年龙门高三数学 第四篇第三节 等比数列自主复习课件（文） 北师大.ppt

第三第三节节等比数列等比数列2021/8/8 星期日1考考纲纲点点击击1.1.理解等比数列的概念理解等比数列的概念.2.2.掌握等比数列的通掌握等比数列的通项项公式与前公式与前n n项项和和公式公式.3.3.能在具体的能在具体的问题问题情境中情境中识别识别数列的等数列的等比关系，并能用有关知比关系，并能用有关知识识解决相解决相应应的的问问题题.4.4.了解等比数列与指数函数的关系了解等比数列与指数函数的关系.热热点提示点提示1.1.以定以定义义及等比中及等比中项为项为背景，考背景，考查查等比等比数列的判定数列的判定.2.2.以考以考查查通通项项公式、前公式、前n n项项和公式和公式为为主，主，同同时时考考查查等差、等比数列的等差、等比数列的综综合合应应用用.3.3.以以选择选择、填空的形式考、填空的形式考查查等比数列的等比数列的性性质质.2021/8/8 星期日2等比数列等比数列定定义义如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项项起，每一起，每一项项与它的与它的前一前一项项的的比比等于同一个常数，那么等于同一个常数，那么这这个数个数列就叫做等比数列列就叫做等比数列.通通项项公式公式a an n 前前n n项项和和公式公式S Sn n1、等比数列、等比数列a a1 1q qn n1 12021/8/8 星期日3等比等比中中项项设设a a，b b为为任意两个同号的任意两个同号的实实数，数，则则a a，b b的的等比中等比中项项G G .性性质质.(1)(1)若若a am m，a an n是公比是公比为为q q的等比数列的任意的等比数列的任意两两项项，则则a an n .(2)(2)设设m m，n n，k k，l lN*且且m mn nk kl l，则则 .(3)(3)设设等比数列等比数列aan n 的公比的公比为为q q，则则数列数列aa2n2n 仍仍为为等比数列，公比等比数列，公比为为 .(4)(4)设设等比数列等比数列aan n 的公比的公比为为q q，则则a ak k，a ak km m，a ak k2m2m，(k(k，m mN*)仍仍为为等比数列，公等比数列，公比比为为 .a am mqqn nm ma am maan na ak kaal l.q q2 2q qm m2021/8/8 星期日4性性质质.(5)(5)设设等比数列等比数列aan n 的公比的公比为为q q，则则数列数列kakan n(k(k为为常数常数)仍仍为为等比数列，公比等比数列，公比为为 .(6)(6)设设数列数列aan n，bbn n 为为等比数列，公比分等比数列，公比分别别为为q q1 1，q q2 2，则则aan nbbn n 也也为为等比数列，公比等比数列，公比为为 q qq q1 1q q2 22021/8/8 星期日5b b2 2=ac=ac是是a,b,ca,b,c成等比的什么条件？成等比的什么条件？提示：b2=ac是a,b,c成等比的必要不充分条件，当b=0,a,c至少有一个为零时，b2=ac成立，但a,b,c不成等比，反之，若a,b,c成等比，则必有b2=ac.2021/8/8 星期日62 2等比数列等比数列项项的取的取值值及及变变化化(1)等比数列an中，公比q0，an0.(2)设等比数列an中，a10，则当公比q 时，数列an为递增数列；当公比q 时，数列an为递减数列(3)设等比数列an中，a10，则当公比q 时，数列an为递增数列；当公比q 时，数列an为递减数列(4)设等比数列an中，若公比q0，则该数列各项之间的符号关系为一正一负或一负一正(1(1，)(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)(1(1，)2021/8/8 星期日71设a12，数列an1是以3为公比的等比数列，则a4的值为()A80B81C54 D53【解析解析】由已知得an1(a11)qn1，即an133n13n，an3n1，a434180.【答案答案】A2021/8/8 星期日82在等比数列an中，前n项和为Sn，若S37，S663，则公比q的值是()A2 B2C3 D3【解析解析】方法一：依题意，q1，得1q39，q38，q2.2021/8/8 星期日9方法二：(a1a2a3)q3a4a5a6，而a4a5a6S6S356，7q356，q38，q2.【答案答案】A3关于数列3,9，729，以下结论正确的是()A此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列B此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列C此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列D此数列能构成等差数列，也能构成等比数列【解析解析】由等差数列和等比数列的定义验证该数列3,9，729可知是公差为6的等差数列也可以是公比为3的等比数列【答案答案】D2021/8/8 星期日104在数列an，bn中，bn是an与an1的等差中项，a12，且对任意nN*，都有3an1an0，则bn的通项公式bn_.【解析解析】由已知得an是以2为首项，以 为公比的等比数列，an2()n1，an12()n，2bnanan12()n12()n，bn .【答案答案】2021/8/8 星期日115设数列1，(12)，(12222n1)，的前n项和为Sn，则Sn_.【解析解析】由已知得数列的通项an 2n1，Sn(2222n)n n2n1n2.【答案答案】2n1n22021/8/8 星期日12 (2009年广州模拟)在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明：数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn；(3)证明：不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立【思路点思路点拨拨】证明一个数列是等比数列常用定义法，即 q，对于本例(1)适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明2021/8/8 星期日13【自主探究自主探究】(1)由题设an14an3n1得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.所以数列an的前n项和Sn .(3)对任意的nN*，(3n2n4)0.所以不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立2021/8/8 星期日14【方法点方法点评评】等比数列的判定方法有：1定义法：若 q(q为非零常数)或 q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列2中项公式法：若数列an中，an0且an12anan2(nN*)，则数列an是等比数列3通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN*)，则an是等比数列4前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列2021/8/8 星期日15【特特别别提醒提醒】(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可1已知数列an中，Sn是它的前n项和，且Sn14an2(nN*)，a11，设bnan12an，求证：数列bn是等比数列2021/8/8 星期日16【证证明明】Sn14an2Sn24an12得an24an14an，an22an12(an12an)，又bnan12an，bn12bn，S24a126，a2S2a15，b1a22a130，bn是以3为首项，以2为公比的等比数列2021/8/8 星期日17 设数列bn的前n项和为Sn，且bn22Sn；数列an为等差数列，且a514，a720.(1)求数列bn的通项公式；(2)若cnanbn(nN*)，Tn为数列cn的前n项和，求证：Tn .2021/8/8 星期日18【自主探究自主探究】(1)由bn22Sn，得b122S1，又S1b1，所以b1 ，由bn22Sn得bn122Sn1得bn1bn2bn1，3bn1bn，即 ，2021/8/8 星期日192021/8/8 星期日202021/8/8 星期日21【方法点方法点评评】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程【特特别别提醒提醒】在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式2021/8/8 星期日222设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40，前2n项和为3 280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项【解析解析】若q1，则na140,2na13 280，矛盾q1，2021/8/8 星期日23得1qn82，qn81 将代入得q12a1 又q0，q1，a10，an为递增数列ana1qn127 由、得q3，a11，n4.a2na81372 187.已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再往后3n项的和2021/8/8 星期日24【思路点思路点拨拨】由已知条件，根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程，应能解出a1和q关于n的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思路，问题就会变得简单，也可采用等比数列的性质使问题简化【自主探究自主探究】方法一：利用等比数列的性质由已知a1a2an2，an1an2a2na2n1a2n2a3n12.注意到(a1a2an)，(an1an2a2n)，(a2n1a2n2a3n)，(a3n1a3n2a4n)，2021/8/8 星期日25也成等比数列，其公比为qn，于是，问题转化为已知：A12，A1qnA1q2n12，要求A1q3nA1q4nA1q5n的值由A12，A1qnA1q2n12，得q2nqn60，则qn2或qn3.由A1q3nA1q4nA1q5nA1q3n(1qnq2n)2q3n714q3n .2021/8/8 星期日26方法二：利用求和公式如果公比q1，则由于a1a2an2，可知an1a3n4，与已知不符，q1，由求和公式，得式除以式得qn(1qn)6，q2nqn6，解得qn2或qn3.又再往后3n项的和S ，2021/8/8 星期日27【方法点方法点评评】等比数列的性质可以分为三类：1.通项公式的变形，2.等比中项的变形，3.前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口2021/8/8 星期日283已知数列an是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求等比数列an的通项公式【解析解析】设符合题设的等比数列an中的连续三项为am，am1，am2，则am1amq，am2am1q(q为公比)，两式相减，得q ，又am1am(kt)d，即am1am(kt)d，同理am2am1(pk)d(d为公差)，故q ，所求的通项公式为an 2021/8/8 星期日291(2009年宁夏海南高考)等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a11，则S4()A7B8C15 D16【解析解析】不妨设数列an的公比为q，则4a1,2a2，a3成等差数列可转化为2(2q)4q2，得q2.S4 15.【答案答案】C2021/8/8 星期日302(2009年辽宁高考)设等比数列an的前n项和为Sn，若()A2 B.C.D3【解析解析】设数列an的公比为q，则 =1q33，所以 ，故选B.【答案答案】B2021/8/8 星期日313(2009年广东高考)已知等比数列an满足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1()An(2n1)B(n1)2Cn2 D(n1)2【解析解析】设等比数列an的首项为a1公比为q，a5a2n522n(n3)，a1q4a1q2n622n，即a12q2n222n(a1qn1)222n(an)2(2n)2，an0，an2n，a2n122n1，log2a1log2a3log2a2n1log22log223log222n113(2n1)nn2，故选C.【答案答案】C2021/8/8 星期日324(2009年浙江高考)设等比数列an的公比q ，前n项和为Sn，则 _.【解析解析】q3q2q11842115.【答案答案】155(2009年江苏高考)设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.2021/8/8 星期日33【解析解析】由anbn1，且数列bn有连续四项在集合53，23，19,37,82中则an有连续四项在集合54，24,18,36,81中经分析判断，比较知an的四项应为24,36，54,81.又|q|1，所以数列an的公比为q ，则6q9.【答案答案】91等比数列的判定方法2021/8/8 星期日34(1)定义法：即证明 q(q0，nN N)(q是与n值无关的常数)(2)中项法：证明一个数列满足an12anan2(nN N且anan1an20)2等比数列的前n项和公式(1)等比数列的前n项和公式为Sn2021/8/8 星期日35(2)等比数列前n项和公式的推导过程是一种特殊的求和方法错位相减法，应当掌握，适用于anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)这种类型的数列求和3解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想：等比数列中五个量a1、an、n、q、Sn一般可以“知三求二”通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a10，q1或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q1时为常数列2021/8/8 星期日36(3)函数的思想：等比数列的通项公式ana1qn1 qn(q0且q1)常和指数函数相联系(4)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解4巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要2021/8/8 星期日37课时作业课时作业点击进入链接点击进入链接2021/8/8 星期日382021/8/8 星期日39