通信原理：卷积简单介绍.docx

简单介绍编辑1卷积是分析数学中一种重要的运算。设：/(N)g(i)是脓上的两个可积函数，作积分：f(T)g(x-T)dTJ Xi可以证明，关于几乎所有的N G (-00,00),上述积分是存在的。这样，随着7的不 同取值，这个积分就定义了一个新函数h(1),称为函数/与g的卷积，记为无3) = (/ g)(矶 我们可以轻易验证：(f * g)(i) = (g * /)(©,并且 (/* g)(i)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，乙|(冗1)空间是一个代数, 甚至是巴拿赫代数。卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的 傅里叶变换，利用此一性质，能简化傅里叶分析中的许多问题。由卷积得到的函数/ * g一般要比/和g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，/为 局部可积时，它们的卷积/ * g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数/, 都可以简单地构造出一列逼近于/的光滑函数列九，这种方法称为函数的光滑化或正则 化。卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。定义编辑1函数f与。的卷积记作/ *它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的 积分，是一个对平移量的函数。(/* g)(t) = /- T)dr积分区间取决于f与g的定义域。对于定义在离散域的函数，卷积定义为(f *g)m = £/同gm - n图解卷积.首先将两个函数都用 7"来表示o1 .对其中一个函数做水 平翻转：。一g(f).2 .加上一个时间偏移量， 让g(t 一 -)能沿着丁轴滑动。3 .让t从滑动到+8。 两函数交会时，计算 交会范围中两函数乘 积的积分值。换句话 说，我们是在计算一 个滑动的的加权平均 值。也就是使用g(一 丁) ,当做加权函数，来对/(7)取加权平均值。最后得到的波形(未包 含在此图中)就是，和 g的卷积。如果f (力是一个单位脉 在，我们得到的乘积就是 g (f)本身，称为冲激响 应。计算卷积的方法缄辑当为有限长度N,为有限长度A7的信号，计算卷积/网*。网有三种主要的方法，分别为1 .直接计算(Direct Method) 2.快速傅里叶转换(FFT)和3.分段卷积(sectionedconvolution) o方法1是直接利用定义来计算卷积，而方法2和3都是用到了 FFT来快速 计算卷积。也有不需要用到FFT的作法，如使用数论转换。方法1直接计算编辑作法：利用卷积的定义A/-1yn = fn*gn = £ fn- mgmm=0若/何和皆为实数信号，则需要a/n个乘法。 若和皆为更一般性的复数信号，不使用复数乘法的快速算法，会需要个乘法;但若使用复数乘法的快速算法，则可简化至3A/A7个乘法。因此，使用定义直接计算卷积的复杂度为方法2快速傅里叶转换(FFT)编辑I 概念:由于两个离散信号在时域(time domain)做卷积相当于这两个信号的离散傅里叶转换在频域(frequency domain)做相乘：切用=/n * gn » Yf = FfGf,可以看出在频域的计算较简单。 作法:因此这个方法即是先将信号从时域转成频域：Flf = DFTPfnGf = DFTP(gn),于是yf = DFTP(fn)DFTP(gn),最后再将频域信号转回时域，就完成了卷积的计算：yn = IDFTPDFTP(fn)DFTP(gn)总共做了 2次DFT和1次IDFT。特别注意DFT和IDFT的点数尸要满足P > M + N - lo由于DFT有快速算法FFT,所以运算量为°(P l°g2 0) 假设尸点DFT的乘法量为a,和gH为一般性的复数信号，并使用复数乘法的快速算法，则共需要3q + 3P个乘法。方法 3 分段卷积(sectioned convolution)编辑概念：将/同切成好几段，每一段分别和做卷积后，再将结果相加。作法：先将/几切成每段长度为乙的区段(A > AJ),假设共切成s段:/同(九=0,1,., N 1) t /in, f2n, f3n,fsn(S =fln = / 川，口=0, 1,L 1Section 1: AM = fln +1,，L 1Sectionr.frn = fn + (r - l)L,n = 0,1,，。一 1 .Section S: fsn = f + (S - 1)L, 71 = 0, 1,L 1,f 几为各个section的和= £川几 - (r- 1)4 r=lo因此，S A/-1耐=fn *gn = £ £ frn-(r-l)L- mgm r=l m=0每一小段作卷积则是采用方法2,先将时域信号转到频域相乘，再转回时域:S A/-1yn = IDFT £ DFTp(frn-(r-l)L-m)DFTp(gm),P > ML-1 r=l m=0 o 总共只需要做尸点FFT 2s + 1次，因为gg只需要做一次FFTo假设尸点DFT的乘法量为a, /HI和。几1为一般性的复数信号，并使用复数乘法的快速算法，则共需要(2S+ l)a+ 3sp个乘法。y3(L+ M - l)log2(I + M -1) + 1运算年：L 运算复杂度：°(八)和N呈线性，较方法2小。性质编辑1各种卷积算子都满足下列性质：交换律f* g = g* f结合律f * (g * h) = (f * g) * h分配律f * (g + 无)=(f*g) + (/* 万)数乘结合律Q(/*g) = (a/)*g = / * (叫)其中。为任意实数(或复数)O微分定理D(f*g) = Df*g = f*Dg其中Df表示f的微分,如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种： 前向差分：。+= /(n+1)一 /(几)后向差分：几)=fW- f(n - 1)卷积定理编辑1卷积定理指出,函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当 于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。尸(/卷积在工程和数学上都有很多应用： 统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。9)=尸(7)尸(力其中尸(7)表示f的傅里叶变换。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换(参见 Mellin inversion theorem)等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到 在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为睦的序列，按照卷积的定义进行计算，需 要做2几-1组对位乘法，其计算复杂度为。(几2)；而利用傅里叶变换将序列变换到频域 上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后,总的计算复杂度为 9(l°g")。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。在群上的卷积编辑若G是有某m测度的群(例如豪斯多夫空间上哈尔测度下局部紧致的拓扑群)，对于G上 m勒贝格可积的实数或复数函数f和可定义它们的卷积：(f*g)(t)= /®)g的T)dm J G对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理 论以及调和分析的彼得外尔定理。应用编辑1 概率论中,两个统计独立变量X与丫的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函 数的卷积。 声学中，回吏可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。 电子工程与信号处理中,任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数 （系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。