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实验五实验五 牛顿迭代法牛顿迭代法【实验目的实验目的】1.了解牛顿迭代法的基本概念.2.了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度。3.学习、掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容实验内容】用牛顿迭代法求解方程 的近似根，误差不超过10-3。【实验准备实验准备】1.牛顿迭代法原理牛顿迭代法原理 设已知方程 的近似根 ，则在 附近 可用一阶泰勒多项式 近似代替。因此，方程 可近似表示为 。用 近似表示 根差异不大。设 ，由于 满足 ，解得 重复这以过程，得到迭代格式 这就是著名得牛顿迭代公式，它相应的不动点方程为牛顿迭代法2.牛顿迭代法的几何解析牛顿迭代法的几何解析 在 处做曲线的切线，切线方程为令 可得切线与 轴的交点坐标 ，这就是牛顿迭代法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切线法”。3.牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性 计算可得 ，设 是 的单根，有 ，则故在 附近，有 。根据不动点原理知牛顿迭代法收敛。4.牛顿迭代法的收敛速度牛顿迭代法的收敛速度定理（牛顿法收敛定理）设 在区间 上有二 阶连续导数，且满足 ，在 上不变号，在a,b上不等于0，令有 ，则对任意 ，牛顿迭代格式收敛于在 中的唯一实根 ，且 ，牛顿迭代法为二阶收敛。对不动点方程 ，它导出的迭代过程有可能发散，也可能收敛得非常缓慢。这时，我们有没有办法改进不动点方程，让迭代过程收敛得快一些呢？迭代过程的加速迭代过程的加速（1）一个简单办法）一个简单办法 注意到 和 都是不动点方程，它们的加权平均也是不动点方程，而且 和 有完全相同的不动点。适当选取 的值，可以使发散的迭代过程变得收敛，使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。（2）加速的原因）加速的原因 在下面的实验中我们可以看到，在不动点 附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性。的绝对值越小，收敛性越好。因此，选择 使得 。计算得到理想的 值为 ，相应可计算出 （1）一个简单办法）一个简单办法 注意到 和 都是不动点方程，它们的加权平均也是不动点方程，而且 和 有完全相同的不动点。适当选取 的值，可以使发散的迭代过程变得收敛，使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。（2）加速的原因）加速的原因 在下面的实验中我们可以看到，在不动点 附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性。的绝对值越小，收敛性越好。因此，选择 使得 。计算得到理想的 值为 ，相应可计算出 （3）的选取的选取 由于理想的 值为 ，当 变化不大时，可以取 近似计算 。（4）回到牛顿迭代法的讨论）回到牛顿迭代法的讨论 为求解方程 ，可以使用不动点方程 ，相应的迭代函数为 对 进行加速所以，牛顿迭代法是对基本迭代格式进行加速的结果。5.5.迭代的迭代的MATLABMATLAB命令命令 MATLAB中主要用for,while等控制流命令实现迭代。练习练习 1 用牛顿迭代法求方程 在 附近的近似根，误差不超过10-3。牛顿迭代法的迭代函数为：相应的matlab代码为：（运行）clear;x=0.5;for i=1:3 x=x-(x3+x2+x-1)/(3*x2+2x+1)end可算得迭代数列的前三项0.5455,0.5437,0.5437。经三次迭代就大大超了精度练习练习2 用牛顿迭代法求方程 的近似正实根，由此建立一种求平方根的计算方法。由计算可知，迭代格式为 ，在实验12的练习4中已经进行了讨论。练习练习3 用牛顿迭代法求方程 的正根。牛顿迭代法的迭代函数为如果取初值为 ，相应的MATLAB代码为(运行)clearx=0;for i=1:6 x=x-(x*exp(x)-1)/(x+1)*exp(x)end 可得迭代数列前6项为1.0000，0.6839，0.5775 0.5672，0.5671，0.5671，说明迭代实收敛的。如果取初值为10，相应的MATLAB代码为clear;x=10.0;for i=1:20 x=x-(x*exp(x)-1)/(x+1)*exp(x)y(i)=x;End（运行）可算得迭代数列的前20项为9.0909，8.1900 7.2989 ，6.4194 ，5.5544 ，4.7076，3.8844 ，3.0933 ，2.3487 1.6759 ，1.1195，0.7453，0.5902 0.5676 ，0.5671 ，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671 ，0.5671,说明迭代是收敛的。如果取初值 或 ，可算得迭代数列是发散的，根据函数图形分析原因。练习练习4 求方程 在 附近的根，精确到10-5先直接使用 的迭代格式，相应的MATLAB代码为n=0;esp=1.05e-5;x=0.5;while abs(x-exp(-x)esp x=exp(-x);n=n+1;endx,n（运行）结果为x=0.5671,n=17,说明迭代17次后达到精度要求。可算得迭代数列的前20项为9.0909，8.1900 7.2989 ，6.4194 ，5.5544 ，4.7076，3.8844 ，3.0933 ，2.3487 1.6759 ，1.1195，0.7453，0.5902 0.5676 ，0.5671 ，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671 ，0.5671,说明迭代是收敛的。如果取初值 或 ，可算得迭代数列是发散的，根据函数图形分析原因。练习练习4 求方程 在 附近的根，精确到10-5先直接使用 的迭代格式，相应的MATLAB代码为n=0;esp=1.05e-5;x=0.5;while abs(x-exp(-x)esp x=exp(-x);n=n+1;endx,n（运行）结果为x=0.5671,n=17,说明迭代17次后达到精度要求。为加快收敛速度，用 构造迭代格式，由实验的预备知识中可知，取相应的MATLAB代码为n=0;eps=1.0e-5;x=0.5;while abs(x-0.625*exp(-x)-0.375*x)eps x=0.625*exp(-x)+0.375*x;n=n+1;endx,n 结果为0.5671，n=3,说明迭代三次后达到精度要求。练习练习5 对练习中方程 ，用加快后的迭代格式 求x=0.5附近的根，精确到10-5 计算 可得 ，相应的MATLAB代码为n=0;eps=1.0e-5;x=0.5;while abs(x-(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x)eps x=(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x);n=n+1;endx,n结果为x=0.5671,n=2,说明迭代2次后达到精度要求。【实验作业实验作业】1.用牛顿迭代法求方程 的近似根。2.为求出方程 的根，在区间1,2内使用迭代函数进行迭代，记录迭代数据，问迭代是否收敛？对迭代进行加速，对比加速前的数据，比较加速效果。3.使用在不动点 的泰勒公式，证明牛顿迭代法收敛定理。