复旦大学98-99-00年高等代数考研试题.doc

复旦大学高等代数19981.,是复数.,0,0.证明: (I-)=I-,=0时必=0,时必0且 (15分)2.A=.为实数,.求 (10分)3.个实变量的二次型为2,它是否正定?说明理由. (15分)4.求A=的Jordan标准型和全体特征子空间. 5.实阵是初等反射阵,即,当且仅当正交相似于.证明之. (20分) 6.是互质的实多项式. ,.(i) 证明：。(ii) 由（i）证：若且，则有非奇异阵，使 ， . (20分)记号: 是实阵全体.是复阵全体.,分别是阵的转置和转置复共轭.是阵的零空间,即齐次方程组的解空间.方阵的特征子空间是,其中是的某个特征值.是单位阵. 是子空间的直接和.是阵的秩.复旦大学高等代数1999一、 概念题（不必写理由或计算过程）：（45分）1数域K上n阶反对称阵组成的K上线性空间的维数是（ ）。2欧氏空间中r个向量两两正交，它们是否线性无关（答是或否）。3欧氏空间中两个正交变换之和是否是正交变换（答是或否）。4上三角阵A是正交阵，则A必是阵。5欧氏空间上自共轭变换在标准正交基下的表示矩阵为阵。6已知8阶阵A的不变因子为1，1；（）（），（），写出A的Jordan标准型。7设是n维线性变换，V是否必是Ker和Im的直和？（ ）8已知V是K上小于4次的多项式全体组成的线性空间且，是V的一组基，向量在这组基下的坐标（写成行向量形式）为：。9写出K上4维列向量空间由下面矩阵决定的线性变换的一个2维不变子空间的基：（写在本题空白处）又，的核空间的维数为。10.求和的最大公因子( ).11.设dim V=n,dim U=m,是V到U的线性映射,若n>m,则( )A.必不是单映射; B.必是满映射; C.必是单映射; D.必不是满映射;12.将n阶方阵A的行对换,再将列对换得矩阵B,则A与B( ) A.必相似; B.不相似; C无法判断;13.设A是n阶实对称矩阵,A的n个顺序主子式都不小于零是A为半正定阵的( ) A.充分条件; B必要条件; C.充要条件; D.既非充分又非充要条件;14.社是n维线性空间上的线性变换, ,是的全部不同特征值,是的特征子空间(=1,2,s),则dim+dim( ) (填,或=)二用初等变换法将下列二次型化为标准型并求出变换阵三设多项式是整系数多项式，,p是素数若p可以整除但不能整除且也不能整除，求证:是有理数域上的不可约的多项式（分）四是数域K上n阶矩阵且r (A)表示A的秩，求证：（分）五设是阶正交阵且，求证：必是奇异阵六设是数域上线性空间上线性变换的最小多项式，且和都是上不可约多项式,求证：存在的不变子空间使是和的直和且作为上的线性变换其最小多项式等于,作为上的线性变换其最小多项式等于（分）复旦大学高等数20001 求方阵 的逆阵。2 设为一个阶方阵且的秩等于的秩。证明的秩等于的秩。3 设为一个阶正交阵，为一组线性无关的列向量，对于都有。如果的行列式等于1，证明是单位矩阵。4 设是一个自然数，是由所有实矩阵构成的维实向量空间，和分别为由所有对称矩阵和反对称矩阵构成的空间。证明，既是和的直和。设为一个数域，为上以作为不定元的多项式全体所组成的集合。设，其中。假定是中的一个不等于零的数。证明可以表示成有限多个以下类型的矩阵的乘积：其中是中的非零数，而。