上递减，故g(a)maxg()1ln3<0故lna<b1(理)已知函数f(x)ln(exex)x2，则使得f(2x)>f(x3)成立的x的取值范围是(D)A(1,3)B(，3)(3，)C(3,3)D(，1)(3，)解析函数f(x)ln(exex)x2，f(x)2x，当x>0时，f(x)>0，f(x)单调递增，当x<0时，f(x)<0，f(x)单调递减，当x0时，f(x)0，f(x)取最小值，f(x)ln(exex)x2是偶函数，且在(0，)上单调递增，f(2x)>f(x3)等价于|2x|>|x3|，整理，得x22x3>0，解得x>3或x<1，使得f(2x)>f(x3)成立的x的取值范围是(，1)(3，)，故选D5设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(x)0，当x<0时，f (x)g(x)>f(x)g(x)，且f(3)0，则不等式<0的解集是_(，3)(0,3)_解析因为f(x)和g(x)(g(x)0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)因为当x<0时，f (x)g(x)f(x)g(x)>0，当x<0时，>0，令h(x)，则h(x)在(，0)上单调递增因为h(x)h(x)，所以h(x)为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h(x)在(0，)上单调递增，因为f(3)f(3)0，所以h(3)h(3)0h(x)<0的解集为(，3)(0,3)6已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是_解析解得<m<07定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f (x)存在，且导函数f(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f (x)，即f (x)f(x)定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f (x)>0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数，则x的取值范围是_(，)_解析f(x)x3x21，f (x)3x23x，f (x)6x3.令f (x)>0，即6x3>0，解得x>x的取值范围是(，)8已知f(x)lnxax，aR(1)讨论函数f(x)的单调性(2)若函数f(x)的两个零点为x1，x2，且e2，求证：(x1x2)f (x1x2)>解析(1)函数f(x)lnxax的定义域为x|x>0，所以f (x)a若a0，则f (x)>0，f(x)在(0，)内单调递增若a<0，则f (x)a，由f(x)>0，得0<x<，f(x)在(0，)内单调递增；由f (x)a<0，得x>，f(x)在(，)内单调递减(2)证明：lnx1ax10，lnx2ax20，lnx2lnx1a(x1x2)(x1x2)f (x1x2)(x1x2)(a)a(x1x2)lnln令te2，令(t)lnt，则(t)>0，(t)在e2，)内单调递增，(t)(e2)1>1(x1x2)f(x1x2)>9某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3 700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)(提示：利润产值成本)(2)问：年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么解析(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23 240x5 000(xN*，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3 275(xN*，且1x19)(2)P(x)30x290x3 24030(x12)(x9)，因为x>0，所以P(x)0时，x12，当0<x<12时，P(x)>0，当x>12时，P(x)<0，所以x12时，P(x)有极大值，也是最大值即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大(3)MP(x)30x260x3 27530(x1)23 305所以，当x1时，MP(x)单调递减所以单调减区间为1,19MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少B组1对于R上可导的任意函数f(x)，若满足0，则必有(A)Af(0)f(2)>2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)<2f(1)Df(0)f(2)2f(1)解析当x<1时，f (x)<0，此时函数f(x)递减；当x>1时，f (x)>0，此时函数f(x)递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，则f(0)f(2)>2f(1)故选A2已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(B)A(，0)B(0，)C(0,1)D(0，)解析f(x)x(lnxax)，f (x)lnx2ax1，故f (x)在(0，)上有两个不同的零点，令f (x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需0<2a<10<a<3(文)已知函数f(x)ax2bxlnx(a>0，bR)，若对任意x>0，f(x)f(1)，则(A)Alna<2bBlna2bClna>2bDlna2b解析f (x)2axb，由题意可知f (1)0，即2ab1，由选项可知，只需比较lna2b与0的大小，而b12a，所以只需判断lna24a的符号构造一个新函数g(x)24xlnx，则g(x)4，令g(x)0，得x，当x<时，g(x)为增函数；当x>时，g(x)为减函数，所以对任意x>0有g(x)g()1ln4<0，所以有g(a)24alna2blna<0lna<2b.故选A(理)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2.若f(x1)x1<x2，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数为(A)A3B4C5D6解析f (x)3x22axb，原题等价于方程3x22axb0有两个不等实数根x1，x2，且x1<x2，x(，x1)时，f (x)>0，f(x)单调递增；x(x1，x2)时，f (x)<0，f(x)单调递减；x(x2，)时，f (x)>0，f(x)单调递增x1为极大值点，x2为极小值点方程3(f(x)22af(x)b0有两个不等实根，f(x)x1或f(x)x2f(x1)x1，由图知f(x)x1有两个不同的解，f(x)x2仅有一个解故选A4已知函数f(x)2ax33ax21，g(x)x，若任意给定的x00,2，总存在两个不同的xi(i1,2)0,2，使得f(xi)g(x0)成立，则实数a的取值范围是(A)A(，1)B(1，)C(，1)(1，)D1,1解析当a0时，显然不成立，故排除D；当a>0时，注意到f(x)6ax26ax6ax(x1)，即f(x)在0,1上是减函数，在1,2上是增函数，又f(0)1<g(0)，当x00时，结论不可能成立；进一步，可知a<0，此时g(x)在0,2上是增函数，且取值范围是，同时f(x)在0x1时，函数值从1增大到1a，在1x2时，函数值从1a减少到14a，所以“任意给定的x00,2，总存在两个不同的xi(i1,2)0,2，使得f(xi)g(x0)成立”，当且仅当即解得a<15已知yf(x)为R上的连续可导函数，且xf (x)f(x)>0，则函数g(x)xf(x)1(x>0)的零点个数为_0_解析因为g(x)xf(x)1(x>0)，g(x)xf (x)f(x)>0，所以g(x)在(0，)上单调递增又g(0)1，yf(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，)上的连续可导函数，所以g(x)>g(0)1，所以g(x)在(0，)上无零点6已知函数f(x)，g(x)(x1)2a2，若当x>0时，存在x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是_(，)_解析由题意得存在x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，等价于f(x)ming(x)max因为g(x)(x1)2a2，x>0，所以当x1时，g(x)maxa2因为f(x)，x>0，所以f(x)所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)e又g(x)maxa2，所以a2ea或a故实数a的取值范围是(，)7(2019·武汉市武昌区调研考试)已知函数f(x)lnx，aR(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明f(x)解析(1)f(x)(a>0)当a0时，f (x)>0，f(x)在(0，)上单调递增当a>0时，若x>a，则f(x)>0，函数f(x)在(a，)上单调递增；若0<x<a，则f (x)<0，函数f(x)在(0，a)上单调递减(2)证明：由(1)知，当a>0时，f(x)minf(a)lna1要证f(x)，只需证lna1，即证lna10令函数g(a)lna1，则g(a)(a>0)，当0<a<1时，g(a)<0，当a>1时，g(a)>0，所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以g(a)ming(1)0所以lna10恒成立，所以f(x)8(文)设函数f(x)(1x2)ex(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解析(1)f (x)(12xx2)ex令f (x)0得x1或x1当x(，1)时，f (x)<0；当x(1，1)时，f (x)>0；当x(1，)时，f (x)<0所以f(x) 在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex当a1时，设函数h(x)(1x)ex，则h(x)xex<0(x>0)，因此h(x)在0，)上单调递减而h(0)1，故h(x)1所以f(x)(x1)h(x)x1ax1当0<a<1时，设函数g(x)exx1，则g(x)ex1>0(x>0)，所以g(x)在0，)上单调递增而g(0)0，故exx1当0<x<1时，f(x)>(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)>ax01当a0时，取x0，则x0(0,1)，f(x0)>(1x0)(1x0)21ax01综上，a的取值范围是1，)(理)已知函数f(x)ax2axxlnx，且f(x)0(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2<f(x0)<22解析(1)f(x)的定义域为(0，)设g(x)axalnx，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1若a1，则g(x)1当0<x<1时，g(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g(x)>0，g(x)单调递增所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0综上，a1(2)证明：由(1)知f(x)x2xxlnx，f (x)2x2lnx设h(x)2x2lnx，则h(x)2当x(0，)时，h(x)<0；当x(，)时，h(x)>0所以h(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增又h(e2)>0，h()<0，h(1)0，所以h(x)在(0，)上有唯一零点x0，在，)上有唯一零点1，且当x(0，x0)时，h(x)>0；当x(x0,1)时，h(x)<0；当x(1，)时，h(x)>0因为f (x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点由f (x0)0，得lnx02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0(0，)得f(x0)<因为xx0是f(x)在(0,1)上的最大值点，由e1(0,1)，f (e1)0得f(x0)>f(e1)e2所以e2<f(x0)<22