测量误差理论.ppt

测量学测量学徐州师范大学城市与环境学院 纪亚洲纪亚洲电话：电话：05165667012 邮箱：邮箱： QQ:63879292第六章第六章 测量误差基础知识6-1 6-1 测量误差的概念测量误差的概念 测量工作的实践表明，对于某一客观存在的观测量工作的实践表明，对于某一客观存在的观测量工作的实践表明，对于某一客观存在的观测量工作的实践表明，对于某一客观存在的观测量，比如两点之间的高差、两点之间的距离，四测量，比如两点之间的高差、两点之间的距离，四测量，比如两点之间的高差、两点之间的距离，四测量，比如两点之间的高差、两点之间的距离，四边形的内角和等等，虽然我们使用合格的仪器，并边形的内角和等等，虽然我们使用合格的仪器，并边形的内角和等等，虽然我们使用合格的仪器，并边形的内角和等等，虽然我们使用合格的仪器，并且态度和认真的去观测，但是多次观测值总是有差且态度和认真的去观测，但是多次观测值总是有差且态度和认真的去观测，但是多次观测值总是有差且态度和认真的去观测，但是多次观测值总是有差异。异。异。异。这种现象表明，观测值中存在误差，而且误差这种现象表明，观测值中存在误差，而且误差这种现象表明，观测值中存在误差，而且误差这种现象表明，观测值中存在误差，而且误差很难避免。很难避免。很难避免。很难避免。一、产生一、产生测量测量误差的原因误差的原因产生产生测量测量误差的三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限仪器精度的局限,轴系残余误差轴系残余误差,等。等。人的原因人的原因 判断力和分辨率的限制判断力和分辨率的限制,经验经验,等。等。外界影响外界影响 气象因素气象因素(温度变化温度变化,风风,大气折光大气折光)有关名词有关名词：观测条件观测条件:上述三大因素总称为上述三大因素总称为观测条件观测条件等精度观测等精度观测:在上述条件基本在上述条件基本相同相同的情况下进行的各的情况下进行的各 次观测，称为次观测，称为等精度观测。等精度观测。二、测量误差的分类二、测量误差的分类1.1.系统误差系统误差 例：例：钢尺尺长误差钢尺尺长误差 DkDk 钢尺温度误差钢尺温度误差 DtDt 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差i i 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。相同，或按一定的规律变化。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。2.2.偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有的误差有“统计规律统计规律”3.3.粗差粗差 粗差也称为错误，是由观测者粗心或者受某种粗差也称为错误，是由观测者粗心或者受某种条件的干扰造成特别大的误差。如瞄准目标时错误、条件的干扰造成特别大的误差。如瞄准目标时错误、不是使用十字丝中心瞄准、以及读数发生错误等等。不是使用十字丝中心瞄准、以及读数发生错误等等。三、误差处理原则三、误差处理原则粗差粗差细心，多余观测细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正找出规律，加以改正偶然误差偶然误差多余观测，制定限差多余观测，制定限差四、偶然误差特性四、偶然误差特性 设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：(6-1-1)(6-1-1)真误差真值观测值1.1.偶然误差的定义：偶然误差的定义：n n例如：例如：n n对对358358个三角形在相同的个三角形在相同的观测条件下观测了全部观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的内角，三角形内角和的误差误差 i i为为 i i=180=180 (i i+i i+I)I)其结果如表其结果如表6-16-1，图，图6-6-1,1,分析三角形内角和的误分析三角形内角和的误差差 I I的规律。的规律。误差区间误差区间 负误差负误差 正误差正误差 误差绝对值误差绝对值d d K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 0303 45 450.1260.126 46 46 0.128 91 0.254 0.128 91 0.254 36 36 40 400.1120.112 41 0.115 81 0.226 41 0.115 81 0.226 69 33 69 330.0920.092 33 0.092 66 0.184 33 0.092 66 0.184 912 23 912 230.064 21 0.0590.064 21 0.05944440.1230.123 1215 1215 17 170.0470.047 16 0.045 16 0.04533330.0920.092 1518 1518 13 130.0360.036 13 13 0.036 0.03626260.0730.073 1821 1821 6 60.017 5 0.014 0.017 5 0.014 11110.0310.031 2124 4 2124 40.011 20.011 2 0.006 0.0066 60.0170.017 24 24以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000181 0.505 177 0.495 358 1.000 表表表表6-1 6-1 6-1 6-1 偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计 -24-21-18-15-12-9-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 X=K/n/d有限性：偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。形象直观地描述误差分布情况。横坐标表示误差的大小；纵坐标表示误差出现于各个区间的频率除以区间的间隔值，即 。每一误差区间上的长方形面积，就代表误差出现在该区间的频率。2.2.频率直方图：频率直方图：（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率高；（3）绝对值相等的正误差与负误差，其出现的频率相等；（4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即 3.3.偶然误差的特性：偶然误差的特性：在观测次数 n 的情况下，如果把误差区间间隔无限缩小，则频率直方图中各长方条顶边所形成的折线将变成一条光滑的曲线，称为误差分布曲线或正态分布曲线。4.4.误差分布曲线：误差分布曲线：在概率论中，描绘正态分布（或高斯分布）的数学方程式称为正态分布的概率密度函数：式中参数 是观测误差的标准差。标准差为：标准差的平方2为方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：标准差是误差分布曲线拐点的横坐标值。5.5.概率密度函数：概率密度函数：6-6-2 2 衡量精度的标准衡量精度的标准精度是指一组观测值误差分布的密集或离散的程度。一组观测误差所对应的标准差的大小，反映了该组观测结果的精度。6.2.1 中误差中误差 测量工作中，观测个数 n 总是有限的。当 n 为有限值时，只能得到的估值，常用 m表示，即称标准差的估值m为中误差。一组等精度观测值具有相同的中误差。在计算中误差m时应取23位有效数字，并在数值前冠以号，数值后写上“单位”。6.2.2 相对误差相对误差 例如:丈量两段距离：L1=1000m；L2=80m，中误差分别为：m1=20mm ；m2=20mm，此时,衡量精度应采用相对中误差，它是中误差绝对值与观测值之比。K1K2，可见L1的量距精度高于L2。相对误差等于误差的绝对值与相应观测值之比。它是一个无名数，通常写成分子为1的分数形式，即用 表示。6.2.3 极限误差极限误差 根据误差理论，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在以下区间的概率分别为：P（-+）68.3%P（-2+2）95.5%P（-3+3）99.7%大于三倍标准差的观测误差出现的概率只有0.3%，是小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。一般进行的测量次数有限，大于2倍中误差的误差应该很少遇到，因此，以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”，简称“限差”，即允=m现行测量规范中通常取2倍中误差作为限差。6.2.3 极限误差极限误差 温故而知新温故而知新1.标准方向的种类；标准方向的种类；2.方位角？坐标方位角？方位角？坐标方位角？3.象限角？方位角与象限角转换？象限角？方位角与象限角转换？4.正反坐标方位角的关系？正反坐标方位角的关系？5.直线方向的推导实例？直线方向的推导实例？6.误差因素有哪些？误差因素有哪些？7.系统误差？偶然误差？粗差？系统误差？偶然误差？粗差？8.误差的对策？误差的对策？9.偶然误差的特性？偶然误差的特性？10.中误差？相对误差？极限误差？中误差？相对误差？极限误差？6.6.3 3 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差 6.3.1 算术平均值算术平均值 在相同的观测条件下，对某未知量进行n 次观测，观测值分别为l1，l2,，ln 求该未知量的最或然值？证明用均值代替真值的合理性。设未知量的真值为X，则观测值的真误差为：根据偶然误差的第（4）特性，当观测次数无限增加 当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。该量的真值。在计算时，不论观测次数多少均以算术平均值在计算时，不论观测次数多少均以算术平均值 x 作为作为未知量的最或然值。未知量的最或然值。6.3.1 算术平均值算术平均值 所以6.3.2 观测值的改正值观测值的改正值 算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值。可以证明，一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。再根据得到 结论：一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。该公式可以作为计算算术平均值时的检核。6.3.3 证明采用算术平均值符合最小二乘法证明采用算术平均值符合最小二乘法 最小二乘法就是求得的最或然值可以使得改正数平方和为最下，即 以此条件来求待定值，则需要使上式以阶导数为零，即令 由此证明，上式符合最小二乘原理。由此得到6.4.1 按观测值的改正值计算中误差按观测值的改正值计算中误差 6.46.4 观测值的精度评定观测值的精度评定 观测值精度最理想的是以标准差来衡量，其公式参见第二节，但是实际工作中不可能对一个值进行无限制观测，因此只能根据有限次观测，采用二式估算；即便如此，应用此式时还有一个问题，就是必须要知道真值X，如利用经纬仪观测三角形的内角和等等。6.4.1 按观测值的改正值计算中误差按观测值的改正值计算中误差 然而在一般情况下，观测值的真值X是不知道的，真误差就无法求得，因此也无法使用上式计算中误差。由上一节可知，在同样的观测条件下，对某一个量进行多次观测，可以取其算术平均值作为最或然值，可以算得各观测值的改正数v，并且还知道，在观测次数无限增多的情况下，平均值无限趋向于真值X，所以可以用均值代替真值，用改正数代替真误差，计算中误差。除此之外，还用（n-1）代替n，直观的解释：在真值知道的情况下，所有观测值都为多余观测，在真值不知道情况下，n次观测中多余观测为（n-1）。6.4.2 证明证明 根据偶然误差特性证明：将上式左右分别相减得到6.4.2 证明证明 上式两端各取其和，并顾及 得到 对真误差取其平方和得到 式中6.4.2 证明证明 式中，右端第二项中 （Ij)为任意两个偶然误差的乘积，正负号无法确定，仍然具有偶然误差的特性，根据偶然误差第四个特性，可认为 因此6.56.5 误差传播定律误差传播定律 以上介绍是对某一个量直接进行多次观测，以求得其最或然值，并计算其中误差作为精度衡量标准。但是在实际测量工作中，很多量不能直接观测出来，而是通过观测值计算出来的，比如球场的面积，沟渠开挖的土方量等等，它们都是根据观测值，用一定的函数公式计算出来的，哪么如何来衡量这些数据值的精度呢？由于观测值中存在误差，使函数受其影响也含有误差，称之为误差传播。6.5.1 观测值的函数观测值的函数 1.1.和差函数和差函数 如AB之间距离为D，超过两百米，采用五十米的钢尺丈量n段，各段长度分别为d1，d2，d3，dn，则 D=d1+d2+d3+dn，即D为d1，d2，d3，dn之和，这种函数称为和差函数6.5.1 观测值的函数观测值的函数 2.2.倍数函数倍数函数 例如，用直尺在1：1万的图纸上量取一段距离d，它和实地代表距离D之间存在1万倍的关系（解释比例尺概念），即D=10000d。6.5.1 观测值的函数观测值的函数 3.3.线性函数线性函数 例如，对一个角度观测n次，求其算术平均值 式中，在直接观测值之前乘以某个系数，并取其代数和。6.5.1 观测值的函数观测值的函数 4.4.一般函数一般函数 例如，已知一个三角形的斜边C和一个锐角a可以求出其对边A和邻边。A=Csina，B=Ccosa。凡是在变量之间用到乘、除、乘方、开方、三角函数等数学运算符的函数称为非线性函数。线性函数和非线性函数统称一般函数。6.5.2 一般函数的中误差一般函数的中误差 用一个矩形量长宽求面积的例子来说明函数误差传播规律。设矩形的长度a，宽度b，求你面积P。P为长宽的函数P=a*b。设观测量a、b中分别含有误差a 和b，分析由此产生的面积误差p。a ab bP=a*bP=a*b-a a-bba*a*b bb*b*a a6.5.2 一般函数的中误差一般函数的中误差 由于偶然误差是一种微小量，误差传播是一种函数微分关系，因此对上式中a、b分别求偏微分:a ab bP=a*bP=a*b-a a-bba*a*b bb*b*a a6.5.2 一般函数的中误差一般函数的中误差 将上式中微分元素用偶然误差替代：a ab bP=a*bP=a*b-aa-bba*a*b bb*b*a a 可以看出b*a与a*b，为两块狭长矩形的面积，相加形成矩形的面积误差P;至于 a*b形成的图形右下角的面积，属于更高阶的无穷小，可以忽略不计。这就是微分的几何意义。6.5.2 一般函数的中误差一般函数的中误差 假如对矩形的长宽ab进行了n次观测，则有下面一组偶然误差关系成立。取上列各式的平方和 将上式同时除以n6.5.2 一般函数的中误差一般函数的中误差 上式可以改写成 偶然误差的乘积仍然具有偶然误差的性质，因此 按照中误差的定义可以写成 即面积P的中误差为：6.5.2 一般函数的中误差一般函数的中误差 可以推广到一般函数可以推广到一般函数设有一般函数：设有一般函数：Z=f（x1，x2，xn）（3-263-26）式中式中 xi 为为独立观测值，其中误差为独立观测值，其中误差为 mi，（，（i=1，2，n），），求求 z 的中误差？的中误差？对对（3-263-26）式式求求全全微微分分，并并以以真真误误差差的的符符号号“”替替代代微微分分的的符符号号“d d”，得得对上式以中误差平方替代真误差并系数平方，得对上式以中误差平方替代真误差并系数平方，得 上上式式为为误误差差传传播播定定律律的的一一般般形形式式。其其他他函函数数，如如线线性性函函数数、和和差差函函数数、倍函数等，都是上式的特例。倍函数等，都是上式的特例。6.5.3 线性函数和倍数函数的中误差线性函数和倍数函数的中误差 线性函数的中误差计算线性函数的中误差计算设有线性函数：设有线性函数：式式中中k k1 1,k,k2 2,，k kn n为为任任意意常常数数，x x1 1，x x2 2,，x xn n为为独独立立变变量量，其其中中误误差差分分别为别为m m1 1，m m2 2,，m mn n。按照误差传播定律的一般形式按照误差传播定律的一般形式 得到线性函数的中误差：得到线性函数的中误差：若若是是等等精精度度观观测测，则则m m1 1=m=m2 2=m mn n=m=m，m m为为观观测测值值的的中中误误差差。由由此此得得到到按观测值的中误差计算按观测值的中误差计算算术平均值的中误差算术平均值的中误差的公式：的公式：（3-303-30）由由此此可可见见，算算术术平平均均值值的的中中误误差差是是观观测测值值中中误误差差的的。因因此此，对对于于某某一一量量进进行行多多次次等等精精度度观观测测而而取取其其算算术术平平均均值值，是是提提高高观观测测成成果果精精度度的有效方法。的有效方法。6.5.4 和差函数的中误差和差函数的中误差 设有和差函数x1，x2,，xn为独立变量，其中误差分别为m1，m2,，mn。和差函数也属于线性函数，也可以按照上式计算，并顾及到k1=k2=kn=1，可以得到和差函数的中误差：如果是等精度观测，则6.66.6 误差传播定律的应用误差传播定律的应用6.6.1距离测量及其精度距离测量及其精度 例如，分段丈量一直线上的两段距离AB,BC，丈量结果及其误差如下：AB=150.15m0.12m BC=210.24m 0.16m 求其全长及其中误差mAC。AC=AB+BC=150.15+210.24=360.39m 6.6.2角度测量的精度角度测量的精度 1.水平角观测角度规定 用DJ6光学经纬仪进行水平角观测，根据仪器设计标准，一测回每个方向观测中误差（仅瞄准读数误差）m=6”。求一测回角度中误差，半测回角度中误差。（1）由于水平角为两个方向的差值，故一测回水平角观测中误差为：（2）一测回为两个半测回的平均值6.6.2角度测量的精度角度测量的精度 （3）盘左盘右之差的中误差6.6.2角度测量的精度角度测量的精度 2.多边形闭合差限差规定6.6.2角度测量的精度角度测量的精度 多边形内角和在理论值上应等于（n-2)*1800由于观测每个角度都存在误差，致使观测值与理论值之间存在一定的差异，该差异称之为角度闭合差。设每个角度的测角中误差为m，则各角之和的中误差为 如果以2倍中误差为其极限误差，则多边形闭合差的极限误差为6.6.3水准测量的精度水准测量的精度 同角度，自学。6.76.7 加权平均值及其精度评加权平均值及其精度评定定 不做要求不做要求