清华大学电路原理课件-4.ppt

第第4 4章章 电路的若干定理电路的若干定理 4.1 叠加定理叠加定理 4.2 替代定理替代定理 4.3 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理 4.4 特勒根定理特勒根定理 4.5 互易定理互易定理 4.6 对偶电路与对偶原理对偶电路与对偶原理 本章重点本章重点 本章本章重点重点 熟练掌握叠加定理、戴维南和诺顿定理熟练掌握叠加定理、戴维南和诺顿定理 了解对偶原理了解对偶原理 掌握替代定理、特勒根定理和互易定理掌握替代定理、特勒根定理和互易定理 返回目录返回目录叠加定理叠加定理 在在线线性性电电路路中中，任任一一支支路路电电流流（或或电电压压）都都是是电电路路 中中各各个个独独立立电电源源单单独独作作用用时时，在在该该支支路路产产生生的的电电流流（或或 电压）的代数和。电压）的代数和。4.1 4.1 叠加定理（叠加定理（Superposition TheoremSuperposition Theorem）如图电路，计算各支路电流。如图电路，计算各支路电流。用回路法用回路法 (R1+R2)ia-R2ib=uS1-uS2 -R2ia+(R2+R3)ib=uS2-uS3 R11ia+R12ib=uS11 R21ia+R22ib=uS22 其中其中 R11=R1+R2，R12=-R2，uS11=uS1-uS2 R21=-R2，R22=R2+R3，uS22=uS2-uS3 R1uS1R2uS2R3uS3i1i2i3+iaib其中其中 R1uS1R2uS2R3uS3i1i2i3+iaib用行列式法解用行列式法解 由上式可见由上式可见 各支路电流均为各电压源电压的一次函数，所以各支路各支路电流均为各电压源电压的一次函数，所以各支路电流（如电流（如i1）可看成各电压源单独作用时产生的电流（如可看成各电压源单独作用时产生的电流（如i1 ，i1 ，i1 ）之和。之和。则各支路电流为则各支路电流为 三个电源共同作用三个电源共同作用=us1单独作用单独作用 us2单独作用单独作用 us3单独作用单独作用 +uS1i1i3R1R2uS2R3uS3i2+iaibR1uS1R2R3i1 i2 i3 +R1R2uS2R3i1 i2 i3 +R1R2R3uS3i1 i2 i3 +当一个电源单独作用时，其余电源不作用，不作用的电源就当一个电源单独作用时，其余电源不作用，不作用的电源就意味着取零值。即对电压源看作短路，而对电流源看作开路。意味着取零值。即对电压源看作短路，而对电流源看作开路。+因此因此 上上述述以以一一个个具具体体例例子子来来说说明明叠叠加加的的概概念念，这这个个方方法法也也 可推广到一般的多电源的电路中去。可推广到一般的多电源的电路中去。同同样样可可以以证证明明：线线性性电电阻阻电电路路中中任任意意支支路路的的电电压压 等于各电源在此支路产生的电压的代数和。等于各电源在此支路产生的电压的代数和。电源既可是电压源，也可是电流源。电源既可是电压源，也可是电流源。例例1 求图示电路中电压求图示电路中电压u。+10V4A6+4 u解解 （1）10V电压源单独作用，电压源单独作用，4A电流源开路电流源开路 4A6+4 u u =4V （2）4A电流源单独作用，电流源单独作用，10V电压源短路电压源短路 u =-4 2.4=-9.6V 共同作用共同作用 u=u +u =4+(-9.6)=-5.6V +10V6+4 u 例例2 求图示电路中电压求图示电路中电压US 。（1）10V电压源单独作用电压源单独作用 （2）4A电流源单独作用电流源单独作用 解解 +10V6 I14A+US+10 I14 10V+6 I1+10 I14+US+U16 I1 4A+US+10 I1 4+U1 US=-10 I1+U1 US =-10I1 +U1 US=-10 I1+U1 =-10 I1+4I1 =-10 1+4 1=-6V US =-10I1 +U1 =-10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用：共同作用：US=US+US =-6+25.6=19.6V 10V+6 I1+10 I1 4+US+U1 6 I1 4A+US +10 I1 4+U1 小结小结 1.叠加定理只适用于线性电路。叠加定理只适用于线性电路。2.一个电源作用，其余电源为零一个电源作用，其余电源为零 电压源为零电压源为零短路。短路。电流源为零电流源为零开路。开路。3.功率不能叠加（功率为电压或电流的二次函数）。功率不能叠加（功率为电压或电流的二次函数）。4.叠加时要注意各分量的方向。叠加时要注意各分量的方向。5.含含受受控控源源（线线性性）电电路路亦亦可可用用叠叠加加，但但叠叠加加只只 适适用用于独立源，受控源应始终保留。于独立源，受控源应始终保留。齐性原理（齐性原理（homogeneity property）线线性性电电路路中中，所所有有激激励励（独独立立源源）都都增增大大（或或减减小小）同同样样的的比比例例，则则电电路路中中响响应应（电电压压或或电电流流）也也增增大大（或或减减 小）同样的比例。小）同样的比例。当电路中只有一个激励时，则响应与激励成正比。当电路中只有一个激励时，则响应与激励成正比。例例解解 采用倒推法：设采用倒推法：设 i=1A。则则 求电流求电流 i。已知图中已知图中RL=2 R1=1 R2=1 us=51V +2V2A+3V+8V+21V+uS=34V3A8A21A5A13AiR1R1R1R2RL+usR2R2i =1A返回目录返回目录4.2 4.2 替代定理（替代定理（Substitution TheoremSubstitution Theorem）任任意意一一个个线线性性电电路路，其其中中第第k条条支支路路电电压压为为uk、电电流流为为ik，那那么么这这条条支支路路就就可可以以用用一一个个电电压压等等于于uk的的独独立立电电压压源源，或或者者用用一一个个电电流流等等于于ik的的独独立立电电流流源源来来替替代代，替替代代后后电电路路中中电电压压和和电电流流均均保保持原有值。持原有值。定理内容定理内容 Aik+uk支支路路 k A+ukikA证明证明:替替代代前前后后KCL、KVL关关系系相相同同，其其余余支支路路的的u，i关系不变。关系不变。A+ukikAAik+uk支支路路 k 用用ik替替代代后后，其其余余支支路路电电流流不不变变（KCL），其其余余支支路路电压不变，故第电压不变，故第k条支路条支路uk也不变（也不变（KVL）。）。用用uk替替代代后后，其其余余支支路路电电压压不不变变（KVL），其其余余支路电流也不变，故第支路电流也不变，故第k条支路条支路ik也不变（也不变（KCL）。）。Aik+uk支支路路 k A+uk又证又证:证毕证毕!uk+uk+Aik+uk 支支路路 k uk+注意：注意：1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。4.未被替代支路的相互连接及参数不能改变。未被替代支路的相互连接及参数不能改变。例例 2.替代后电路必须有唯一解。替代后电路必须有唯一解。3.被替代的支路与电路其它部分应无耦合关系。被替代的支路与电路其它部分应无耦合关系。若要使若要使试求试求Rx。电路如图所示。电路如图所示。0.5 0.5+10V3 1 RxIx+UI0.5 解解 用替代用替代 U=U+U=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2 （或或U=（0.1-0.075）I=0.025I =+0.5 0.5 1+UI0.5 0.5 0.5 1+UI0.5 0.5 0.5 1+U0.5）用用叠加叠加 U1+U2+返回目录返回目录1.几个名词几个名词 (1)端口（端口（port）端端口口指指电电路路引引出出的的一一对对端端钮钮，其其中中 从从一一个个端端钮钮（如如a a）流流入入的的电电流流一一定定等等 于从另一端钮（如于从另一端钮（如b b）流出的电流。流出的电流。Aabii(2)一端口网络一端口网络（network）网络与外部电路只有一对端钮（或一个端口）联接。网络与外部电路只有一对端钮（或一个端口）联接。4.3 4.3 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理 （TheveninThevenin-Norton Theorem-Norton Theorem）2.戴维南定理戴维南定理 任任何何一一个个线线性性含含有有独独立立电电源源、线线性性电电阻阻和和线线性性受受控控 源源的的一一端端口口，对对外外电电路路来来说说，可可以以用用一一个个电电压压源源（Uoc）和和电电阻阻（Ri）的的串串联联组组合合来来等等效效替替代代；此此电电压压源源的的电电压压等等于于 外外电电路路断断开开时时端端口口处处的的开开路路电电压压，而而电电阻阻等等于于一一端端口中口中 全部独立电源置零后的端口等效电阻。全部独立电源置零后的端口等效电阻。Aabiu+iabRiUoc+-u+证明：证明：（对（对a）利利用用替替代代定定理理，将将外外部部电电路路用用电电流流源源替替代代，此此时时u、i值不变。计算值不变。计算 u 值。（用叠加定理）值。（用叠加定理）=+根据叠加定理，可得根据叠加定理，可得 电流源电流源i为零为零 网络网络A中独立源全部置零中独立源全部置零 (a)abAi+uN(b)iUoc+uN ab+RiabA+uRiu =Uoc （外电路开路时外电路开路时a、b间开路电压）间开路电压）u=-Ri i 则则 u=u+u =Uoc -Ri i 此关系式恰与图（此关系式恰与图（b）电路相同。电路相同。abPi+uabAi+u小结：小结：（1）戴戴维维南南等等效效电电路路中中电电压压源源电电压压等等于于将将外外电电路路断断开开时时端端口口处处的开路电压的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向相同。电压源方向与所求开路电压方向相同。（2）串串联联电电阻阻为为将将一一端端口口内内部部独独立立电电源源全全部部置置零零（电电压压 源源短短路，电流源开路）后，所得一端口网络的等效电阻。路，电流源开路）后，所得一端口网络的等效电阻。等效电阻的计算方法：等效电阻的计算方法：a.当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法 计算；计算；b.端口加电压求电流法或加电流求电压法（内部独立电端口加电压求电流法或加电流求电压法（内部独立电 源置零）。源置零）。c.等效电阻等于端口的开路电压与短路电流的比（内部等效电阻等于端口的开路电压与短路电流的比（内部 独独立电源保留）。立电源保留）。（3）当当一一端端口口内内部部含含有有受受控控源源时时，控控制制支支路路与与受受控控源源 支支路路必须包含在被化简的同一部分电路中。必须包含在被化简的同一部分电路中。解解 保留保留Rx支路，将其余一端口化为戴维南等效电路：支路，将其余一端口化为戴维南等效电路：ab+10V4 6 6+U24+U1IRxRxIabUoc+Ri例例1 IRxab+10V4 6 6 4（1）计算计算Rx分别为分别为1.2、5.2 时的时的I；（2）Rx为何值时，其上获最大功率为何值时，其上获最大功率?电路如图所示。电路如图所示。（1）求开路电压）求开路电压 Uoc=U1+U2 =-10 4/(4+6)+10 6/(4+6)=-4+6=2V ab+10V4 6 6+U24+U1+-Uoc（2）求等效电阻求等效电阻Ri Ri=4/6+6/4=4.8 (3)Rx=1.2 时，时，I=Uoc/(Ri+Rx)=0.333A Rx=5.2 时，时，I=Uoc/(Ri+Rx)=0.2A Rx=Ri=4.8 时，其上获最大功率。时，其上获最大功率。IabUoc+RxRiRiab4 6 6 4 含受控源电路戴维南定理的应用含受控源电路戴维南定理的应用 电路如图所示。电路如图所示。求电压求电压UR。3 3 6 I+9V+URab+6I例例2 abUoc+Ri3 UR-+解解 （1）求开路电压求开路电压Uoc。Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V 3 6 I+9V+Uocab+6I（2）求等效电阻求等效电阻Ri 方法方法1 端口加压求流（内部独立电压源短路）端口加压求流（内部独立电压源短路）U0=6I+3I=9I I=I0 6/(6+3)=(2/3)I0 U0=9 (2/3)I0=6I0 Ri=U0/I0=6 3 6 I+U0ab+6II0方法方法2 开路电压、短路电流开路电压、短路电流 （Uoc=9V）6 I1+3I=9 I=-6I/3=-2I I=0 Isc=I1=9/6=1.5A Ri=Uoc/Isc=9/1.5=6 3 6 I+9VIscab+6II1（3）等效电路等效电路 abUoc+Ri3 UR-+6 9V3 3 6 I+9V+URab+6I3 2+3V+URab+6I下图下图电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。控制量呢？控制量呢？任任何何一一个个含含独独立立电电源源，线线性性电电阻阻和和线线性性受受控控源源的的一一端端 口口，对对外外电电路路来来说说，可可以以用用一一个个电电流流源源和和电电阻阻（电电导导）的的并并联联组组合合来来等等效效置置换换；电电流流源源的的电电流流等等于于该该一一端端口口的的 短短路路电电流流，而而电电阻阻（电电导导）等等于于把把该该一一端端口口的的全全部部独独立立 电源置零后的输入电阻（电导）电源置零后的输入电阻（电导）。3.诺顿定理诺顿定理 诺诺顿顿等等效效电电路路可可由由戴戴维维南南等等效效电电路路经经电电源源等等效效 变变换换得得到到。但但须须指指出出，诺诺顿顿等等效效电电路路可可独独立立进进行行证证明明。证明过程从略。证明过程从略。AababRiIsc例例 电路如图所示，电路如图所示，求电流求电流I。12V2 10+24Vab4 I+4 IabRiIsc（1）求端口的短路电流）求端口的短路电流Isc I1=12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A 解解 2 10+24VabIsc+I1I212V（2）求求Ri：电压源短路，用电阻串并联。电压源短路，用电阻串并联。Ri=10 2/(10+2)=1.67 （3）诺顿等效电路诺顿等效电路:I=-Isc 1.67/(4+1.67)=9.6 1.67/5.67 =2.83A Ri2 10 ab解毕！解毕！ab4 I1.67 -9.6A返回目录返回目录4.4 4.4 特特 勒勒 根根 定定 理理（TellegensTellegens TheoremTheorem）1.1.具有相同拓扑结构（特征）的电路具有相同拓扑结构（特征）的电路 两两个个电电路路，支支路路数数和和节节点点数数都都相相同同，而而且且对对应应支支路路 与节点的联接关系也相同。与节点的联接关系也相同。NR5R4R1R3R2R6+us11234NR5R4R1R3R6us6is2+124346512342314651234231NR5R4R1R3R2R6+uS11234NR5R4R1R3R6uS6iS2+124346512342314651234231NN例例 求求解解 2.特勒根定理特勒根定理 注意：各支路电压、电流均取关联的参考方向注意：各支路电压、电流均取关联的参考方向 +ukik证明：证明：+其中：其中：+ukik+若节点若节点 接有另一支路接有另一支路m，同理可得：同理可得：对节点对节点 可得：可得：对其他节点，有同样的对其他节点，有同样的 结果，故：结果，故：证毕！证毕！同理可证：同理可证：3.功率平衡定理功率平衡定理 在在任任一一瞬瞬间间，任任一一电电路路中中的的所所有有支支路路所所吸吸收收的的瞬瞬时时 功率的代数和为零，即功率的代数和为零，即 此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。特特勒勒根根定定理理适适用用于于一一切切集集总总参参数数电电路路。只只要要各各支支路路 u、i满足满足KCL、KVL即可。即可。注意注意 将将特特勒勒根根定定理理用用于于同同一一电电路路中中各各支支路路电电流流、电电压压即即可可证得上述关系。证得上述关系。US=10V，I1=5A，I2=1A 解解 由特勒根定理由特勒根定理 I2P+US+U2I1P+2 例例1方框内为同一网络方框内为同一网络 已知图中已知图中 (1)当当R1=R2=2,US=8V时时，I1=2A，U2=2V；(2)当当R1=1.4 ，R2=0.8，US =9V，I1 =3A。求求U2。例例2 无源无源电阻电阻网络网络 P +U1+USR1I1I2+U2R2解解 根据特勒根定理根据特勒根定理 由（由（1）得：）得：U1=4V，I1=2A，U2=2V，U2/R2=1A 返回目录返回目录4.5 4.5 互易定理（互易定理（Reciprocity TheoremReciprocity Theorem）第一种形式第一种形式:激励（激励（excitation）为电压源，响应（为电压源，响应（response）为电流。为电流。给给定定任任一一仅仅由由线线性性电电阻阻构构成成的的网网络络（见见下下图图），设设支支路路 j中中有有唯唯一一电电压压源源uj，其其在在支支路路k中中产产生生的的电电流流为为ikj（图图a）；若若支支路路k中中有有唯唯一一电电压压源源uk，其其在在支支路路j中中产产生生的的电电流流为为ijk（图（图b）。）。cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)当当 uk=uj 时，时，ikj=ijk。则两个支路中电压电流有如下关系：则两个支路中电压电流有如下关系：cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)设设a-b支支路路为为支支路路1，c-d支支路路为为支支路路2，其其余余支支路路为为3b。图图（a）与与图图（b）有有相相同同拓拓扑扑特特征征，（a）中中用用uk、ik表表示示支支路路电电 压压和和电电流流，（b）中中用用 支支路路电电压压和和电电流流（均均取取关关联联 方向）。方向）。证明：证明：由特勒根定理：由特勒根定理：cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)即即 两式相减，得两式相减，得 将图（将图（a）与图（与图（b）中支路中支路1，2的条件代入，即的条件代入，即 即：即：证毕！证毕！当当 uk=uj 时，时，ikj=ijk。cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab（b）ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd（a）第二种形式第二种形式:激励是电流源，响应是电压。激励是电流源，响应是电压。在在任任一一线线性性电电阻阻网网络络的的一一对对节节点点 j 和和 j 间间接接入入唯唯一一电电 流流源源 ij，它它在在另另一一对对节节点点 k 和和 k 产产生生电电压压ukj（见见图图a）；若若改改在在节节点点 k 和和 k 间间接接入入唯唯一一电电流流源源 ik，它它在在节节点点 j 和和 j 间产生电压间产生电压 ujk（图（图b），），则上述电压、电流有如下关系：则上述电压、电流有如下关系：当当 ik=jj 时，时，ukj=ujk。+ukjijjjkk（a）由同学自己证明。由同学自己证明。ik+ujkjk（b）kj例例 2 1 2 4+8V2 Iabcd电路如图所示，电路如图所示，求电流求电流I。解解 利用互易定理，可得下图利用互易定理，可得下图 I1=I 2/(4+2)=2/3A I2=I 2/(1+2)=4/3A I=I1-I2=-0.667A 2 1 2 4+8V2 IabcdI1I2I解毕！解毕！（1）互互易易定定理理适适用用于于线线性性网网络络在在单单一一电电源源激激励励下下，两两个个支支路电压电流关系。路电压电流关系。（2）激励为电压源时，响应为电流。激励为电流源时，激励为电压源时，响应为电流。激励为电流源时，响响应为电压。应为电压。（3）电电压压源源激激励励，互互易易时时原原电电压压源源处处短短路路，电电压压源源串串 入入另另一支路；一支路；电电流流源源激激励励，互互易易时时原原电电流流源源处处开开路路，电电流流源源并并入入另另 一支路的两个节点间。一支路的两个节点间。（4）互易要注意电源与电压互易要注意电源与电压(电流电流)的方向。的方向。（5）含有受控源的网络，互易定理一般不成立。含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：应用互易定理时应注意：返回目录返回目录4.6 4.6 对偶电路与对偶原理（对偶电路与对偶原理（Dual PrincipleDual Principle）一、一、对偶电路（对偶电路（dual circuit）例例1 网孔电流方程网孔电流方程 (R1+R2)il=uS 节点电压方程节点电压方程 (G1+G2)un=iS 若若R1=G1，R2=G2，uS=iS 则两方程完全相同，解答则两方程完全相同，解答 il、un 数值也相同。数值也相同。R2+uSilR1G1G2uniS例例2 网孔方程网孔方程 节点方程节点方程 上述每例中的两个电路称为对偶电路。上述每例中的两个电路称为对偶电路。将方程（将方程（1）中所有元素用其对偶元素替换得方程（）中所有元素用其对偶元素替换得方程（2）。）。若若R1=G1，R2=G2，R3=G3，uS1=iS1，rm=gm，则则两两 个方程组相同，其解答也相同，即个方程组相同，其解答也相同，即un1=il1，un2=il2。R3R1R2+uS1il1il2i1+rm i1G2G3G1un1un2+u1iS1gm u1(R1+R2)il1-R2 il2=uS1 -R2 il1+(R2+R3)il2=-rm i1 i1=il1 (1)(G1+G2)un1 G2 un2=iS1 -G2 un1+(G2+G3)un2=-gm u1 u1=un1 (2)二、二、对偶元素（见书）对偶元素（见书）节点节点网孔网孔节点电压节点电压网孔电流网孔电流KCLKVLLCRGisus串联串联并联并联CCVSVCCS三、三、对偶原理对偶原理 只有平面电路才有对偶电路。只有平面电路才有对偶电路。四、四、如何求一个电路的对偶电路如何求一个电路的对偶电路 打点法：网孔对应节点（外网孔对应参考节点）。打点法：网孔对应节点（外网孔对应参考节点）。注意：注意：两个对偶电路两个对偶电路N，如果对电路如果对电路N有命题（或陈述）有命题（或陈述）S 成成 立，则将立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶元素替换，所得中所有元素，分别以其对应的对偶元素替换，所得 命题（或陈述）命题（或陈述）对电路对电路 成立。成立。例例1 R2+uSilR1例例2 R3R1R2+uS1il1il2i1+rm i1G2G3G1un1un2+u1iS1gm u1G1G2uniS（2）各对偶元素进行替换。数值相同，量纲不同。各对偶元素进行替换。数值相同，量纲不同。注意：注意：（1）每一网孔对应一节点，外网孔对应参考节点。）每一网孔对应一节点，外网孔对应参考节点。参考方向：参考方向：按按惯惯例例网网孔孔电电流流取取顺顺时时针针方方向向，节节点点电电压压方方向向由由独独 立节点指向参考节点。立节点指向参考节点。（3）电电源源方方向向（在在按按惯惯例例选选取取网网孔孔电电流流和和节节点点电电压压 方方向向的的前前提下）提下）原网孔中所包含的原网孔中所包含的电压源电压源如果沿如果沿顺时针顺时针方向电压方向电压升高升高，则在对偶电路中则在对偶电路中电流源电流源的电流方向应的电流方向应指向指向该网孔对应的独该网孔对应的独 立立节点节点。un1un2Is+-usI2I1un2un1 原回路中所包含的原回路中所包含的电流源电流源的电流方向如果和网孔电流方的电流方向如果和网孔电流方向一致，则在对偶电路中向一致，则在对偶电路中电压源电压源的的正极落在正极落在该网孔对应的独该网孔对应的独 立立节点节点上。上。un1un2+-usun2un1IsI2I1返回目录返回目录谢谢观看！谢谢观看！