(6.5.1)--5.5对称矩阵的对角化.pdf

第5章-相似矩阵及二次型FifthChapter证 Ap1=1 p1，Ap2=p2，因为A是对称阵，所以 1p1T=(1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA，右乘 p2,则 1p1Tp2=p1TAp2=p1T(p2)=2p1Tp2，(1 2)p1Tp2=0，因为 1 2，则 p1Tp2=0，即p1,p2正交性质1:对称矩阵的特征值为实数.性质2:设 1和 2是对称阵A的特征值，p1,p2是对应的特征向量，若 1 2，则 p1,p2正交V对称矩阵的对角化定理:设 A 为n阶对称阵，则必有正交阵P，使得P1AP=PTAP=，其中 是以A 的n个特征值为对角元的对角阵.推论:设 A为 n 阶对称阵，是A的特征方程的k重根，则矩阵 A的秩等于 nk，对应特征值 恰有 k 个线性无关的特征向量对称阵A 对角化的步骤：(1)求出 A 的全部互不相等的特征值 1,2,s,其重数依次为(2)对每个ki重特征值 i,求(A iE)x=0 的基础解系,得到(3)这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有P1AP=PTAP=中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应.k1,k2,ks（k1+k2+ks=n）ki个线性无关的特征向量,将其正交单位化,得到 ki个两两正交的单位特征向量（因k1+k2+ks=n，总共可得n 个两两正交的单位特征向量）解 因为A为对称阵，所以A可对角化由求得A 的特征值为 1=2，2=3=1011101110A21111(1)(2)11AE 例 设，求正交阵P,使 P1AP=为对角阵.当 1=2 时，解方程组(A+2E)x=0由2111012121011112000rAE,111.1111111111000111000rAE111131p得基础解系将其单位化，可得到当 2=3=1 时，解方程组(AE)x=0由23111 001,将 2,3 正交化：32223322211,11 1,202,将 2,3单位化：2311111 12602pp,得基础解系为：将 p1,p2,p3构成正交阵从而123111326111(,)32612036Pppp1200010.001TPAPPAP 谢谢，再见！