人教版九年级数学上册：《直接开平方法解一元二次方程》学案.pdf

21.2.121.2.1 配方法配方法第第 1 1 课时课时 直接开平方法直接开平方法教学内容教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程教学目标教学目标理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a（ex+f）2+c=0 型的一元二次方程重难点关键重难点关键 1重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想 2难点与关键：通过根据平方根的意义解形如 x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n0）的方程教学过程教学过程一、复习引入一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题 1填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2问题 2如图，在ABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以1cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后PBQ 的面积等于 8cm2？老师点评：问题 1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（问题 2：设 x 秒后PBQ 的面积等于 8cm2则 PB=x，BQ=2xp2p）22依题意，得：x2=81x2x=82根据平方根的意义，得 x=22即 x1=22，x2=-22可以验证，22和-22都是方程负值所以 22秒后PBQ 的面积等于 8cm2二、探索新知二、探索新知上面我们已经讲了 x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得 x=22，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=22即 2t+1=22，2t+1=-22方程的两根为 t1=2-1x2x=8 的两根，但是移动时间不能是211，t2=-2-22例例 1 1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=1即 x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3例例 2 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率分析：设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应该是10+10 x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为 x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得 1+x=1.2即 1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2 应舍去所以，每年人均住房面积增长率应为 20%（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习三、巩固练习教材 P36练习四、应用拓展四、应用拓展例例 3 3某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x那么 1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：123）=2.56，即（x+）2=25622333 x+=1.6，即 x+=1.6，x+=-1.6222（1+x+方程的根为 x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%五、归纳小结五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2=p（p0），那么 x=p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么 mx+n=p，达到降次转化之目的六、布置作业六、布置作业 1教材 P45复习巩固 1、2 2选用作业设计:一、选择题一、选择题 1若 x2-4x+p=（x+q）2，那么 p、q 的值分别是（）Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程 3x2+9=0 的根为（）A3 B-3 C3 D无实数根2 3用配方法解方程 x2-x+1=0 正确的解法是（）31812 2 A（x-）2=，x=339318 B（x-）2=-，原方程无解39 C（x-D（x-5252252）=，x1=+，x2=393335122）=1，x1=，x2=-333二、填空题二、填空题 1若 8x2-16=0，则 x 的值是_ 2如果方程 2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 3如果 a、b 为实数，满足3a4+b2-12b+36=0，那么 ab 的值是_三、综合提高题三、综合提高题 1解关于 x 的方程（x+m）2=n 2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m），另三边用木栏围成，木栏长 40m（1）鸡场的面积能达到 180m2吗？能达到 200m 吗？（2）鸡场的面积能达到 210m2吗？3在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4 米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？答案答案:一、1B 2D 3B二、12 29 或-3 3-8三、1当 n0 时，x+m=n，x1=n-m，x2=-n-m当 n0 时，无解2（1）都能达到设宽为 x，则长为 40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，得：x2-20 x+90=0，x1=10+10，x2=10-10；同理 x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为 40-20=20（2）不能达到同理 x（40-2x）=210，x2-20 x+105=0，b2-4ac=400-410=-100，无解，即不能达到3因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为 1 米的正方形