初等函数的导数优秀课件.ppt

初等函数的导数第1页，本讲稿共39页第二节第二节 初等函数的导数初等函数的导数一、按定义求导数一、按定义求导数三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则四、复合函数的导数四、复合函数的导数二、函数四则运算的求导法则二、函数四则运算的求导法则五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则六、对数求导法六、对数求导法七、初等函数的导数七、初等函数的导数八、高阶导数八、高阶导数第2页，本讲稿共39页一、按定义求导数一、按定义求导数常数的导数常数的导数2幂函数的导数幂函数的导数所以所以第3页，本讲稿共39页3.3.正弦函数和余弦函数的导数正弦函数和余弦函数的导数即即即即同理同理=第4页，本讲稿共39页4对数函数的导数对数函数的导数即即特别地，特别地，时时第5页，本讲稿共39页二、函数四则运算的求导法则二、函数四则运算的求导法则第6页，本讲稿共39页证证(1)(1)第7页，本讲稿共39页证证(3)(3)第8页，本讲稿共39页第9页，本讲稿共39页推论推论第10页，本讲稿共39页例例2-5 已知函数已知函数 ,求求例例2-6 已知函数已知函数 ,求求解解解解第11页，本讲稿共39页解解例例2-7 已知函数已知函数 ,求求同理可得同理可得即即第12页，本讲稿共39页解解同理可得同理可得即即例例2-8 已知函数已知函数 ,求求第13页，本讲稿共39页例例2-9 已知函数已知函数 ,求求解解第14页，本讲稿共39页三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则定理定理2-1即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.第15页，本讲稿共39页于是有于是有证明证明即即第16页，本讲稿共39页例例2-10解解即即特别地特别地,当当 时时,第17页，本讲稿共39页解解同理可得同理可得例例2-11即即第18页，本讲稿共39页四、复合函数的导数四、复合函数的导数定理定理2-2 即即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导导，乘以中间变量对自变量求导.(.(锁链法则锁链法则)或或证明证明则有则有第19页，本讲稿共39页推广推广则复合函数则复合函数 的导数为的导数为或或第20页，本讲稿共39页解解解解例例2-12 已知函数已知函数 ,求求例例2-13 已知函数已知函数 ,求求第21页，本讲稿共39页例例2-14 已知函数已知函数 ,求求 比较熟练后比较熟练后,中间变量不必写出来中间变量不必写出来,直接按锁链法则对复合函直接按锁链法则对复合函数求导数求导.解解第22页，本讲稿共39页 例例2-15 证明幂函数的求导公式证明幂函数的求导公式 对任意对任意实数指数实数指数 成立成立.证明证明 将将 化为化为 ,则则例如例如,第23页，本讲稿共39页例例2-16 已知函数已知函数 ,求求解解 为幂指函数为幂指函数,将其将其化为化为 ,则则例例2-17 已知函数已知函数 ,求求解解第24页，本讲稿共39页解解 由上可知由上可知 ,这表明碘的减少速率与它当时所这表明碘的减少速率与它当时所存在的量成正比存在的量成正比.例例2-18 放射性同位素碘放射性同位素碘 广泛用来研究甲状腺的功广泛用来研究甲状腺的功能能.现将含量为现将含量为 的碘的碘 通过静脉推入病人的血液中通过静脉推入病人的血液中,血液血液中中 时刻碘的含量为时刻碘的含量为 (其中其中 为正常数为正常数),试求血试求血液中碘的减少速率液中碘的减少速率 .第25页，本讲稿共39页解解例例2-19第26页，本讲稿共39页五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则 如果联系两个变量如果联系两个变量 和和 的函数式是由方程的函数式是由方程 来确定的，这样的函数称为来确定的，这样的函数称为隐函数隐函数.隐函数的显化隐函数的显化例如例如（显化）（显化）（不能显化）（不能显化）问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?直接从方程直接从方程 两边来求导两边来求导,称为隐函数的称为隐函数的求导法则求导法则.第27页，本讲稿共39页解得解得 解解 方程两边分别关于方程两边分别关于 求导求导,由复合函数求导法则由复合函数求导法则和四则运算法则有和四则运算法则有 例例2-20 已知函数已知函数 是由椭圆方程是由椭圆方程 所确定所确定的的,求求 第28页，本讲稿共39页 例例2-21 已知函数已知函数 是由方程是由方程 确定的确定的.求求 和和 解解 方程两边分别关于方程两边分别关于 求导求导,由复合函数求导法则和四由复合函数求导法则和四则运算法则有则运算法则有解得解得所以所以第29页，本讲稿共39页 例例2-22 设生物群体总数的生长规律为设生物群体总数的生长规律为 其中其中 均为常数均为常数,且且 .试求生长率试求生长率解解 将将 写成如下形式写成如下形式两边对两边对 求导得求导得整理得整理得第30页，本讲稿共39页六、对数求导法六、对数求导法 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:解解 两边取对数，得两边取对数，得两边对两边对 求导，得求导，得例例2-23 已知函数已知函数 ,求求第31页，本讲稿共39页所以所以解解 两边取对数，得两边取对数，得例例2-24 已知函数已知函数 ,求求第32页，本讲稿共39页1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式七、初等函数的导数七、初等函数的导数第33页，本讲稿共39页2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则或或3.复合函数的导数复合函数的导数设设可导，则可导，则(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)第34页，本讲稿共39页八、高阶导数八、高阶导数记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,第35页，本讲稿共39页二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.例例2-25 已知指数函数已知指数函数 (为常数为常数),求求解解例例2-26 已知已知 次多项式次多项式 求求 的各阶导数的各阶导数.解解第36页，本讲稿共39页例例2-27解解:第37页，本讲稿共39页解解:同理可得同理可得例例2-28第38页，本讲稿共39页主主 要要 内内 容容 1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 2.函数四则运算的求导法则函数四则运算的求导法则 3.复合函数的导数复合函数的导数 4.隐函数的导数隐函数的导数 5.对数求导方法对数求导方法 6.高阶导数高阶导数作业：作业：思考与练习思考与练习 1.2.3.4.第39页，本讲稿共39页