(完整版)高中数学不等式知识点总结.pdf

弹性学制数学讲义弹性学制数学讲义不等式（不等式（4 4 课时）课时）知识梳理知识梳理1 1、不等式的基本性质、不等式的基本性质（对称性）a b b a（传递性）a b,b c a c（可加性）a b ac bc（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd（可积性）ab,c 0 acbcab,c 0 acbc（同向正数可乘性）a b 0,c d 0 ac bd（异向正数可除性）a b 0,0 c d abcdnna b 0 a b(nN,且n 1)（平方法则）nn（开方法则）a b 0a b(nN,且n 1)a b 0（倒数法则）2 2、几个重要不等式、几个重要不等式1111;a b 0 ababa2b2 2aba，bR,（当且仅当a b时取号）.变形公式：a2b2ab.2ababa，bR2（基本不等式）,（当且仅当a b时取到等号）.abab.2变形公式：ab 2 ab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.2abc3abc(a、bcR)（当且仅当3（三个正数的算术几何平均不等式）a b c时取到等号）.a2b2c2 abbccaa，bR（当且仅当a b c时取到等号）.333a b c 3abc(a 0,b 0,c 0)（当且仅当a b c时取到等号）.若则ab 0,ba 2ab（当仅当 a=b 时取等号）ba 2ab（当仅当 a=b 时取等号）若则ab 0,bb ma na1m 0n 0)aa mb nb，（其中a b 0，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.当时，或a 0 x a x2 a2 x ax a;x a x2 a2 a x a.绝对值三角不等式3 3、几个著名不等式、几个著名不等式a b ab a b.2aba2b2ab 11（a,bRab22平均不等式：，当且仅当a b时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222aba b(ab)22ab;a b.2222幂平均不等式：a12a22.an21(a1a2.an)2.n二维形式的三角不等式：x12 y12x22 y22(x1 x2)2(y1 y2)2(x1,y1,x2,y2R).二维形式的柯西不等式：22222(a b)(c d)(acbd)(a,b,c,d R).当且仅当ad bc时，等号成立.三维形式的柯西不等式：(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.一般形式的柯西不等式：(a12a22.an2)(b12b22.bn2)(a1b1a2b2.anbn)2.向量形式的柯西不等式：,设,是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数k，使 k时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设a1 a2.an,b1 b2.bn为两组实数.c1,c2,.,cn是b1,b2,.,bn的任一排列，则a1bna2bn1.anb1 a1c1a2c2.ancn a1b1a2b2.anbn.（反序和乱序和顺序和），当且仅当a1 a2.an或b1 b2.bn时，反序和等于顺序和.琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1 x2),有f(x1 x2f(x1)f(x2)或22f(x1 x2f(x1)f(x2).22则称 f(x)为凸（或凹）函数.4 4、不等式证明的几种常用方法、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：131(a)2(a)2;242舍去或加上一些项，如将分子或分母放大（缩小），22121111,22k(k 1)kk(k 1)2 kk kkk k 1如k12(kN*,k 1)kk k 1等.5 5、一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解法2ax bxc 0(或 0)求一元二次不等式(a 0,b24ac 0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6 6、高次不等式的解法：穿根法、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0 f(x)g(x)0g(x)“或”时同理）（规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f(x)g(x)0f(x)0 g(x)g(x)0f(x)0f(x)a(a 0)2f(x)af(x)0f(x)a(a 0)2f(x)af(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或f(x)g(x)2g(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)2f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当a 1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)f(x)当0 a 1时,a ag(x)f(x)g(x)规律：根据指数函数的性质转化.1010、对数不等式的解法、对数不等式的解法当a 1时,f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)当0 a 1时,规律：根据对数函数的性质转化.1111、含绝对值不等式的解法：、含绝对值不等式的解法：a(a 0)a.a(a 0)定义法：平方法：f(x)g(x)f2(x)g2(x).同解变形法，其同解定理有：x a a x a(a 0);x a x a或x a(a 0);f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)规律：关键是去掉绝对值的符号.1212、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.1313、含参数的不等式的解法、含参数的不等式的解法解形如ax bxc 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.1414、恒成立问题、恒成立问题不等式ax bxc 0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当a 0时 b 0,c 0;22a 0 0.当a 0时2ax bxc 0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：不等式当a 0时 b 0,c 0;a 0 0.当a 0时 f(x)max a;f(x)a恒成立f(x)a恒成立 f(x)max a;f(x)min a;f(x)a恒成立f(x)a恒成立 f(x)min a.1515、线性规划问题、线性规划问题常见的目标函数的类型：“截距”型：z Ax By;z“斜率”型：yybz;x或xa22z x2 y2;z x y“距离”型：或22z (xa)2(yb)2或z(xa)(yb).在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.