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椭圆的基本性质强化训练（解析版）椭圆的基本性质强化训练（解析版）1、(2022淮北质检)设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，F2，以 F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与 E 交于 P，Q两点若PF1F2为直角三角形，则 E 的离心率为()A.21B.512C.22D.21解析：不妨设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，如图所示，因为PF1F2为直角三角形，所以PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，所以|PF2|2 2c，所以|PF1|PF2|2c2 2c2a，所以椭圆 E 的离心率 eca 21.故选 A.2、(2022宿州质检)已知椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，焦距为 2c，直线 l：y24x 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若|AB|2c，则椭圆 C 的离心率为()A.32B.34C.12D.14解析：选 A.设直线与椭圆在第一象限的交点为 A(x，y)，则直线 y24x.由|AB|2c，可知|OA|x2y2c，即x2（24x）2c，解得 x2 2c3，y13c，即 A(2 23c，13c)，把点 A 的坐标代入椭圆方程，得 8e418e290，即(4e23)(2e23)0，所以 e32.3、(多选)(2022海南模拟)设椭圆x29y231 的右焦点为 F，直线 ym(0m 3)与椭圆交于 A，B 两点，则()A.|AF|BF|为定值B.ABF 的周长的取值范围是6，12C.当 m32时，ABF 为直角三角形D.当 m1 时，ABF 的面积为 6解析：设椭圆的左焦点为 F，则|AF|BF|，|AF|BF|AF|AF|6 为定值，A 正确；ABF 的周长为|AB|AF|BF|，因为|AF|BF|为定值 6，|AB|的取值范围是(0，6)，ABF 的周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将 y32与椭圆方程联立，可解得 A3 32，32，B3 32，32，又F(6，0)，AFBF63 3263 323220，AFBF，ABF 为直角三角形，C 正确；将 y1 与椭圆方程联立，解得 A(6，1)，B(6，1)，SABF122 61 6，D 正确.4、(2021高考全国卷乙)设 B 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的上顶点，若 C 上的任意一点 P 都满足|PB|2b，则 C 的离心率的取值范围是()A.22，1B.12，1C.0，22D.0，12解析：选 C.依题意，B(0，b)，设椭圆上一点 P(x0，y0)，则|y0|b，x20a2y20b21，可得 x20a2a2b2y20，则|PB|2x20(y0b)2x20y202by0b2c2b2y202by0a2b24b2.因为当 y0b 时，|PB|24b2，所以b3c2b，得 2c2a2，所以离心率 eca22，故选 C.5、(2021重庆诊断)已知椭圆 C：16x24y21，则下列结论正确的是()A.长轴长为12B.焦距为34C.短轴长为14D.离心率为32解析：把椭圆方程 16x24y21 化为标准方程可得x2116y2141，所以 a12，b14，c34，则长轴长 2a1，焦距 2c32，短轴长 2b12，离心率 eca32，故选 D.6、(2021新高考卷)已知 F1，F2是椭圆 C：x29y241 的两个焦点，点 M 在 C 上，则|MF1|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.6解析：由椭圆 C：x29y241，得|MF1|MF2|236，则|MF1|MF2|MF1|MF2|22329，当且仅当|MF1|MF2|3 时等号成立.7、(2022广东六校联考)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆 E于 A，B 两点，若线段 AB 的中点坐标为(1，1)，则椭圆 E 的方程为()A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291解析：由题意可知，椭圆 E 的半焦距 c3，所以 a2b29.因为直线 AB 经过点(1，1)，F(3，0)，所以 kAB101312.设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减，得（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b20.因为线段 AB 的中点坐标为(1，1)，所以 x1x22，y1y22，且 kABy1y2x1x212，所以b2a212，即 a22b2.由，得 b29，a218，所以椭圆 E 的方程为x218y291.8、(2022山东德州模拟)1970 年 4 月 24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章 人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为 2a，2c，则下列结论不正确的是()A卫星向径的取值范围是ac，acB卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小解析：选 C.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是ac，ac，A 正确；当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的向径长度更大，由面积守恒规律，时间更长，B 正确；acac1e1e21e1，当比值越大，e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确9、(2021全国乙卷)设 B 是椭圆 C：x25y21 的上顶点，点 P 在 C 上，则|PB|的最大值为()A52B 6C 5D2解析：设点 P(x，y)，则根据点 P 在椭圆x25y21 上可得 x255y2易知点 B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2x2(y1)255y2(y1)24y22y62542y122当 2y120，即 y14(满足|y|1)时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max52故选 A10、(2018课标全国)已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF2，且PF2F160，则 C 的离心率为(D)A132B2 3C312D 31解析：设|PF2|x，则|PF1|3x，|F1F2|2x，故 2a|PF1|PF2|(1 3)x,2c|F1F2|2x，于是离心率 eca2c2a2x1 3x 31.11、(2017全国)椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，点 P 在 C 上，|F2P|2，F1F2P23，则 C 的长轴长为(D)A2B2 3C2 3D22 3解析：椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，则 c1，|PF2|2，|PF1|2a|PF2|2a2，由余弦定理可得|PF1|2|F1F2|2|PF2|22|F1F2|PF2|cos23，即(2a2)24422212，解得 a1 3，a1 3(舍去)，2a22 3，故选 D12、(2021河北省衡水中学调研)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为(B)A13B12C23D34解析：不妨设直线 l：xcyb1，即 bxcybc0椭圆中心到 l 的距离|bc|b2c22b4eca12，故选 B13、(2021全国高考)设 B 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的上顶点，若 C 上的任意一点 P 都满足|PB|2b，则 C 的离心率的取值范围是(C)A22，1B12，1C0，22D0，12解析：设 P(x0，y0)，由 B(0，b)，因为x20a2y20b21，a2b2c2，所以|PB|2x20(y0b)2a21y20b2(y0b)2c2b2y0b3c2 2b4c2a2b2，因为by0b，当b3c2b，即 b2c2时，|PB|2max4b2，即|PB|max2b，符合题意，由 b2c2可得 a22c2，即 0b，即 b2b0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为(A)A63B33C23D13解析：由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a.又直线 bxay2ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 d2aba2b2a，解得 a 3b，ba13，ecaa2b2a1ba2113263.故选 A15、(2021云南昆明模拟)ABC 为等腰三角形，且C90，则以 A，C 为焦点且过点 B 的椭圆的离心率为(D)A32B22C 31D 21解析：由题意ABC 为等腰三角形，且C90，可知：ABC 是等腰直角三角形，且：BC2c，AC2c，AB2 2c，由椭圆的定义可知：2 2c2c2a，则椭圆的离心率：eca121 21.故选 D16、设 B 是椭圆 C：x25y21 的上顶点，点 P 在 C 上，则|PB|的最大值为()A.52B.6C.5D2解析：选 A.设点 P(x，y)，则根据点 P 在椭圆x25y21 上可得 x255y2.易知点 B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2x2(y1)255y2(y1)24y22y6254(2y12)2.当 2y120，即 y14(满足|y|1)时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max52.17、(2022广东华附、省实、广雅、深中联考)设 F1，F2分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，若在直线 xa2c上存在点 P，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是()A.0，22B.0，33C.22，1D.33，1解析：设 Pa2c，m，F1(c，0)，F2(c，0)，由线段 PF1的中垂线过点 F2得|PF2|F1F2|，即a2cc2m22c，得 m24c2a2cc2a4c22a23c20，即 3c42a2c2a40，得 3e42e210，解得 e213，又 0e1，故33e1.18、(2022晋中新一双语学校模拟)设 F1，F2同时为椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)与双曲线 C2：x2a21y2b211(a10，b10)的左、右焦点，设椭圆 C1与双曲线 C2在第一象限内交于点 M，椭圆 C1与双曲线 C2的离心率分别为 e1，e2，O 为坐标原点，若|F1F2|2|MO|，则1e211e22()A2 2B.2C.32D2解析：选 D.如图，设|MF1|m，|MF2|n，焦距为 2c，由椭圆定义可得 mn2a，由双曲线定义可得 mn2a1，解得 maa1，naa1.当|F1F2|2|MO|时，则F1MF290，所以 m2n24c2，即 a2a212c2，由离心率的公式可得1e211e222.19、过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上顶点.若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是()A.0，55B.55，1C.0，22D.22，1解析：由题设知，直线 l：xcyb1，即 bxcybc0，以 AB 为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将 xc 代入椭圆 C 的方程，得 yb2a，即圆的半径 rb2a.又圆与直线 l 有公共点，所以2bcb2c2b2a，化简得 2cb，平方整理得 a25c2，所以 eca55.又 0e1，所以 0e55.20、(2022苏北四市调研)椭圆 G：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点为 F1(c，0)，F2(c，0)，M 是椭圆上一点，且满足F1MF2M0.则椭圆离心率 e 的取值范围为()A.0，22B.0，22C.22，1D.22，1解析：法一设点 M 的坐标为(x0，y0)，F1MF2M0，F1(c，0)，F2(c，0)，(x0c)(x0c)y200，即 x20y20c2.又知点 M 在椭圆 G 上，x20a2y20b21，由联立结合 a2b2c2解得 x20a2（c2b2）c2，由椭圆的性质可得 0 x20a2，即a2（c2b2）c20，a2（c2b2）c2a2，即c2b2，c2b2c2，所以 c2b2，又知 b2a2c2，c2a2c2，即 2c2a2，解得 e212，又知 0e1，22e1.法二椭圆 G 上存在点 M 使F1MF2M0，MF1MF2，即MF1F2是以 M 为直角顶点的直角三角形，|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，(|MF1|MF2|)22(|MF1|2|MF2|2)2|F1F2|28c2，|MF1|MF2|2 2c，e|F1F2|MF1|MF2|2c2 2c22，当且仅当|MF1|MF2|2c 时，等号成立，又知 0eb0)的下顶点，M，N 在椭圆上，若四边形 OPMN 为平行四边形，为直线 ON 的倾斜角，若6，4，则椭圆 C 的离心率的取值范围为()A.0，63B.0，32C.63，32D.63，2 23解析：因为 OPMN 是平行四边形，所以 MNOP 且 MNOP，故 yNa2，代入椭圆方程可得 xN3b2，所以 kON3a3btan.又6，4，所以333a3b1，所以 a 3b，a23(a2c2)，解得 0ca63，故选 A.23、已知点 F1，F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，点 M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF1MF2|的最小值是()A4B6C8D10解析：设 M(x0，y0)，F1(3，0)，F2(3，0)则MF1(3x0，y0)，MF2(3x0，y0)，所以MF1MF2(2x0，2y0)，|MF1MF2|4x204y20425（1y2016）4y2010094y20，因为点 M 在椭圆上，所以 0y2016，所以当 y2016 时，|MF1MF2|取最小值为 8.故选 C.24、设 A，B 是椭圆 C：x23y2m1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足AMB120，则 m 的取值范围是()A(0，19，)B(0，3 9，)C(0，14，)D(0，3 4，)解析：当 0m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即3m 3，解得 0m1.当 m3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即m3 3，解得 m9.故 m 的取值范围为(0，19，)25、(2022郴州模拟)已知椭圆 E 的中心为原点，焦点在 x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为 2 22，离心率为22，则椭圆 E 的方程为_.解析：椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为 2 22，离心率为22，可得ac2 22，ca22，a2 2，c2，从而 b24，椭圆 E 的方程为x28y241.26、(2022安徽省蚌埠市二模)通过研究发现：点光源 P 斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点 F1(如图所示)，如图是底面边长为 2、高为 3 的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源 P 位于 AD 的中点处时，则在平面 A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是_解析：从 P 作 PMA1D1于 M 点，在平面 POM 内作球截面圆的切线 PN，交平面 A1B1C1D1于 N 点，则在平面 POM 内形成的图形如图所示由题意得 PM3，OQMF1MQ1，故 PQ2，tanQPO12tanMPN212112243，则 MNPMtanMPN3434，根据题目条件知，F1是椭圆焦点，MN 是长轴，即 2a4，MF1ac1，则 a2，c1，离心率 e12.27、(2021山西怀仁期末)已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且F1PF260，则椭圆离心率的取值范围_12，1_.解析：由题意可知当 P 为椭圆短轴端点时OPF1OPF230，即bc 3，即3cb，3c2a2c2，c2a214，即 e12，又 0e1，12eb0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求 C 的离心率；(2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围解：(1)连接 PF1(图略)由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|3c，于是 2a|PF1|PF2|(31)c，故 C 的离心率为 eca 31(2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当12|y|2c16，yxcyxc1，x2a2y2b21，即 c|y|16，x2y2c2，x2a2y2b21由及 a2b2c2得 y2b4c2又由知 y2162c2，故 b4由及 a2b2c2得 x2a2c2(c2b2)，所以 c2b2，从而 a2b2c22b232，故 a4 2当 b4，a42时，存在满足条件的点 P所以 b4，a 的取值范围为4 2，)32、(2022青岛调研)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，若椭圆上一点 P 与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆 E 的离心率；(2)如图，若直线 l 与椭圆相交于 A，B，且 AB 是圆(x1)2(y1)25 的一条直径，求椭圆 E 的标准方程.解(1)由题意不妨设椭圆上的点 P 的坐标为a2，a2，代入椭圆方程可得14a24b21，即 a23b2，a23b23(a2c2)，2a23c2，e63.(2)由(1)得椭圆 E 的方程为x23b2y2b21，易知直线 l 的斜率存在，设其方程为 yk(x1)1，A(x1，y1)，B(x2，y2).yk（x1）1，x23y23b2(3k21)x26k(k1)x3(k1)23b20.x1x26k（k1）3k21，x1x23（k1）23b23k21.又 x1x22，k13，x1x2169b24，则|AB|1k2（x1x2）24x1x210344169b242 5，b2103，则 a210，椭圆 E 的标准方程为x210y21031.