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第三章随机分析2023/1/101本讲稿第一页，共三十三页 1、均方极限的定义、均方极限的定义 证明证明:由柯西由柯西许瓦兹不等式：许瓦兹不等式：3.1 均方极限均方极限本讲稿第二页，共三十三页3.1 均方极限均方极限本讲稿第三页，共三十三页 2、均方极限的性质、均方极限的性质 （1）均方极限的唯一性）均方极限的唯一性若若则则（2）均方极限的运算性质）均方极限的运算性质为常数，则为常数，则若若3.1 均方极限均方极限本讲稿第四页，共三十三页3、均方收敛判定准则、均方收敛判定准则 (1)柯西准则柯西准则 设设 均方收敛的充要条件是：均方收敛的充要条件是：(2)均方收敛准则均方收敛准则 设设则则 均方收敛的充要均方收敛的充要条件是：条件是：为常数。为常数。3.1 均方极限均方极限本讲稿第五页，共三十三页例例1 1、设、设是相互独立的随机变量序列是相互独立的随机变量序列,其分布律为其分布律为讨论讨论均方连续性均方连续性.解解:由于由于故故不均方收敛不均方收敛.上述随机变量序列的均方极限及其性质上述随机变量序列的均方极限及其性质,可以推广到二阶矩过程上可以推广到二阶矩过程上.3.1 均方极限均方极限本讲稿第六页，共三十三页设设是二阶矩过程是二阶矩过程,若若则称当则称当时时,均方收敛于均方收敛于X,记作记作3.1 均方极限均方极限本讲稿第七页，共三十三页 1、均方连续的定义、均方连续的定义设设是二阶矩过程是二阶矩过程,若若则称则称在在均方连续均方连续.若若则称则称 在在T上均方连续上均方连续,或称或称是均方连续的是均方连续的.在在t处均方连续处均方连续,2、均方连续准则、均方连续准则设设是二阶矩过程是二阶矩过程,是是其相关函数其相关函数,则则在在 处均方连续的充要条件是处均方连续的充要条件是在在连续连续.3.2 均方连续均方连续本讲稿第八页，共三十三页证明：充分性，设证明：充分性，设连续则连续则在在由由连续性，得连续性，得即即必要性，必要性，由均方极限的性质有由均方极限的性质有3.2 均方连续均方连续本讲稿第九页，共三十三页即即由均方连续准则可知：由均方连续准则可知：若二阶矩过程若二阶矩过程的相关函数的相关函数对任意的对任意的在在(t,t)处连续处连续,则它在则它在上连续上连续.例例2、设、设其中其中W(t)为维钠过为维钠过X(t)的均方连续性的均方连续性.过程过程,试讨论试讨论X(t)解：解：3.2 均方连续均方连续本讲稿第十页，共三十三页 显然显然 均方连续均方连续函数函数.是连续函数是连续函数,所以所以3.2 均方连续均方连续本讲稿第十一页，共三十三页 1、均方导数的定义、均方导数的定义设设是二阶矩过程是二阶矩过程,如果均方极限如果均方极限存在，则称此极限为存在，则称此极限为在在 点的均方导点的均方导数数,记作记作称称点均方可导。点均方可导。在在若若对于对于均方可导，则称均方可导，则称是均方可导的是均方可导的.此时此时3.3 均方导数均方导数本讲稿第十二页，共三十三页的均方导数的均方导数是一个新的二阶矩过程是一个新的二阶矩过程,记作记作称为称为导数过程导数过程.类似地可定义二阶以至高阶导数过程类似地可定义二阶以至高阶导数过程.2、均方可导准则、均方可导准则 (1)广义二阶导数的定义广义二阶导数的定义 设二元函数设二元函数若下列极限若下列极限存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数广义二阶导数广义二阶导数.点的点的3.3 均方导数均方导数本讲稿第十三页，共三十三页 (2)均方可导准则均方可导准则 二阶矩过程二阶矩过程在在的充要条件为其的充要条件为其可导可导.广义二阶广义二阶 广义二阶导数存在的充分条件为广义二阶导数存在的充分条件为关于关于s,t的二阶混合的二阶混合的二阶广义导数等于它得二阶混合偏导数的二阶广义导数等于它得二阶混合偏导数.偏导数连续偏导数连续,且且证明证明:均方极限均方极限存在的充要条件为存在的充要条件为3.3 均方导数均方导数本讲稿第十四页，共三十三页存在存在,而上式可表示为而上式可表示为正是正是在在处的二阶广义导数处的二阶广义导数.由均方可导准则可知由均方可导准则可知:二阶矩过程二阶矩过程对任意对任意广义二阶可导广义二阶可导.均方可导的条件为其相关函数均方可导的条件为其相关函数3.3 均方导数均方导数本讲稿第十五页，共三十三页 3、均方导数的性质、均方导数的性质(1)设设在在t处均方可导处均方可导,则必在该处连续则必在该处连续,其逆不其逆不真真.(2)(2)若若则则(3)(4)则则 (5)若若为常随机变量为常随机变量)上述性质利用均方导数与均方极限的定义可直接证得上述性质利用均方导数与均方极限的定义可直接证得.4 4、均方导数过程与原过程数字特征间的关系、均方导数过程与原过程数字特征间的关系3.3 均方导数均方导数本讲稿第十六页，共三十三页 若二阶矩过程若二阶矩过程相关函数相关函数对任意的对任意的在在(t,t)处广义二阶可导处广义二阶可导,则则在在都存在都存在,且且(1)(2)(3)(4)其中其中3.3 均方导数均方导数本讲稿第十七页，共三十三页例例3、设、设的均值函数为的均值函数为相关函数为相关函数为求其导数过程的均值函数与相关函数求其导数过程的均值函数与相关函数.解解:3.3 均方导数均方导数本讲稿第十八页，共三十三页 1、均方积分的定义、均方积分的定义 设二阶矩过程设二阶矩过程为定义在为定义在确定性函数确定性函数,将将分成分成n个部分区间个部分区间,一组分点是一组分点是令令作和式作和式记记若对于任意的若对于任意的 及任一组分点及任一组分点,均方极限均方极限存在存在,且与对区间的分法与且与对区间的分法与的取法无关的取法无关,则称则称3.4 均方积分均方积分本讲稿第十九页，共三十三页在在上黎曼均方可积上黎曼均方可积,均方极限值均方极限值为为在区间在区间上上的黎曼均方积分的黎曼均方积分,记作记作称称为为在在上的均方积分过程。上的均方积分过程。类似地广义均方积分为类似地广义均方积分为:若若f(t,u)仅为仅为t的函数或为常数的函数或为常数,则则Y(u)为一二阶矩随机变量为一二阶矩随机变量.3.4 均方积分均方积分本讲稿第二十页，共三十三页 2、均方可积准则、均方可积准则证明证明:由均方可积的定义知由均方可积的定义知,均方可积均方可积,即均方极限即均方极限存在存在,由均方收敛准则知由均方收敛准则知 设设是二阶矩过程是二阶矩过程,是是函数函数,则则均方均方分存在分存在的普通的普通可积的充分条件是下列二重积可积的充分条件是下列二重积3.4 均方积分均方积分本讲稿第二十一页，共三十三页 上式即为二重积分上式即为二重积分 若上述二重积分存在若上述二重积分存在,则保证均方可积则保证均方可积,充分性得证充分性得证.例例4、设、设N(t),t0 是强度为是强度为其均方可积性。其均方可积性。的波松过程，讨论的波松过程，讨论3.4 均方积分均方积分本讲稿第二十二页，共三十三页 解解:uu0 st st t s 第一项积分显然存在第一项积分显然存在,第二项积分为第二项积分为 3、均方积分的性质、均方积分的性质(1)若若是均方连续的二阶矩过程是均方连续的二阶矩过程,则则在在是均方可积的是均方可积的;3.4 均方积分均方积分本讲稿第二十三页，共三十三页 (3)若二阶矩过程若二阶矩过程在在都均方可积都均方可积,则对于任意常则对于任意常数数在在均方可积均方可积,且且 (2)若二阶矩过程若二阶矩过程在在则其均方积分在概率则其均方积分在概率1下是唯一的下是唯一的.是均方可积的是均方可积的,在在(4)若二阶矩过程若二阶矩过程 上均方可积上均方可积,在在也均方可积也均方可积,且且3.4 均方积分均方积分本讲稿第二十四页，共三十三页 4 4、积分过程与原过程数字特征间的关系、积分过程与原过程数字特征间的关系设设存在存在,则积分过程则积分过程数字特征为数字特征为:(1)均值函数均值函数(2)相关函数相关函数(3)协方差相关函数协方差相关函数3.4 均方积分均方积分本讲稿第二十五页，共三十三页 5、均方不定积分、均方不定积分 若二阶矩过程若二阶矩过程上均方连续上均方连续,令令在在则称则称为为在在 上的不定积分上的不定积分.设二阶矩过程设二阶矩过程在在连续连续,则其不定积分则其不定积分 上均方可导上均方可导,且且3.4 均方积分均方积分本讲稿第二十六页，共三十三页 类似于牛莱公式有类似于牛莱公式有:例例5、设、设是参数为是参数为 的维纳过程的维纳过程,求下列过程均值函数与求下列过程均值函数与相关函数相关函数.解解:导数过程导数过程 设二阶矩过程设二阶矩过程均方可导均方可导,在在连续连续,则则3.4 均方积分均方积分本讲稿第二十七页，共三十三页当当同理同理,当当3.4 均方积分均方积分本讲稿第二十八页，共三十三页 是具有是具有n阶均方导数的随机过程阶均方导数的随机过程,为为n阶线性随机微分方程阶线性随机微分方程,其中其中是复函数是复函数.1、一阶线性随机微分方程的解、一阶线性随机微分方程的解 设设普通复函数普通复函数,均方连续的二阶矩过程均方连续的二阶矩过程,则一阶线性随机微分方程则一阶线性随机微分方程3.5 均方随机微分方程均方随机微分方程本讲稿第二十九页，共三十三页的解为的解为 2、一阶线性随机微分方程解的数学期望函数、一阶线性随机微分方程解的数学期望函数对对(1)两端取数学期望得两端取数学期望得 解微分方程解微分方程(2),其解为方程其解为方程(1)的解的均值函数的解的均值函数.3、一阶线性随机微分方程解的相关函数、一阶线性随机微分方程解的相关函数并取数学期望得并取数学期望得 为求为求,将将(1)两端乘两端乘以以3.5 均方随机微分方程均方随机微分方程本讲稿第三十页，共三十三页即即 (3)式中式中 未知未知,为此将为此将(1)两端取共轭并乘两端取共轭并乘以以期望期望,得得并取数学并取数学3.5 均方随机微分方程均方随机微分方程本讲稿第三十一页，共三十三页即即 当当已知时已知时,由由(4)(4)可解出可解出代入代入(3),即可解出即可解出例例6、求解一阶线性随机微分方程、求解一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数和一维概率密度的解及解的均值函数、相关函数和一维概率密度.解解:由公式可得由公式可得3.5 均方随机微分方程均方随机微分方程本讲稿第三十二页，共三十三页 一维概率密度为一维概率密度为作业作业:P108 习题三习题三 1、2、5、10、12、14、16。服从正态分布服从正态分布,其方差其方差3.5 均方随机微分方程均方随机微分方程本讲稿第三十三页，共三十三页