工程力学教案6.ppt

6 扭转扭转本章主要研究扭转的概念、圆轴扭转时横截面本章主要研究扭转的概念、圆轴扭转时横截面上的内力和应力、变形计算、强度条件和刚度条件上的内力和应力、变形计算、强度条件和刚度条件及应用、矩形截面杆的扭转。及应用、矩形截面杆的扭转。本章提要本章提要6 扭转扭转教学目的和要求：教学目的和要求：1.理解圆轴扭转的概念与强度计算2.掌握刚度条件及其应用重难点：重难点：重点：刚度条件及其应用难点：刚度条件及其应用本本 章章 内内 容容6.1 扭转的概念外力偶矩的计算扭转的概念外力偶矩的计算6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力6.4 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度圆轴扭转时的强度条件和刚度条件条件6.6 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转6.1 扭转的概念外力偶矩的计算扭转的概念外力偶矩的计算例如汽车的传动轴（图6.1）、船舶推进器（图6.2）、丝攻（图6.3）。共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆件的轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。工程中将扭转变形为主的杆件称为轴。6.1.1 扭转的概念扭转的概念图6.1 图6.2 图6.3 作用在圆轴上的外力偶的力偶矩往往不是直接给出的，而是根据所给定的轴传递的功率和轴的转速计算出的。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：m=9550N/n 6.1.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算6.2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力如图6.4(a)所示的圆轴，在两端外力偶矩m作用下平衡。现用截面法沿I-I横截面截开，取左端为研究对象（图6.4（b)），由平衡条件可知，截面上的内力必然为一力偶，此力偶矩称为扭矩，用符号T表示，由平衡方程mx(F)=0,T-m=0得T=m若取圆轴的右端为研究对象（图6.4(c)，同样可求得mm横截面上的扭矩T=m。6.2.1 扭矩扭矩【例6.1】图6.5(a)所示的传动轴，已知轴的转速n=200r/min,主动轮A的输入功率NA=40kW，从动轮B和C的输出功率分别为NB=25kW，NC=15kW。试求轴上1-1和2-2截面处的扭矩。【解】（1）计算外力偶矩mA=9550NA/n=1910NmmB=9550NB/n=1194NmmC=9550NC/n=616Nm(2)计算1-1截面的扭矩假想将轴沿1-1截面截开，取左端为研究对象，截面上的扭矩T1按正方向假设，受力图如图6.5(b)所示。由平衡方程mx(F)=0,T1-mA=0T1=mA=1910Nm(3)计算2-2截面的扭矩假想将轴沿2-2截面截开，取左端为研究对象，截面上的扭矩T2按正方向假设，受力图如图6.5(c)所示。由平衡方程mx(F)=0,T2+mB-mA=0T2=mA-mB=616Nm若取2-2截面的右端为研究对象，受力图如图6.5(d)所示。由平衡方程mx(F)=0,T2-mC=0T2=mC=616Nm根据以上求解过程，可总结出计算扭矩的以下规律：(1)某一截面的扭矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力偶矩的代数和。(2)以右手拇指顺着截面外法线方向，与其他四指的转向相反的外力偶矩产生正值扭矩，反之产生负值扭矩。(3)代数和的正负，就是扭矩的正负。图6.4 图6.5 图6.5 为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方，负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图。6.2.2 扭矩图扭矩图【例6.2】图6.6(a)所示的传动轴，已知轴的转速n=200r/min，主动轮A的输入功率NA=36.66kW，从动轮B和C的输出功率分别为NB=22.08kW,NC=14.61kW。试作：(1)该轴的扭矩图；(2)若将轮A和轮B的位置对调（图6.6（b)），画出其扭矩图。【解】（1）计算外力偶矩mA=9550NA/n=1656NmmB=9550NB/n=1053.4NmmC=9550NC/n=602.4Nm(2)计算各段的扭矩AB段：考虑AB段内任一截面的左侧，由计算扭矩的规律有TAB=mA=1656NmBC段：考虑右侧TBC=mC=602.4Nm(3)画扭矩图根据以上的计算结果，按比例作扭矩图(图6.6(b)。由扭矩图可见，轴AB段各截面的扭矩最大，其值Tmax=TAB=1656Nm(4)若将轮A和轮B的位置对调(图6.6(c)TBA=-mB=-1053.4NmTAC=mC=602.4Nm扭矩图如图6.6(d)所示，轴BA段各截面的扭矩最大，其值Tmax=|TBA|=1053.4Nm由此可见，将主动轮放置在从动轮的中间，可降低轴内的最大扭矩值。图6.6 图6.6 6.3 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力取一等直圆轴，在圆轴表面画两条圆周线和两条与轴线平行的纵向线。然后在圆轴两端施加外力偶矩m，圆轴即产生扭转变形（图6.6）。这时从圆轴表面可以观察到如下情况：（1）两条圆周线绕轴线旋转了一个小角度，但圆周线的长度、形状和两条圆周线间的距离没有发生变化。6.3.1 现象与假设现象与假设（2）两条纵向线倾斜了同一微小的角度，原来纵向线和圆周线形成的矩形变成了平行四边形，但纵向线仍近似为直线。（3）轴的长度和直径都没有发生变化。根据观察到的这些现象，可作如下假设：圆轴在扭转变形时，各个横截面在扭转变形后仍为相互平行的平面，且形状和大小不变，只是相对地转过了一个角度。此假设称为圆轴扭转时的平面假设。按照平面假设，圆轴任意两横截面之间相对转动的角度，称为扭转角，用来表示。根据平面假设，可以得出以下结论：（1）横截面上无正应力。由于扭转变形时，相邻两横截面间的距离不变，即线应变=0，所以横截面上无正应力。（2）横截面上有剪应力，且其方向与半径垂直，由于扭转变形时，相邻两横截面相对地转过一个角度，即发生了旋转式的相对滑动，由此产生了剪切变形，横截面上各点有剪应变，相应地有剪应力存在。又因半径长度不变，说明剪应变沿垂直于半径方向发生，故剪应力方向与半径垂直。图6.6(1)变形几何关系从轴中取出一微段dx来研究（图6.8）。圆轴扭转后，微段的右截面相对左截面转过一微小角度d，半径Oa转到Oa，纵向线cb转到cb，圆轴表面的矩形abcd变成了平行四边形abcd，原来的矩形直角改变了一个微小角度,就是横截面边缘上点的剪应变。距离圆心为的内层圆柱上，纵向线fe倾斜到fe，倾角的角度即为距离圆心为处的剪应变。在小变形的情况下，由几何关系有tan=ee/fe=d/dx=d/dx6.3.2 横截面上的剪应力横截面上的剪应力(2)物理关系根据剪切虎克定律，圆轴横截面上距圆心为处的剪应力，与该点处的剪应变成正比，即=G将式（a)代入上式，得=Gd/dx上式表明：横截面上任意点处的剪应力横截面上任意点处的剪应力与该点与该点到圆心的距离到圆心的距离成正比。成正比。剪应力的分布规律如图6.9所示。(3)静力学关系在横截面距圆心为处取一微面积dA(图6.10)，微面积上的合力为dA,该力对圆心的力矩为dA。截面上所有这些微力矩的总和就等于横截面上的扭矩T，即将式（b)代入式（c)积分A2dA只与横截面的形状和尺寸有关，称为横截面对O点的极惯性矩，是截面的一种几何性质，用Ip来表示，即Ip=A2dA=T/Ip上式即为圆轴扭转时横截面上任一点剪应力的计算公式。令Wn=IpD/2,Wn称为抗扭截面系数。则式（f）可写为max=T/Wn 图6.8图6.9图6.10(1)实心圆截面对实心圆截面，可如图6.11取一圆环形微面积dA，圆环的内径为，圆环的宽度为d，则dA=2d于是得到实心圆截面的极惯性矩为实心圆截面的抗扭截面系数为 6.3.3 极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩和抗扭截面系数(2)空心圆截面求空心圆截面（图6.12）的极惯性矩和抗扭截面系数与求实心圆截面的方法相同，即空心圆截面的极惯性矩为 空心圆截面的抗弯截面系数为【例6.3】图6.13（a)所示的传动轴，在外力偶矩mA、mB、mC作用下处于平衡，试求（1）轴AB的I-I截面上离圆心距离20mm各点的剪应力；（2）I-I截面的最大剪应力；（3）轴AB的最大剪应力。【解】（1）画轴AB的扭矩图 AC段：TAC=mA=0.3kNmCB段：TCB=mB=0.1kNm轴AB的扭矩图如图6.13(b)所示。（2）计算极惯性矩和抗扭截面系数AD段：Ip10.1D41=0.1504mm4=625000mm4Wn10.2D13=0.2503mm3=25000mm3DB段：Ip20.1D24=0.1404mm4=256000mm4Wn20.2D23=0.2403mm3=12800mm3（3）计算应力II截面上离圆心20mm处的剪应力为=TAC/Ip1=0.3106/62500020MPa=9.6MPaI-I截面上的最大剪应力为max=TAC/Wn1=0.3106/25000MPa=12MPaDC段扭矩与AD段相同，但抗扭截面系数比AD段小，故轴AB的最大剪应力发生在DC段横截面圆周边缘上，即max=TAC/Wn2=0.30106/12800MPa=23.4MPa 图6.11图6.12图6.136.4 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形，用两个横截面间绕轴线的相对扭转角来度量。由上节式（e)可得相距为l的两个截面之间的扭转角为当轴在l长度范围内T、G和Ip均为常量时，有GIp称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。从上式可知，的大小与轴的长度有关，为了消除长度的影响，用单位长度扭转角来表示扭转变形的程度，即式中的单位是弧度每米(rad/m)，由于工程上的单位常用度每米（/m），则 6.5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件6.5.1 强度条件强度条件要使受到扭转的圆轴能正常工作，就应使圆轴具有足够的强度，即使轴工作时产生的最大剪应力不超过材料的许用剪应力，故强度条件为在静载条件下，它与许用拉应力有如下关系：塑性材料=(0.50.6)脆性材料=(0.81.0)圆轴扭转时，不仅要有足够的强度，还应有足够的刚度，才能使其安全可靠地工作。工程中要求轴工作时产生的最大单位长度扭转角不超过许用单位扭转角，故刚度条件为一般情况下规定 精密机械的轴=0.250.5/m一般传动轴=0.51.0/m精密度较低的轴=24/m6.5.2 刚度条件刚度条件【例6.4】汽车传动轴AB（图6.14)，由45号无缝钢管制成，外径D=90mm，内径d=85mm，许用剪应力=60MPa，许用单位扭转角=2/m，G=80GPa，传递最大力偶矩m=1.5kNm。试求：（1）校核其强度和刚度。（2）若改用材料相同的实心轴，要求它不低于原传动轴的强度和刚度，设计其直径D1。（3）计算空心轴和实心轴的重量之比。【解】（1）校核强度和刚度T=m=1.5kNmWn0.2D3(1-4)=29820mm3Wn0.2D3(1-4)=29820mm3max=T/Wn=50.3MPa=60MPaIp0.1D4(1-4)=1341068mm4=T/GIp180/=0.8/m=2/m所以传动轴满足强度和刚度要求。（2）计算实心轴直径D1对空心轴和实心轴而言，强度相同即max相同。从公式max=T/Wn可知，由于T是相同的，则应有Wn相同，即Wn0.2D13=0.2D3(1-4)则D1=53mm同理，根据两轴的刚度相同，可得到极惯性矩Ip应相同，即Ip0.1D14=0.1D4(1-4)则D1=61mm综合强度和刚度两方面，取实心轴的直径D1=61mm。（3）两轴重量之比由于两轴材料相同，长度相同，它们的重量之比就等于横截面面积之比，若用W1和W2分别表示空心轴和实心轴的重量，则W1/W2=/4(D2-d2)/(/4D12)=0.235即空心轴重量仅为实心轴重量的23.5%，因此采用空心轴比实心轴合理，既可节省材料，又能减轻自重。【例6.5】一传动轴受力情况如图6.15(a)所示。已知材料的许用剪应力=50MPa，许用单位扭转角=0.6/m，剪力弹性模量G=80GPa，试设计轴的直径。【解】(1)画传动轴的扭矩图BC段：TBC=m2=600NmCD段：TCD=-m3=-1280Nm轴的扭矩图如图6.15(b)所示。从扭矩图可以看出，危险截面在CD段内，最大扭矩值为Tmax=|TCD|=1280Nm（2）按强度条件设计轴的直径Wn0.2D3Tmax/=50.4mm(3)按刚度条件设计轴的直径Ip0.1D4Tmax/(G)180/=1280106/(801030.610-3180/D62.5mm要使轴同时满足强度条件和刚度条件，选取轴的直径D=63mm。【例6.6】某减速箱的实心传动轴，直径D=60mm，材料的许用剪应力=50MPa，转速n=1900r/mm，试求轴能传递多少功率。【解】（1）确定许用扭矩T=Wn0.2D3=2160Nm而m=T=2160Nm（2）确定轴能传递的功率由式（6.1）有N=mn/9550=204kW图6.14图6.156.6 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转以上所述为圆截面杆的扭转问题（图6.16(a)，但是，在工程上还可能遇到矩形截面杆的扭转问题。如取一横截面为矩形的杆，在其侧面画上纵向线和代表横截面的横向周线。扭转变形后横截面已不再保持为平面，而会产生翘曲现象（图6.16(b)）。这是非圆截面直杆扭转时的一个重要特征（图6.16(c)）。试验表明：矩形截面杆扭转后，表面棱边处小方格无剪切变形（图6.16(b)）；距棱边越远，剪应变越大；在侧面的中线处，剪应变最大。这些现象说明了剪应力沿周边变化的大致规律。根据弹性力学的推导结果，矩形截面杆扭转时，横截面上剪应力的分布规律如图6.16所示。角点处的剪应力为零，整个截面上的最大剪应力max发生在长边中点处，其计算公式为 扭转角的计算公式为 在短边上，中点处B的剪应力B最大，并可按下列公式计算：B=max在非圆截面杆中，In并非横截面的极惯性矩，Wn与In之间也没有像圆截面那样简单的几何关系。当h/b10时，、都接近于1/3，因此，狭长矩形截面的In和Wn可按下式计算：In=1/3hb3Wn=1/3hb2【例6.6】一矩形截面杆，截面高度h=90mm，宽度为b=60mm，承受扭矩T=2.50103Nm。试计算max；如改用截面面积相等的圆截面杆，试比较二者的max。【解】(1)计算矩形截面杆的最大剪应力根据h/b=90/60=1.5，由表6.1查得=0.231，故矩形截面杆的最大剪应力为max=Mn/(hb2)=33.4MPa（2）比较截面面积相等的矩形截面杆与圆形截面杆的最大剪应力。矩形截面面积：A=6090=5.4103mm2圆形截面面积：A=R2使R=5.4103得R=41.5，或圆杆的直径D=83.0mm。圆截面的Wn=0.2D3=114103mm3。因此，圆截面的最大剪应力为max=T/Wn=22MPa可见，在同样截面情况下，矩形截面的max大；并且，矩形截面愈是狭长，其结果愈为悬殊。图6.16图6.16第六章作业与练习作业：P101-P练习：本章结束第六章教学总结