3.2.1 复数的四则运算.ppt

知识回顾知识回顾1、复数的概念：形如、复数的概念：形如_ 的数叫做的数叫做复数，复数，a，b分别叫做它的分别叫做它的_。2、复数、复数Z1=a1+b1i与与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是相等的充要条件是_。a1=a2，b1=b2a+bi (a，bR)实部和虚部实部和虚部3.复数的几何意义是什么？复数的几何意义是什么？复数复数 平面向量平面向量 或或 点点（a,b）类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？认识新知认识新知1、复数的加法法则：设、复数的加法法则：设Z1=a+bi，Z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它是任意两个复数，那么它们的和们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i点评点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。复数的加法运算法则是一种规定。当当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍）很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。证：证：设设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R)则则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i显然显然 Z1+Z2=Z2+Z1同理可得同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)点评点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中中依然成立。依然成立。运算律运算律探究探究?复数的加法满足交换律，结合律吗？复数的加法满足交换律，结合律吗？Z1+Z2=Z2+Z1(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)复数的加法满足交换律、结合律，即对任复数的加法满足交换律、结合律，即对任意意Z1C，Z2C，Z3CyxO 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 向量向量 就是与复数就是与复数 对应的向量对应的向量.探究？探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？思考？思考？复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi 的复数的复数x+yi 叫做复数叫做复数a+bi减去复数减去复数c+di的的差差，记作，记作（a+bi）（c+di）请同学们推导复数的减法法则。请同学们推导复数的减法法则。事实上，由复数相等的定义，有：事实上，由复数相等的定义，有：c+x=a，d+y=b由此，得由此，得 x=a c，y=b d所以所以 x+yi=(a c)+(b d)i即：即：（a+bi）（c+di）=(a c)+(b d)i点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减，两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减，即即类比复数加法的几何意义，类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？请指出复数减法的几何意义？yxO复数减法的几何意义：复数减法的几何意义：讲解例题讲解例题 例例1 计算计算解：解：1.(2+4i)+(3-4i)2.5-(3+2i)3.(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)4.(2-i)-(2+3i)+4i=(2+3)+(4-4)i=5=(5-3)+(0-2)i=2-2i=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i=(2-2+0)+(-1-3+4)i=05.(3+5i)+(3-4i)6.(-3+2i)-(4-5i)7.(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(3+3)+(5-4)i=6+i=(-3-4)+2-(-5)i=-7+7i=(5-2-3)+(-6-2-3)i=-11i口答口答例例2.设设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y R),且且z1+z2=5-6i,求求z1-z2.解：z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i(3+x)+(2-y)i=5-6iz1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i3+x=5,2-y=-6.x=2y=8复数的四则运算.复数乘法的运算法则：复数乘法的运算法则：(a+bi)(c+di)=(ac bd)+(bc+ad)i.注：复数的乘法满足交换律、结合律以注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法及乘法 对加法的分配律对加法的分配律复数的四则运算.复数除法的运算法则：复数除法的运算法则：把满足把满足(c c+didi）(x x+yiyi)=a a+bibi (c c+didi0)0)的复数的复数 x x+yiyi 叫做复数叫做复数 a a+bibi 除以复数除以复数c c+didi的商的商例题选讲共轭复数.共轭复数共轭复数的概念的概念z=a+bi(a,bR)与与z=a-bi互为共轭复数互为共轭复数-注：注：1 1）当）当a=0a=0时，共轭复数也称为共轭虚数；时，共轭复数也称为共轭虚数；2 2）实数的共轭复数是它本身。）实数的共轭复数是它本身。记作：记作：例例.如果复数 （其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于A.B.C.D.2解析：=22b=b+4，b=.答案：C复数的运算常用结论1）一般地，如果一般地，如果 ，有，有2）复数的运算常用结论3）复数的运算常用结论4）三、课堂练习三、课堂练习1、计算：（、计算：（1）(3 4i)+(2+i)(1 5i)=_ （2）(3 2i)(2+i)(_)=1+6i2、已知、已知xR，y为纯虚数，且（为纯虚数，且（2x 1)+i=y(3 y)i 则则x=_ y=_2+2i9i4i由复数相等得由复数相等得2x 1=aa 3=1x=y=4i分析：依题意设分析：依题意设y=ai（aR），则原式变为：），则原式变为：（2x 1)+i=(a 3)i+ai2=a+(a 3)i 三、课堂练习三、课堂练习3、已知复数、已知复数Z1=2+i，Z2=4 2i，试求，试求Z1+Z2对应对应的点关于虚轴对称点的复数。的点关于虚轴对称点的复数。4、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1，Z2，且满足，且满足Z1+i=Z2 2，求，求Z1和和Z2.分析：先求出分析：先求出Z1+Z2=2 i，所以，所以Z1+Z2在复平面内对应在复平面内对应的点是的点是(2，1)，其关于虚轴的对称点为，其关于虚轴的对称点为(2，1)，故所求复数是故所求复数是2 i分析：依题意设分析：依题意设Z1=x+yi（x，yR）则）则Z2=x yi，由由Z1+i=Z2 2得：得：x+(y+1)i=(x 2)+(y)i，由复数相，由复数相等可求得等可求得x=1，y=1/25.向量 对应的复数是5-4i，向量 对应的复数是-5+4i，则 对应的复数是_。6.如果复数z满足 ,则 的最大值是 _7.已知关于x的方程 有实根，求 的最小值。思考？思考？yxO