2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第25讲 三角形面积问题含解析.pdf

2023 届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第 25 讲讲 三角三角形面积问题形面积问题一解答题（共一解答题（共 19 小题）小题）1已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为 10，椭圆C经过点16(3,)5（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线1l，直线1l上存在M、N两点满足OMON，求OMN面积的最小值（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且|ABMN为定值，求点M的坐标2 如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，其左焦点到椭圆上点的最远距离为 3，点(2,1)P为椭圆外一点，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（1）求椭圆C的标准方程；（2）求ABP面积最大值时的直线l的方程3如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P的距离为10，不过原点O的直线l与C相交于A、B两点，且线段AB被直线OP平分（1）求椭圆C的方程；（2）求直线l的斜率；（3）求AOB面积的最大值4已知点(0,2)A，椭圆2222:1(0)xyEabab的长轴长是短轴长的 2 倍，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2 33，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程；（2）设过点(0,2)A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求直线l的方程5已知F为抛物线2yx的焦点，点AB在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB （其中O为坐标原点）（1）求证：直线AB过定点；（2）求ABO与AFO面积之和的最小值6如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，点F为抛物线2:C yx的焦点，且抛物线C上存在不同的两点A，B（1）若AB中点为M，且满足PA，PB的中点均在C上，证明：PM垂直于y轴；（2）若点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，6(OA OBO 为坐标原点），且ABO与AFO的面积分别为1S和2S，求124SS最小值7如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线2:4C yx上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（）若P是半椭圆221(0)4yxx上的动点，求PAB面积的取值范围8已知椭圆22184xy，1F，2F为左、右焦点，直线l过2F交椭圆于A，B两点（1）若直线l垂直于x轴，求|AB；（2）当190F AB时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线1AF交y轴于M，直线1BF交y轴于N，是否存在直线l，使得11F ABF MNSS，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由9已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过右焦点2F且斜率为 1的直线交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，且ON的斜率为34（1）求椭圆C的离心率e的值；（2）若24ac，l为过椭圆C的右焦点2F的任意直线，且直线l交椭圆C于点P，Q，求1F PQ内切圆面积的最大值10已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别是1F和2F，离心率为12，以P在椭圆E上，且12PFF的面积的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C右焦点2F，交该椭圆于A、B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于P，记AOQ的面积为1S，BPQ的面积为2S，若213SS，求直线l的方程11 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率22e，点(2,2)P在椭圆C上，直线l过1F交椭圆于A，B两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）当290F AB时，点A在x轴上方时，求点A，B的坐标；（3）若直线2AF交y轴于点M，直线2BF交y轴于点N，是否存在直线l，使得2ABF与1MNF的面积满足212ABFMNFSS，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由12已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，12|2FF，椭圆离心率22e（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆的右焦点2F，交椭圆于A，B两点，若1AF B的面积为103，求直线l的方程13 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，其左、右焦点分别为1F，2F，点0(P x，0)y是坐标平面内一点，且220074xy（1）求椭圆C的方程；（2）过点1(0,)3S且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，问：在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和MAB面积的最大值；若不存在，说明理由14已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，1AF B的周长为 8，O为坐标原点（）求椭圆的方程；（）求AOB面积的最大值15已知抛物线2:2(0)C ypx p上有一点0(2,)Qy到焦点F的距离为52（）求p及0y的值；（）如图，设直线ykxb与抛物线交于两点1(A x，1)y，2(B x，2)y，且12|2yy，过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线交于点D，连接AD，BD试判断ABD的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由16已知点Q是抛物线2:2(0)C ypx p上的动点，点Q到抛物线准线与到点1(2P，1)的距离之和的最小值为2（1）求抛物线C的方程；（2）如图，设直线ykxb与抛物线C交于两点1(A x，1)y，2(B x，2)y且12|2yy，过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线C交于点D，求ABD的面积17如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是32，曲线E是抛物线24xy在椭圆C内的一部分，抛物线24xy的焦点F在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M（）求证：点M在定直线上；（）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标18已知(0,2)A，椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为63，O为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程19椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，其右焦点到椭圆C外一点(2,1)P的距离为2，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB的长度为 2（）求椭圆C的方程；（）求AOB面积S的最大值第第 25 讲讲 三角形面积问题三角形面积问题参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 19 小题）小题）1已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为 10，椭圆C经过点16(3,)5（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线1l，直线1l上存在M、N两点满足OMON，求OMN面积的最小值（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且|ABMN为定值，求点M的坐标【解答】解：（1）设椭圆的方程为22221(0)xyabab，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为 10，所以210a，5a，又椭圆C经过点16(3,)5，代入椭圆方程，求得4b，所以椭圆的方程为：2212516xy；（2）设(3,)MMy，(3,)NNy，(3,0)F，由OMON，所以90MNOM ONy y ，1393|922MONMNMMSyyyy，故OMN面积的最小值为 9；（3）设直线l的方程为：ykxm，则点(,0)mMk，联立2212516ykxmxy，消去y得222(2516)50254000kxkmxm，122502516kmxxk，2122254002516mx xk，所以222240 2516|12516kmABkk，则AB的中点P的坐标为2222525(,)25162516kmk mmkk，又PNAB，得1PNkk，则直线PN的方程为：22225125()25162516k mkmymxkkk，令0y，得N点的坐标为222525(,0)2516k mkmmkk，则29|2516kmmMNkk，所以22222|5251659|25|2121ABkkmkmMNmkmk，当且仅当2291mk时，比值为定值，此时点(,0)mMk，为(3,0)M，故(3,0)M 或(3,0)2 如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，其左焦点到椭圆上点的最远距离为 3，点(2,1)P为椭圆外一点，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（1）求椭圆C的标准方程；（2）求ABP面积最大值时的直线l的方程【解答】解：（1）由题意可知：12cea，左焦点(,0)c到椭圆上点的最远距离为 3，即使3ac，可解得：2a，1c，2223bac，所求椭圆C的方程为：22143xy；（4 分）（2）易得直线OP的方程：12yx，设(AA x，)Ay，(BB x，)By，0(R x，0)y其中0012yx，A，B在椭圆上，2222143143AAbBxyyx，3342ABABABABAByyxxkxxyy （6 分）设直线AB的方程为3:(0)2l yxm m，代入椭圆：2214332xyyxm，整理得：223330 xmxm，02 32 30mm由可得且根据韦达定理可知：ABxxm，233ABmxx，（8 分）22222|1|1()4143ABABABABABABmABkxxkxxxxk，点(2,1)P到直线l的距离为：d 丨2311ABmk 丨丨241ABmk丨，211|4|4223ABPmSdABm，（10 分）当17m 时，ABPS取最大值，此时直线l的方程3172y （12 分）3如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P的距离为10，不过原点O的直线l与C相交于A、B两点，且线段AB被直线OP平分（1）求椭圆C的方程；（2）求直线l的斜率；（3）求AOB面积的最大值【解 答】解：（1）设 椭 圆 的 左 焦 点 的坐 标 为(,0)c，则 由 已 知 可 得12ca，且22(2)110c，解得2a，1c，所以3b，所以椭圆C的方程为22143xy；（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，AB的中点为0(R x，0)y，则22112222143143xyxy，两式作差可得：12121212()()()()043xxxxyyyy，又121200,22xxyyxy，且12OROPkk，即0012yx，所以0121203332442lxyykxxy ，故直线l的斜率为32；（3）由（2）设直线l的方程为32yxm，则点O到直线l的距离为2|2|3131()2mmd ，联立方程2232143yxmxy，消去y整理可得：223330 xmxm，所以212123,3mxxm x x，所以222212123134(3)|1()()4223mABxxx xm 213423m，所以三角形AOB的面积为222213312|(12)()32662mmSAB dmm，当且仅当2212mm，即6m 时取等号，此时三角形AOB的面积的最大值为34已知点(0,2)A，椭圆2222:1(0)xyEabab的长轴长是短轴长的 2 倍，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2 33，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程；（2）设过点(0,2)A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求直线l的方程【解答】解：（1）设(,0)F c，由条件知22,233abcc又222abc，可得21b，24a，椭圆E的方程：2214xy（2）依题意当lx轴不合题意，故设直线:2l ykx，设1(P x，1)y，2(Q x，2)y将2ykx代入椭圆E的方程：2214xy得22(14)16120kxkx，当216(43)0k，即234k 1221614kxxk，1221214x xk从而2221224143|1|41kkPQkxxk 又点O到直线PQ的距离221dk所以OPQ的面积2214 43|241OPQksdPQk 设243kt，则0t，244144OPQtSttt当且仅当2t，72k 等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：722yx或722yx 5已知F为抛物线2yx的焦点，点AB在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB （其中O为坐标原点）（1）求证：直线AB过定点；（2）求ABO与AFO面积之和的最小值【解答】解：（1）设直线AB的方程为：xmyn，点1(A x，1)y，2(B x，2)y，由2OA OB ，可得12122x xy y，点1(A x，1)y，2(B x，2)y在抛物线上可得211xy，222xy，由可得122y y 或 1（舍去），由2xmynyx可得20ymyn根据韦达定理有122yyn ，直线AB过定点(2,0)；（2）点A，B位于x轴的两侧，不妨设A在x轴的上方，则10y，又焦点1(4F，0)121121111111992922()23224888ABOAFOSSyyyyyyyyy当且仅当143y，取“”号，ABO与AFO面积之和的最小值是 3，6如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，点F为抛物线2:C yx的焦点，且抛物线C上存在不同的两点A，B（1）若AB中点为M，且满足PA，PB的中点均在C上，证明：PM垂直于y轴；（2）若点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，6(OA OBO 为坐标原点），且ABO与AFO的面积分别为1S和2S，求124SS最小值【解答】解：（1）证明：设0(P x，0)y，21(A y，1)y，22(B y，2)y，因为直线PA，PB的中点在抛物线上，所以1y，2y为方程2200()22yyyy的两个根，即220002220yy yyy，的两个不同的实数根，所以1202yyy，所以PM垂直于y轴（2）根据题意可得1(4F，0)，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则211xy，222xy，所以22121212126x xy yy yy y，则123y y 或122y y，因为A，B位于x轴的两侧，所以123y y ，设直线AB的方程为xtym，联立2xtymyx，得20ytym，所以123y ym ，则3m，所以直线过定点(3,0)，所以1212111143|4|224SSyyy 1121111111313399()()22 26222222yyyyyyyyyy，当且仅当11922yy，即132y 时取等号，故124SS的最小值为 67如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线2:4C yx上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（）若P是半椭圆221(0)4yxx上的动点，求PAB面积的取值范围【解答】解：（）证明：可设(,)P m n，21(4yA，1)y，22(4yB，2)y，AB中点为M的坐标为2212(8yy，12)2yy，抛物线2:4C yx上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，可得21214()422ymny，222214()422myny，化简可得1y，2y为关于y的方程22280ynymn的两根，可得122yyn，2128y ymn，可得122yyn，则PM垂直于y轴；（另解：设PA，PB的中点分别为E，F，EF交PM于G，EF为PAB的中位线，/EFAB，又M为AB的中点，G为EF的中点，设1:AB ykxb，2:EFykxb，由24yx，1ykxb，2ykxb，解得4MPyyk，所以PM垂直于y轴）（）若P是半椭圆221(0)4yxx上的动点，可得2214nm，10m，22n，由（）可得122yyn，2128y ymn，由PM垂直于y轴，可得PAB面积为121|2SPMyy2221212121()()428yymyyy y222211(4162)4324162nmnmnmn223 2(4)44nmnm，可令224444tnmmm214()52m，可得12m 时，t取得最大值5；1m 时，t取得最小值 2，即25t，则33 24St在25t 递增，可得6 2S，15104，PAB面积的取值范围为6 2，151048已知椭圆22184xy，1F，2F为左、右焦点，直线l过2F交椭圆于A，B两点（1）若直线l垂直于x轴，求|AB；（2）当190F AB时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线1AF交y轴于M，直线1BF交y轴于N，是否存在直线l，使得11F ABF MNSS，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）依题意，2(2,0)F，当ABx轴时，则(2,2)A，(2,2)B，得|2 2AB；（2）设1(A x，1)y，11290(90)F ABF AF，2212111111(2,)(2,)40AF AFxyxyxy ，又A在椭圆上，满足2211184xy，即22114(1)8xy，221144(1)08xx，解得10 x，即(0,2)A直线:2AB yx ，联立222184yxxy ，解得8(3B，2)3；（3）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，3(0,)My，4(0,)Ny，直线:2l xmy，则11212121|2|2F ABSF Fyyyy，1134341|2F MNSFOyyyy联立222184xmyxy，得22(2)440mymy则12242myym，12242y ym由直线1AF的方程：11(2)2yyxx，得M纵坐标13122yyx；由直线1BF的方程：22(2)2yyxx，得N的纵坐标24222yyx若11F ABF MNSS，即12342|yyyy，121212341212121222228()|2|2244(4)(4)yyyyyyyyyyxxmymymymy，12|(4)(4)|4mymy，21212|4()16|4m y ym yy，代入根与系数的关系，得22244|416|422mmmmm，解得3m 存在直线320 xy或320 xy满足题意9已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过右焦点2F且斜率为 1的直线交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，且ON的斜率为34（1）求椭圆C的离心率e的值；（2）若24ac，l为过椭圆C的右焦点2F的任意直线，且直线l交椭圆C于点P，Q，求1F PQ内切圆面积的最大值【解答】解：（1）设点A的坐标为1(x，1)y，点B的坐标为2(x，2)y，则线段AB的中点为1212(,)22xxyyN，直线AB的斜率为12121AByykxx，直线ON的斜率为121212120202ONyyyykxxxx，所以，直线AB和直线ON的斜率之积为2212121222121212331()44ABONyyyyyykkxxxxxx ，由于点A、B在椭圆C上，则有22112222222211xyabxyab，上述两式相减得22221212220 xxyyab，化简得222122221234yybaxx，所以，2234ba，因此，椭圆的离心率为2222222311142ccabbeaaaa；（2）由（1）知，2ac，由于24ac，得244cc，由于0c，得1c，所以，2a，223bac，所以，椭圆C的标准方程为22143xy，1F PQ的周长为48a，椭圆C的右焦点为2(1,0)F，设直线l的方程为1xmy，设点3(P x，3)y、4(Q x，4)y，将直线l的方程代入椭圆C的方程并化简得22(34)690mymy，222(6)4(34)(9)144(1)0mmm ，由韦达定理可得342634myym，342934y ym，1F PQ的面积为1222123434342221169121|2()4()4()22343434F PQmmSFFyyyyy ymmm ，令21 1tm，则221mt，所以，12212121213(1)4313F PQttStttt，由于函数13ytt在区间1，)上单调递增，所以，当1t 时，1F PQ的面积取到最大值12331，设1F PQ的内切圆的半径为r，则1142F PQarS，所以，1124F PQF PQSSra，当1F PQ的面积取到最大值时，其内切圆的半径r取到最大值34，因此，1F PQ内切圆面积的最大值为239()41610已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别是1F和2F，离心率为12，以P在椭圆E上，且12PFF的面积的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C右焦点2F，交该椭圆于A、B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于P，记AOQ的面积为1S，BPQ的面积为2S，若213SS，求直线l的方程【解答】解：（1）依题意，显然当P在短轴端点时，12PFF的面积最大为1232cb，即3bc，又由离心率为12cea，222abc，解得24a，23b，21c，所以椭圆C的方程为22143xy（2）因为213SS，所以11|sin3|sin22QP QBBQPQA QOAQO，所以|3|QPQO，所以|4|OPOQ，当AB斜率不存在时，21SS，不合题意，当AB斜率存在时，设直线方程为(1)yk x，设点1(A x，1)y，2(B x，2)y，则22112222143143xyxy，两式作差得：1212121234yyyyxxxx，即34ABOPkk，故直线OP的方程为：34yxk，联立2234143yxkxy，解得2221634Pkxk，联立34(1)yxkyk x，解得22434Qkxk，因为4PQxx，所以2224|443434kkkk，即214k，解得：12k ，所以直线AB的方程为1(1)2yx 11 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率22e，点(2,2)P在椭圆C上，直线l过1F交椭圆于A，B两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）当290F AB时，点A在x轴上方时，求点A，B的坐标；（3）若直线2AF交y轴于点M，直线2BF交y轴于点N，是否存在直线l，使得2ABF与1MNF的面积满足212ABFMNFSS，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可知，22ca，222abc，又22421ab，联立方程组可解得：28a，24b，所以椭圆C的方程为22184xy（2）设(,)A x y，依题意，1(2,0)F，2(2,0)F，因为290F AB，所以1290F AF，即2212111111(2,)(2,)40F A F Axyxyxy ，又A在椭圆上，满足2211184xy，即22114(1)8xy，22221111444(1)08xxyx，解得10 x，即(0,2)A，直线:2AB yx，联立方程组222184yxxy，解得82(,)33B（3）存在直线2 3:23l xy或2 323xy，使得2ABF与1MNF的面积满足212ABFMNFSS，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，3(0,)My，4(0,)Ny，直线:2l xmy（斜率不存在时不满足题意），则21212121|2|2ABFSF Fyyyy，1134341|2MNFSFOyyyy联立方程组222184xmyxy，整理得22(2)440mymy则12242myym，12242y ym由直线2AF的方程：11(2)(2)yyxx，得M纵坐标13122yyx由直线2BF的方程：22(2)2yyxx，得N纵坐标24222yyx，由212ABFMNFSS，得1234|yyyy所以121212341212121222228()|2244(4)(4)yyyyyyyyyyxxmymymymy，所以12|(4)(4)|8mymy，21212|4()16|8m y ym yy，代入根与系数的关系式，得22244|416|822mmmmm，解得2 33m 存在直线2 323xy或2 323xy 满足题意12已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，12|2FF，椭圆离心率22e（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆的右焦点2F，交椭圆于A，B两点，若1AF B的面积为103，求直线l的方程【解答】解：（1）可得222222112cccea，22a，21b，椭圆C的方程为：2212xy（2）1(1,0)F，该直线l的方程设为1xmy，联立22122xmyxy可得22(2)210mymy 设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则12222myym，12212y ym1AF B的面积221212121228(1)110|()4223mSFFyyyyy ym解得2m 直线l的方程为210y 13 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，其左、右焦点分别为1F，2F，点0(P x，0)y是坐标平面内一点，且220074xy（1）求椭圆C的方程；（2）过点1(0,)3S且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，问：在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和MAB面积的最大值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）设1(,0)Fc，2(,0)F c，由1234PF PF ，即为0(cx，00)(ycx，03)4y，即有2220034xyc，又220074xy，解得1c，又22cea，则2a，1b，因此所求椭圆的方程为：2212xy；（2）动直线l的方程为13ykx，由221322ykxxy，得22416(12)039kxkx，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则12243(12)kxxk，122169(12)x xk，假设在y轴上存在定点(0,)Mm，满足题设，则1(MAx，1)ym，2(MBx，2)ym，21212121212()()()MA MBx xym ymx xy ym yym 21212121111()()()3333x xkxkxm kxkxm221212121(1)()()339kx xkm xxmm222216(1)1421()9(12)33(12)39kkkmmmkk 222218(1)(9615)9(21)mkmmk，由假设得对于任意的kR，0MA MB 恒成立，即22109150mmm，解得1m 因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为(0,1)这时，点M到AB的距离243 1dk，2212|(1)()ABkxx，22121212122|()()4233MABSAB dxxxxx x22222222166484932(12)9(12)9(12)kkkkk，设212kt则212tk得1t，)，1(0t，1，所以2289181 811916()92292 429ttt，当且仅当11t时，上式等号成立因此，MAB面积的最大值是16914已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，1AF B的周长为 8，O为坐标原点（）求椭圆的方程；（）求AOB面积的最大值【解答】解：（）因为过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，1AF B的周长为 8，则由椭圆的定义可得48a，所以2a，又12cea，所以1c，则23b，故椭圆的方程为22143xy；（）由（）值，2(1,0)F，则可设直线AB的方程为：1xmy，代入椭圆方程可得：22(43)690mymy，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则122643myym，122943y ym，所以222212122223636|1()41(43)43mABmyyy ymmm2222212 112(1)14343mmmmm，原点到直线AB的距离为211dm，所以三角形AOB的面积为22211112(1)|22431mSdABmm 22226 161433 11mmmm，令211tm，所以613Stt，当1t时，函数13tt单调递增，所以当1t 时，63312maxS，故三角形AOB的面积的最大值为3215已知抛物线2:2(0)C ypx p上有一点0(2,)Qy到焦点F的距离为52（）求p及0y的值；（）如图，设直线ykxb与抛物线交于两点1(A x，1)y，2(B x，2)y，且12|2yy，过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线交于点D，连接AD，BD试判断ABD的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由【解答】解：()I由抛物线2:2(0)C ypx p，可得焦点(,0)2p，抛物线上的点0(2,)Qy到焦点F的距离为525222p，1p 22yx，把0(2,)Qy代入抛物线方程，解得02y ()II联立22ykxbyx，得：2222(1)0(0)k xkbxbk，0，即120kb，1222(1)kbxxk，2122bx xk222221212121224(12)|()44kbyykxxkxxx xk，212kbk，211(,)kbMkk，211(,)2Dkk，ABD的面积12211121|22222kbSMDyyk 16已知点Q是抛物线2:2(0)C ypx p上的动点，点Q到抛物线准线与到点1(2P，1)的距离之和的最小值为2（1）求抛物线C的方程；（2）如图，设直线ykxb与抛物线C交于两点1(A x，1)y，2(B x，2)y且12|2yy，过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线C交于点D，求ABD的面积【解答】解：（1）点Q到抛物线准线与到点1(2P，1)的距离之和的最小值为2，点Q到抛物线的焦点与到点1(2P，1)的距离之和的最小值为2，21()1222p，1p，抛物线C的方程为22yx；（2）联立直线ykxb与抛物线C得：2222(1)0(0)k xkbxbk，0，即120kb，1222(1)kbxxk，2122bx xk121224(12)|2kbyyk xxk，212kbk，21(kbMk，1)k，21(2Dk，1)k，ABD的面积12211121|22222kbSMDyyk 17如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是32，曲线E是抛物线24xy在椭圆C内的一部分，抛物线24xy的焦点F在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M（）求证：点M在定直线上；（）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标【解答】解：（1）抛物线24xy的焦点(0,1)F，因为F在椭圆C上，所以1b，又因为离心率22312cbeaa，所以可得24a，所以椭圆的方程为：2214xy；（2）()i设2(,)4mP m，0m，因为24xy，所以2xy，在P点的切线的方程2()42mmyxm，即224mmyx，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，0(D x，0)y联立2224424xymmyx，整理可得：4223(1)404mmxm x，由0，得084 5)(*)m且31221mxxm，4122441mx xm，因此302121mxm，将其代入224mmyx，得2024(1)mym，所以0012yxm，所以直线OD的方程为12yxm，联立方程12yxmxm，解得点M的纵坐标为12，所以点M在定直线12y 上；()ii由()i知直线l的方程为224mmyx，令0 x，得24my ，所以2(0,)4mG，又2(,)4mP m，(0,1)F，32(1mDm，22)4(1)mm，所以211(4)28m mSGF m，22222022112(2)(2)2242(1)16(1)mmmmmSPMmxmm，2212222(4)(1)(2)SmmSm，设22tm，则2212222(2)(1)22111912()48St tttSttttt ，当114t，即4t 时，12SS取到最大值98，此时62m，满足(*)式，所以点P的坐标为6(2，3)818已知(0,2)A，椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为63，O为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程【解答】解：（1）设(,0)F c，由条件知263c，得6c，又32ca，所以2 2a，2222bac，故E的方程22182xy；（2）依题意当lx轴不合题意，故设直线:2l ykx，设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，将2ykx代入2248xy，得22(14)1680kxkx，当0，可得2410k ，即12k 或12k ，1221614kxxk，122814x xk，从而221212|1()4PQkxxx x22222222256324114 21(14)1414kkkkkkk，又点O到直线PQ的距离221dk，所以OPQ的面积22141|4 2214OPQkSdPQk，设241kt，则0t，2114 24 24 222222OPQtSttttt，当且仅当2t，32k 等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：322yx或322yx 19椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，其右焦点到椭圆C外一点(2,1)P的距离为2，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB的长度为 2（）求椭圆C的方程；（）求AOB面积S的最大值【解答】解：（）设椭圆右焦点为(,0)c，则由题意得22(2)1222cca得12ca或33 2ca（舍去），所以椭圆方程为2212xy（）因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，直线l不过原点O，则弦AB与x垂直，故可设直线AB程为ykxm，由2212ykxmxy消去y，并整理，得222(12)4220kxkmxm，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，又2222164(12)(22)0k mkm，所以122412kmxxk，21222(1)12mx xk，因为|2AB，所以22211()2kxx，即222112(1)()44kxxx x，所以2222248(1)(1)()41212mmkkk，即2212(1)1mk，因为211k，所以2112m 又点O到直线AB的距离2|1mhk，因为1|2SAB hh，所以222222112(1)2()22Shmmm，所以2102S，即S的最大值为22第第 26 讲讲 四边形面积问题四边形面积问题一选择题（共一选择题（共 1 小题）小题）1已知双曲线222:1(0)yC xbb的左、右焦点分别为1F，2F，点P是双曲线C上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形(PAOB O为坐标原点）的面积为2，且120PF PF ，则点P的横坐标的取值范围为()A1717(,)(,)33 B1717(,)33C2 172 17(,)(,)33 D2 17 2 17(,)33二填空题（共二填空题（共 2 小题）小题）2设1F、2F为椭圆的左右焦点，过椭圆2212516xy的中心任作一直线与椭圆交于PQ两点，当四边形12PFQF面积最大时，12PFPF 的值等于3设1F，2F是椭圆22:14xCy的两个焦点，过1F，2F分别作直线1l，2l且12/ll，若1l与椭圆C交于A，B两点，2l与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为三解答题（共三解答题（共 15 小题）小题）4已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率12，过右焦点F作与x轴垂直的直线l，l与椭圆的交点到x轴的距离为32