2022-2023学年江苏省扬州市宝应中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 16 页 2022-2023 学年江苏省扬州市宝应中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合Z12,03AxxBxx，则AB（）A13xx B 02xx C0,1,2 D1,0,1,2【答案】C【分析】求出1,0,1,2A，从而得到交集.【详解】Z 121,0,1,2Axx ，故0,1,2AB.故选：C 23是tan3的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】先看充分性：当3时，比如当时,tan0,显然不满足3tan2，充分性不成立；再看必要性：当3tan2时，比如712,此时75tantan231212，但不满足3，必要性不成立；所以3是tan3的既不充分也不必要条件.故选:D.3已知角的终边经过点(,5)m，12cos13，则tan（）A125 B512 C512 D125【答案】C【分析】由三角函数定义求得m，再计算正切值 第 2 页 共 16 页【详解】由题意212cos1325mm，解得12m，55tan1212 故选：C 4已知cos222,log tan,sin,(0,)4abc，则（）Aabc Bacb Cbca Dcab【答案】B【分析】根据三角函数值和指数对数函数的性质即可进一步求解.【详解】因为0,4，所以20sin12，2cos12，0tan1，所以21cos2222221a，22log tanlog 10b，210sin12c，所以acb.故选：B.5关于x的不等式21xxa x对任意xR恒成立，则实数a的取值范围是（）A1,3 B,3 C,1 D,13,【答案】B【分析】当0 x 时可知aR；当0 x 时，采用分离变量法可得11axx，结合基本不等式可求得3a；综合两种情况可得结果.【详解】当0 x 时，不等式为01恒成立，aR；当0 x 时，不等式可化为：11axx，0 x，12xx（当且仅当1xx，即1x 时取等号），3a；综上所述：实数a的取值范围为,3.故选：B.6要得到函数3cos()4yx的图象，只需将13sin2yx的图象上所有的点（）A横坐标变为原来的12（纵坐标不变）第 3 页 共 16 页 B横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）C横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4个单位长度 D横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移4个单位长度【答案】C【分析】利用三角函数平移伸缩变换的性质，结合诱导公式求解即可.【详解】对于 AC，先将13sin2yx的图象上所有的点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到3sinyx的图像，再将3sinyx图象上所有的点向左平移4个单位长度得到3sin3sin3cos4424yxxx的图像，故 A 错误，C 正确；对于 BD，先将13sin2yx的图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）得到1sin4yx的图像，后续平移变换必得不到3cos()4yx的图像，故 BD 错误.故选：C.7设函数3()lg11xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A(2)1f x B(2)1f x C(2)1f x D(2)1f x【答案】A【分析】根据函数的奇偶性确定正确答案.【详解】3()lg11xf xx，330,0,3111xxxxx ，f x的定义域是3,1，A 选项，设 1121lg1 1lg11xxh xf xxx ，110,011xxxx，解得11x，所以 h x的定义域是1,1，1111lglglg111xxxhxh xxxx ，所以 h x是奇函数，A 选项正确.B 选项，(02)121lg1 110ff ，B 选项错误.CD 选项，f x的定义域是3,1，所以321x，53x，所以(2)1yf x和(2)1yf x的定义域为5,3，不关于原点对称，CD 选项错误.故选：A 第 4 页 共 16 页 8已知()sin()f xx(0)满足()14f，503f且()f x在5,46上单调，则的最大值为（）A127 B1817 C617 D3017【答案】B【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.【详解】()sin()f xx(0)满足()14f，503f，53442TnT，即*1736TnnN，*6 1217nnN，()f x在5,46上单调，572641222T，即127，当1n 时最小，最小值为1817，故选：B.二、多选题 9下列对应中是函数的是（）Axy，其中21yx，1,2,3,4x，|10,Nyx xx Bxy，其中2yx，0,x，Ry Cxy，其中 y为不大于 x 的最大整数，xR，Zy Dxy，其中1yx，Nx，Ny【答案】AC【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断作答.【详解】对于 A，对集合1,2,3,4中的每个元素 x，按照21yx，在|10,Nx xx中都有唯一元素 y 与之对应，A 是；对于 B，在区间0,内存在元素 x，按照2yx，在 R 中有两个 y值与这对应，如1x，与之对应的1y ，B 不是；对于 C，对每个实数 x，按照“y为不大于 x 的最大整数”，都有唯一一个整数 y与之对应，C 是；对于 D，当1x 时，按照1yx，在N中不存在元素与之对应，D 不是.第 5 页 共 16 页 故选：AC 10下列说法中正确的有（）A函数2(9)6fxxx的零点不可以用二分法求得 B若sin1cos13，则1 cos1sin3 C幂函数的图像一定不会出现在第四象限 D函数4|sin|sin|yxx的最小值为 4【答案】ABC【分析】根据二分法的概念可判断 A，根据同角关系式可判断 B，根据幂函数的性质可判断 C，根据基本不等式及三角函数的性质可判断 D.【详解】因为226(0)39xf xxx，所以函数2(9)6fxxx的零点不可以用二分法求得，故A 正确；由22sincos1可得，若sin1cos13，则1 cossin1sincos13，故 B 正确；对于幂函数yx，当0 x 时，0yx，所以幂函数的图像一定不会出现在第四象限，故 C 正确；44|sin|2|sin|4|sin|sin|yxxxx，当且仅当4|sin|sin|xx，即|sin|2x 时等号成立，而|sin|2x 无解，故等号不成立，故 D 错误.故选：ABC.11已知函数()sin(cos)f xx，则（）A f x为偶函数 B2是 f x的一个周期 C f x在,2 2 上单调递增 D 8fx在0,内仅有 1 个解【答案】ABD【分析】由奇偶性判断 A，由选项 A 直接判断 C，根据周期函数的定义判断 B，利用复合函数的单调性判断 D【详解】()f x的定义域是 R，()sincos()sin(cos)()fxxxf x，()f x是偶函数，A 正确；(2)sincos(2)sin(cos)()f xxxf x，B 正确；()f x是偶函数，因此选项 C 错误；第 6 页 共 16 页(0,)x时，cosux是减函数，且(1,1)u，因此sinyu是增函数，从而()f x是减函数，且()(sin1,sin1)f x ，又0sin18，因此()8f x在(0,)内仅有 1 解，D 正确 故选：ABD 12已知函数 21,144,1xxf xxxx，若存在实数m使得方程 f xm有四个互不相等的实数根12341234,()x x x x xxxx，则下列叙述中正确的有（）A340 xx B124xx C 3fm D32()f xx 有最小值【答案】ABD【分析】画出 yf x与ym的图象，根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】画出 yf x与ym的图象如下图所示，由图可知432101,012mxxxx，依题意可知33442121,222xxxx，3334442222 222 2xxxxxx，所以340212xx，所以340 xx，A 选项正确.由12,x x是方程44xmx的两个不相等实数根，即12,x x是方程2440 xm x的两个不相等实数根，所以124x x，B 选项正确.由图可知，当直线ym向下移动时，存在3x，使 3fm，C 选项错误.3222()fxxf xx 222244242 244 24xxxx，当且仅当22242,2xxx时等号成立，D 选项正确.故选：ABD 【点睛】本小题主要的难点有三个，一个是化 f x的图象，主要是含有绝对值的函数以及对钩函数第 7 页 共 16 页 的图象；一个是34,x x的关系以及12,x x的关系；一个是基本不等式求最值，要注意等号成立的条件.三、填空题 13函数1()1f xxx的定义域为_【答案】0,1)(1,)【分析】使函数有意义的条件是被开方数大于等于 0，分母不为 0.【详解】要使函数有意义，则100 xx，解得0 x 且1x.故函数1()1f xxx的定义域为0,1)(1,)故答案为：0,1)(1,)14写出一个以12x 为对称轴的奇函数_【答案】sinyx（答案不唯一）【分析】可以考虑正弦型函数sinyx，然后由对称性求得一个即可得【详解】易知sinyx（0）是奇函数，1,Z22kk，2(Zkk），取0k 得从而函数式为sinyx 故答案为：sinyx（答案不唯一）15已知()sin6f xx在区间,3上既有最大值又有最小值，则的取值范围为_【答案】43或3【分析】求出6x 的范围后，根据正弦函数的图像分析可得结果.【详解】因为3x，所以666x，因为函数()sin6f xx在,3x 上既有最大值又有最小值，所以362或7662，解得43或3 故答案为：43或3 四、双空题 第 8 页 共 16 页 16设()f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 时，11()23xxf x（1）当0 x 时，()f x _；（2）关于x的不等式1()25xf x的解集为_【答案】23xx 0,【分析】（1）根据奇函数，利用换元法即可求出当0 x 时，()f x的解析式；（2）分别对当0 x，0 x，0 x 三种情况解1()25xf x即可.【详解】（1）当0 x 时，11()23xxf x，当0 x 时，0 x，则11()23xxfx，()f x是定义在R上的奇函数，()()fxf x，11()2323xxxxf x ；（2）当0 x 时，()23xxf x 中20 x，03x，则()0f x，而1205x，1()25xf x在0 x 上无解；当0 x 时，()f x是定义在R上的奇函数，00f，而01225，1()25xf x在0 x 上无解；当0 x 时，11()23xxf x，第 9 页 共 16 页 则1()25xf x，化为1112235xxx，105x，则55223xx，令 5523xxg x，0 x，52xy与53xy在R上都为单调递增函数，5523xxg x在R上也为单调递增函数，00550223g，55223xx的解集为0,，则当0 x 时，1()25xf x的解集为0,，综上所述，1()25xf x的解集为0,.五、解答题 17计算：(1)2log 363231.5122log 3 log 4；(2)已知1sin2 cos38xx 且42x，求3sin 2sin2xx的值【答案】(1)733；(2)32.【分析】（1）根据指数幂、对数的运算性质，换底公式运算即可；（2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系求解.第 10 页 共 16 页【详解】（1）原式 113631lg3lg41223lg2lg3 1 1113 636132423 733.（2）1sin2 cos3sin(cos)sincos8xxxxxx ,3sin 2sinsincoscossin2xxxxxx，213(cossin)1 2sincos144xxxx ，又42x，sincosxx，3cossin2xx.18在2230Ax xx，2211xAxx，23log1xAx yx这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题设全集U R，_，220Bx xxaa.(1)若2a，求UAB；(2)若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】(1)条件选择见解析，21UABxx (2)条件选择见解析，a的取值范围是,34,【分析】（1）当2a 时，求出集合B，根据所选条件，求出集合A，利用补集和交集的定义可求得集合UAB；（2）选或或，13Axx，分析可知AB，对实数a的取值进行分类讨论，求出集合B，根据AB可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.【详解】（1）解：当2a 时，22021Bx xxxx.若选，223013Ax xxxx，1UAx x 或3x，此时，21UABxx ；选，由2211xx可得2231011xxxx，解得13x，则13Axx，第 11 页 共 16 页 则1UAx x 或3x，此时，21UABxx ；选，2333log0013111xxxAx yxxxxxxx，则1UAx x 或3x，此时，21UABxx .（2）解：选或或，13Axx，22010Bx xxaax xaxa，因为“xA”是“xB”的充分不必要条件，则AB,（i）若1aa 时，即当12a 时，此时1Bxaxa，所以，113aa ，解得4a，当4a 时，43Bxx，AB成立；（ii）若1aa 时，即当12a 时，则B，不合题意舍去；-（iii）若1aa 时，即当12a 时，此时1Bx axa ，则有113aa ，解得3a ，当3a 时，此时43Bxx，AB成立.综上所述，实数a的取值范围是,34,.19已知函数 1cos 223f xx(1)已知tan2，求2()sincos26f的值；(2)函数()(),0,2h xaf xb x的最小值为 0，最大值为 1，求实数,a b的值【答案】(1)920(2)42,33ab或41,33ab 【分析】（1）利用三角函数的商数关系，结合齐次式法即可得解；（2）先利用三角函数的性质求得 f x的值域，再利用换元法与一次函数的性质列出关于,a b的方程第 12 页 共 16 页 组，解之即可.【详解】（1）因为 1cos 223f xx，tan2，所以221()sincoscossincos264f 2221cossincos4cossin21tan941tan20.（2）因为0,2x，则 42,333x，所以1cos 21,32x，令 1cos 223tf xx，则1 1,2 4t，因为()(),0,2h xaf xb x，令1 1,2 4yatb t，则yatb与 h x的最值相同，易知一次函数yatb在1 1,2 4上是单调函数，所以102114abab或112104abab，解得4323ab或4313ab，所以42,33ab或41,33ab.20某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券.已知每投放04,aaaR亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）,0 xxR的变化的函数关系式近似为 10af xy，其中 3,0237,270,7xxxf xxxx，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.(1)若第一次投放2亿元消费券，则接下来哪段时间内能使消费总额至少提高40%？(2)政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，将第二次投放消费券后过了x天,02xxR时全市消费总额提高的百分比记为 g x.若存在00,2x，使得 080%g x，试求m的最小值.【答案】(1)接下来的15天内，能使消费总额至少提高40%(2)65 第 13 页 共 16 页【分析】（1）将问题转化为 2f x，分别在各段区间内解不等式即可求得结果；（2）分别表示出第一次投入和第二次投入带来的消费总额提高的百分比，由此可得 g x，由 80%g x 可分离变量得到22463xxmx有解，令3tx，223436tth tt，结合对勾函数单调性可确定 h t的最小值，即22463xxx的最小值，进而得到结果.【详解】（1）当2a 时，5f xy；若40%y，则 2f x；当02x时，323xf xx，解得：12x；当27x时，72f xx，解得：25x；当7x 时，02f x 不成立；综上所述：15x，即接下来的15天内，能使消费总额至少提高40%.（2）记第一次投放2亿元优惠券对全市消费总额提高的百分比1y，第二次投放m亿元对对全市消费总额提高的百分比为2y，当02x时，12 743105xxy，2310 3mxyx，则 1233480%510 35xmxg xyyx有解，即22463xxmx有解；令3tx，则3,5t，3xt，令 22234362162424216 35tttth tttttt ，242ytt在3,2 3上单调递减，在2 3,5上单调递增，h t在3,2 3上单调递增，在2 3,5上单调递减，又 32h，655h，min65h t，即2min246635xxx，65m，则m的最小值为65.21已知函数 2log1af xxmx 在R上为奇函数，1a，0m(1)求实数m的值并指出函数 f x的单调性（单调性不需要证明）；第 14 页 共 16 页(2)设存在xR，使2cos212sin0fxtfxt成立；请问是否存在a的值，使 142ttg ta最小值为23，若存在求出a的值【答案】(1)1m，()f x在 R 上单调递减(2)存在；32a 【分析】（1）根据题意，结合函数单调性的定义，代入计算即可得到m的值，从而得到函数 f x的解析式，得到其单调区间；（2）根据题意，结合（1）中的结论，化简得到方程，由换元法，分类讨论，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）()f x为奇函数，0f xfx，即22log1log10aaxmxxmx 222log10axm x，21,0,1mmm 即 2log1af xxx 21mxx 在,0上单调递减，2log1af xxx 在,0上单调递减，且()f x为奇函数，f x在0,上单调递减，fx在R上单调递减.（2）()f x为奇函数，存在xR，使2cos212sin0fxtfxt成立等价于 2cos212sinfxtfxt f x在R上单调递减，存在xR使得2cos212sinxtxt 成立，222cos2sin1sin2sinsin111,3txxxxx 2,1,3xux，即1,82u，221112,822h uauua uua，1a 当10,2a时，1223h，43a（舍）当11,12a时，123ha，32a 第 15 页 共 16 页 22已知函数 22,f xx axx aR.(1)若0a，判断函数 yf x的奇偶性，并加以证明；(2)若函数 f x在 R上是增函数，求实数 a 的取值范围；(3)若存在实数2,2a，使得关于 x 的方程 20f xtfa有三个不相等的实数根，求实数 t的取值范围（写出结论即可，无需论证）.【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)11a；(3)918t.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行求解证明即可；（2）根据绝对值的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可；（3）根据（2）的结论，运用分类讨论法，根据函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）当0a 时，2f xx xx，xR，所以 22fxxxxx xxf x ，所以函数 yf x为奇函数；（2）2222,222,2xa x xaf xxa x xa，当2xa时，yf x的对称轴为1xa；当2xa时，yf x的对称轴为1xa；所以当121aaa 时，yf x在 R上是增函数，即11a 时，函数 yf x在 R上是增函数；（3）方程 20f xtfa的解即为方程 2f xtfa的解.当11a 时，函数 yf x在 R 上是增函数，关于 x的方程 2f xtfa不可能有三个不相等的实数根；当1a 时，即211aaa 时，yf x在,1a上单调递增，在1,2aa上单调递减，在2,a 上单调递增，则当 221fatfaf a时，关于 x 的方程 2f xtfa有三个不相第 16 页 共 16 页 等的实数根；即2441ataa，因为1a，所以11124taa.设 1124h aaa，因为存在实数2,2a，使得关于 x 的方程 2f xtfa有三个不相等的实数根，所以 max1th a，又可证 1124h aaa在1,2上单调递增，所以 max98h a，故918t；当1a 时，即211aaa，yf x在,2a上单调递增，在2,1a a上单调递减，在1,a上单调递增，则当 122f atfafa时，关于 x的方程 2f xtfa有三个不相等的实数根；即2144ataa，因为1a ，所以11124taa ，设 1124g aaa，因为存在实数2,2a，使得关于 x 的方程 2f xtfa有三个不相等的实数根，所以 max1tg a，而函数 1124g aaa 在2,1上单调递减，所以 max98g a，故918t；综上：918t.【点睛】关键点睛：根据绝对值的性质，结合二次函数的单调性，运用分类讨论思想进行求解是解题的关键.