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24.3 解直角三角形（二）一、课前预习 (5分钟训练)1.在ABC中，已知C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )A.3 B.4 C.5 D.62.如图1，在ABC中,C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cosADC=，则BD的长是( )A.4 B.3 C.2 D.1 图1 图3.如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=_，AD=_.（用根号表示）二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A. B. C. D.2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为_.3.如图3，已知在ABC中，AB4，AC6，ABC45°，求BC长及tanC. 图34.如图，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（的近似值取1.7，结果保留1位小数） 图5.如图，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影BC顶部B的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号） 图三、课后巩固(30分钟训练)1.如图6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物CD的高度为( )A.a B.atan C.a(sincos) D.a(tantan) 图6 图72.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图7），他测得CB=10米，ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为_米.（注：树垂直于地面；供选用数据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.2）3.某片绿地的形状如图8所示，其中A=60°，ABBC，ADCD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，1.732） 图84.如图9，在ABC中，B=30°,C=45°,AC=2,求AB和BC. 图95.如图10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据=1.414 21，=1.732 05） 图106.如图11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:1.732) 图117.如图12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米） 图128.如图13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,=2.449,=1.732,=1.414) 图13参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在ABC中，已知C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )A.3 B.4 C.5 D.6解析：AC=BC·tanB=6.答案：D2.如图28221，在ABC中,C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cosADC=，则BD的长是( )图28221A.4 B.3 C.2 D.1解析：求BD需求BC,而BC=AD,在RtADC中,已知一角一边,可求出AD.在RtADC中，CD=3，且cosADC=，AD=5,BC=AD=5.BD=2.答案：C3.如图2822，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=_，AD=_.（用根号表示）图2822解析：在RtABD中,A=60°，CD=5，AC=,AD=.答案: 二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A. B. C. D.解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，其底角的余弦值为.答案：C2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为_.解析：搞清观察方向，可以借助示意图来解决.答案:南偏西15°或西偏南75°3.如图28223，已知在ABC中，AB4，AC6，ABC45°，求BC长及tanC.图28223分析：作BC边上的高AD，构造直角三角形.在RtADB中已知一角一边，可求得AD、BD，在RtADC中由勾股定理求出CD.解：过点A作ADBC于D,在RtABD中，B45°，sinB=,AD=AB·sinB=4·sin45°=4×=,BD=.在RtADC中，AC=6,由勾股定理得DC=,BC=BD+DC=,tanC=.4.如图2822，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（的近似值取1.7，结果保留1位小数）图2822解：设EF为x米，在RtAEF中,AFE=60°，AE=EF·tan60°=x，在RtAGE中,AGE=45°，AE=GE·tan45°=GE=8+x.x=8+x.解之,得x=4+4.AE=12+418.8.AB=20.4(米).答:旗杆AB高20.4米.5.如图2822，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影BC顶部B的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图2822解RtAEB与RtAEB,得AE与BE、EB的关系，解关于x的方程可求得答案.解：设树高BC=x(m)，过A作AEBC于E，在RtABE中，BE=x2,BAE=30°,cotBAE=,AE=BE·cotBAE=(x2)·= (x2).BAE=45°,AEBC.BE=AE=(x2).又BE=BC+EC=BC+AD=x+2,(x2)=x+2.x=(4+2)(m).答：树高BC为(4+2) m.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28226，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物CD的高度为( )图28226A.a B.atan C.a(sincos) D.a(tantan)解析:过D点作AB的垂线交AB于E点，在RtADE中,ADE=,DE=a,AE=a·tan. 在RtABC中,ACB=,BC=a,AB=a·tan.CD=ABAE=a·tana·tan.答案:D2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28227），他测得CB=10米，ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为_米.（注：树垂直于地面；供选用数据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.2）图28227解析:AB=BC·tanC=12(米).答案:123.某片绿地的形状如图28228所示，其中A=60°，ABBC，ADCD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，1.732）图28228解：延长AD，交BC的延长线于点E，在RtABE中，A=60°，AB=200 m，BE=AB·tanA= (m).AE=400(m).在RtCDE中，CED=30°，CD=100 m，DE=CD·cotCED=(m),CE=200m.AD=AEDE=400227(m),BC=BECE=200146(m).4.如图28229，在ABC中，B=30°,C=45°,AC=2,求AB和BC.图28229解：作三角形的高AD.在RtACD中,ACD=45°,AC=2,AD=CD=.在RtABD中,B=30°,AD=，BD=，AB=.CB=BD+CD=+.5.如图282210，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据=1.414 21，=1.732 05）图282210解：在RtABD中,BD=80米，BDA=60°，AB=BD·tan60°=803138.56（米）.RtAEC中,EC=BD=80,ACE=45°，AE=CE=80(米).CD=ABAE58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.6.如图282211,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:1.732)图282211解:继续向东行驶,有触礁的危险.过点C作CD垂直AB的延长线于D,CAB=30°,CBD=60°,BCD=30°.设CD的长为x,则tanCBD=,BD=x.tanCAB=tan30°=.x=.x5.2<6.继续向东行驶,有触礁的危险.7.如图282212，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图282212解：（1）如图，在RtABC中，AC=AB·sin44°=5sin44°3.473.在RtACD中，AD=6.554.ADAB=6.55451.55.即改善后的台阶会加长1.55米,（2）如图，在RtABC中，BC=ABcos44°=5cos44°3.597.在RtACD中，CD=5.558，BD=CDBC=5.5583.5971.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.8.如图282213,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,=2.449,=1.732,=1.414)图282213解：设OA的长为x，由于点C在点A的北偏西45°的方向上，OC=OA=x.根据题意,得tan30°=+12.AC2=x2+x2AC=,AC46（海里）.答：该艇的速度是46海里/时. 13