二重积分的应用 (2).ppt

第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用一、多元函数一、多元函数元素法元素法二、曲面的面积二、曲面的面积三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心四、四、平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量五、小结五、小结1一一 多元函数元素法多元函数元素法由定积分的元素法推广得到重积分的元素法由定积分的元素法推广得到重积分的元素法.若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的式，的式，其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为二重积分的元素法二重积分的元素法.2三重积分的元素法三重积分的元素法.若要计算的某个量若要计算的某个量U对于空间闭区域对于空间闭区域V具有可加具有可加性，并且在闭区域性，并且在闭区域V内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 dV时，相应地部分量可近似地表示为时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中的形式，其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达所求量的积分表达式为式为 利用重积分的元素法可以讨论重积分在几何、利用重积分的元素法可以讨论重积分在几何、物理上的一些应用物理上的一些应用3二二 曲面的面积曲面的面积卫星卫星41、设曲面设曲面S的方程为：的方程为：下面通过微元素法来计算曲面下面通过微元素法来计算曲面S S的面积的面积.5如图，先在闭区域如图，先在闭区域D D上任取一直径很小的闭区域，上任取一直径很小的闭区域，6曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：7、设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：、设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得8实例解实例解 如图建立坐标系如图建立坐标系卫星卫星通讯卫星覆盖的曲面通讯卫星覆盖的曲面 是上半是上半球面被半顶角为球面被半顶角为 的圆锥面所的圆锥面所截得的部分，其方程为截得的部分，其方程为于是通讯卫星覆盖面积为于是通讯卫星覆盖面积为910解解例例1 11112解解设第一卦限部分的面积为设第一卦限部分的面积为 A1，则由对称性，所求的面积为则由对称性，所求的面积为13极坐标系下表示：极坐标系下表示：14三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心15当薄片是均匀的，重心坐标为当薄片是均匀的，重心坐标为16解解Oxy例例3 317则图为则图为:18三三 平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量19薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于坐标原点的转动惯量薄片对于坐标原点的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量20解解2122解解2324几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、（注意审题，熟悉相关物理知识）注意审题，熟悉相关物理知识）四四 小结小结作业：作业：418418页页 1 1（2 2），），2 2，4 4（1 1），），7 7（2 2）25