牛顿迭代法实验.ppt

1/16牛顿迭代法实验牛顿迭代法实验实验预备知识实验预备知识实验问题与实验原理实验问题与实验原理实验程序和实验结果实验程序和实验结果实验结论实验结论2/16设设 x*是方程是方程 f(x)=0 的根的根,x0是是x*的近似值的近似值.在在 x0 附近附近,对函数做局部线性化对函数做局部线性化x0 x1x*(n=0,1,2,)牛顿迭代格式牛顿迭代格式:3/16 X,Y=X,Y=meshgridmeshgrid(-2:.2:2,-(-2:.2:2,-2:.2:2);2:.2:2);Z=X.*exp(-X.2-Y.2);Z=X.*exp(-X.2-Y.2);pcolorpcolor(Z);(Z);shadingshading interp interppcolor：用于绘制伪彩色图用于绘制伪彩色图Shading inter使图形更精细使图形更精细4/16给定初值给定初值 z0,产生牛顿迭代数列产生牛顿迭代数列z0,z1,z2,zn,Newton 迭代法实验迭代法实验方程方程 z3 1=0 在复平面上有三个根在复平面上有三个根(n=0,1,)令令5/16考虑正方形区域考虑正方形区域 牛顿迭代法具有牛顿迭代法具有局部收敛性局部收敛性，如果如果 z0 使迭代收敛。问迭使迭代收敛。问迭代数列将收敛于何处？代数列将收敛于何处？取定初值取定初值实验将确定实验将确定初值初值 z0 产生的牛顿迭代数列产生的牛顿迭代数列收敛于三个根中哪一个。收敛于三个根中哪一个。6/16选择区域中规则网格点选择区域中规则网格点 (x,y)确定迭代初始值确定迭代初始值z=x+i y进行实验进行实验.将导致收敛的初值将导致收敛的初值 z 分为三类分为三类,分别标以分别标以不同颜色不同颜色(例如红、黄、蓝例如红、黄、蓝)。绘出牛顿迭代法对该。绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图方程的收敛域彩色图。7/16收敛到收敛到 z1 初值点集合初值点集合收敛到收敛到 z2 初值点集合初值点集合收敛到收敛到 z3 初初值点集合值点集合图图1 牛顿迭代法收敛区域牛顿迭代法收敛区域8/16在复在复平面内平面内,使牛顿迭代不收敛的初值点集构成了使牛顿迭代不收敛的初值点集构成了茹利亚集茹利亚集(为纪念法国数学家为纪念法国数学家Julia).图图2 牛顿迭代法不收敛区域牛顿迭代法不收敛区域不收敛不收敛初值点集合初值点集合9/16function p=newton0(z)if z=0,p=0;return;endfor n=1:10 p=z-(z3-1)/(3*z2);if abs(p-z)0.00001,break;end z=p;end牛顿迭代法子程序牛顿迭代法子程序10/16function A0=Newtonlab(n)if nargin=0,n=101;endt=linspace(-2,2,n);x,y=meshgrid(t);X=roots(1,0,0,-1);A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X);A=A0+2*A1+3*A2+4*A3;figure(1),pcolor(x,y,A),shading interp figure(2),pcolor(x,y,A0),shading interp 实验绘图主程序实验绘图主程序11/16function A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);Z=x+y*i;M,N=size(Z);A0=zeros(M,N);A1=A0;A2=A0;A3=A0;for k1=1:M for k2=1:N z=Z(k1,k2);p=newton0(z);%取初值调用牛顿迭代取初值调用牛顿迭代 if abs(p-r1)0.01,A1(k1,k2)=1;elseif abs(p-r2)0.01,A2(k1,k2)=1;elseif abs(p-r3)0.01,A3(k1,k2)=1;else A0(k1,k2)=1;%确定不收敛的初始点确定不收敛的初始点 end endend调用牛顿迭代程序创建矩阵调用牛顿迭代程序创建矩阵(照片照片)12/16m,n=size(A0);N=m*n;II=find(A0=1);N0=length(II);II=find(A1=1);N1=length(II);II=find(A2=1);N2=length(II);II=find(A3=1);N3=length(II);format bankresults=100*N0,N1,N2,N3/N利用矩阵统计各区域百分比程序利用矩阵统计各区域百分比程序13/16function prop=Newtonlab2(n)if nargin=0,n=100;endP=rand(n,2);x=4*P(:,1)-2;y=4*P(:,2)-2;Z=x+i*y;A0=;A1=;A2=;A3=;X=roots(1,0,0,-1);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);for k=1:n z=Z(k);p=newton0(z);if abs(p-r1)0.01,A1=A1,1;elseif abs(p-r2)0.01,A2=A2,1;elseif abs(p-r3)0.01,A3=A3,1;else _;endendN0=sum(A0);N1=sum(A1);N2=sum(A2);N3=sum(A3)format bankprop=_;14/16实验结果实验结果表表1.规则点不收敛域与收敛域百分比规则点不收敛域与收敛域百分比分辨率分辨率 不收敛域不收敛域 收敛域收敛域III 收敛域收敛域II 收敛域收敛域I 51*51 6.42 30.26 30.26 33.06 101*101 6.48 30.30 30.30 32.92201*201 6.52 30.27 30.27 32.93表表2.随机点不收敛域与收敛域百分比随机点不收敛域与收敛域百分比随机点数随机点数 不收敛域不收敛域 收敛域收敛域III 收敛域收敛域II 收敛域收敛域I 100 6.00 27.00 31.00 36.00 1000 7.10 29.70 29.10 34.10 10000 6.11 30.84 30.06 32.9915/16实验结论：实验结论：方程方程 z3 1=0 在复平面上有三个根在复平面上有三个根取正方形区域取正方形区域 内内任意点确定复数任意点确定复数为牛顿迭代法初值为牛顿迭代法初值实验结果表明实验结果表明,牛顿迭代法具有局部收敛性牛顿迭代法具有局部收敛性。至少有至少有6%的点导致牛顿迭代法不收敛的点导致牛顿迭代法不收敛;导致牛顿迭代法收敛的点分布于三个区域导致牛顿迭代法收敛的点分布于三个区域;三个区域中分别包含了三个根三个区域中分别包含了三个根,初值点接近于根所在初值点接近于根所在位置位置,必收敛于附近根必收敛于附近根;在三个区域分界处取初值点在三个区域分界处取初值点,可能导致迭代法不收敛可能导致迭代法不收敛.16/16不敛域不敛域 敛域敛域III 敛域敛域II 敛域敛域I 6.11 30.84 30.06 32.99图图3.收敛域比例二维饼图收敛域比例二维饼图图图4.收敛域比例三维饼图收敛域比例三维饼图pie(6.11,30.84,30.06,32.99,A0,A1,A2,A3)比例数据的饼图表示方法比例数据的饼图表示方法:pie()、pie3()