第1课时—— 正弦定理(1)(教师版)[001]正式版.pdf

第第1 1章章解三角形解三角形【知识结构知识结构】听课随笔正弦定理解三角形 正、余弦定理的应用余弦定理【重点难点重点难点】重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题第第 1 1 课时课时正弦定理（正弦定理（1 1）【学习导航】【学习导航】知识网络知识网络直角三角形的边角关系任意三角形的边角关系正弦定理c asinC10sin105 5 2 5 6sin Asin30因此，b，c的长分别为10 2和学习要求学习要求1正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题5 2 5 6【例 2】根据下列条件解三角形：（1）b 3,B 60,c 1；（2）c 6,A 45,a 2分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题【课堂互动】【课堂互动】自学评价自学评价1正弦定理：在ABC 中，abc2R,sin Asin BsinC2正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角bc，sinBsinCcsin B1sin601，sinC b23b c,B 60，C B，C为锐角，【解】（1）C 30,A 90，a b2c2 2【精典范例】【精典范例】【例 1】在ABC中，A30，C 105，a 10，求b，c分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题【解】因 为A30，C 105，所 以ac，sin AsinCcsin A6sin453sinC，a22C 60 或120，（2）当csin B6sin753 1sinCsin60当C 120 时，B 15,b csin B6sin153 1sinCsin60C 60 时，B 75,b abc，B 45因为sin Asin BsinCas iBn1 0 s i n 4 51 02所 以b，s iAnsi n 3 0所以，b 3 1,B 75,C 60 或b 3 1,B 15,C 120追踪训练一追踪训练一C 105，B 45，1 在ABC 中，c 5，则b的值为（A）A5(3 1)B5(3 1)C10D5(6 00B 9002B 900 300 B 450，即：18003B 900由正弦定理知：听课随笔asin Asin2B 2cosBbsin Bsin B故所求的范围是：2,3，2)2,3。2在ABC 中，已知a 3，b 4，【例 4】在ABC 中，设2sin B，则sin A=（C）3311ABCD 14623（课本 P9 练习第 2 题）在ABC 中，00（1）已知A 75，B 45，c 3 2，求a，b；cosBcosCcos A，求cos A的值。3b2ca【解】由正弦定理得：（2）已知A 30，B 120，b 12，求a，c。略解：（1）a 33，b 2 3；（2）a 4 3，c 4 3（可以先判断是等腰三角形再解）4（课本 P9 练习第 3 题）根据下列条件解三角形：（1）b 40，c 20，C 25；（2）b 13，a 26，B 30。略解：（1）由题意知：0000cosBcosCcos A3sin B2sin Csin A1tanB tan A3tanC 1tan A2又tan A tan(BC)tan B tanC，1tan BtanC 5tan A tan2A1126tan A3。6 cos A sin B 2sinC 2sin250 0.423 B 580追踪训练二追踪训练二0或122（1）在ABC中，已知bc 8，B 30，C 45，则b，A 970，a 47或A 330，a 25.8c（要注意两解的情况）（2）在ABC中，如 果A30，（2）由题意知：B 120，b 12，那么a，00A 90 C 60 c 13 3ABC的面积是15【选修延伸】【选修延伸】（3）在ABC中，3，bc 30，SABC2【例 3】在锐角三角形 ABC 中，A=2B，a、则Aab、c所对的角分别为 A、B、C，试求的b【师生互动】范围。分析：本题由条件锐角三角形得到B 的范围，学生质疑a从而得出的范围。b【解】在锐角三角形ABC 中，A、B、C900，教师释疑