高考数学圆锥曲线专题复习.pdf

-.圆锥曲线圆锥曲线一、知识结构一、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上f(x0,y0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上f(x0,y0)0两条曲线的交点若曲线 C1，C2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则f1(x0,y0)=0点 P0(x0,y0)是 C1，C2的交点f2(x0,y0)=0方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.-可修编.-.2.圆圆的定义：点集：MOM=r，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.圆的方程：(1)标准方程圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0DE叫做圆的一般方程，圆心为(-,-），半径是22x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为D2 E2-4F.配方，将方程2D2E2D2 E2-4F(x+)+(y+)=422当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-DE,-);22当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0)，则MCr点 M 在圆 C 内，MC=r点 M 在圆 C 上，MCr点 M 在圆 C 内，其中MC=(x0-a)(y0-b).(3)直线和圆的位置关系直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=22Aa BbCA B22与半径 r 的大小关系来-可修编.-.判定.3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识性曲线质椭圆双曲线抛物线M MF1+轨迹条件MF2=2a,F1F22a圆形标准方程MMF1-MF2.=2a,F2F22a.M MF=点 M到直线 l 的距离.x2y2x2y2+=1(ab0)-=1(a0,b0)a2b2a2b2A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)对称轴 x=0,y=0A1(0,-a),A2(0,a)对称轴 x=0,y=0实轴长：2a 虚轴长：2bF1(-c,0),F2(c,0)焦点在实轴上F1F2=2c,c=a2b2y2=2px(p0)顶点O(0,0)轴长轴长：2a短轴长：2b对称轴 y=0焦点F1(-c,0),F2(c,0)焦点在长轴上F1F2=2c，F(P，0)2焦点对称轴上焦距c=a2-b2a2x=c准线准线垂直于长轴，且在椭圆外.离心率e=a2x=c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.e=x=-p2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.e=1c,0e1ac,e1a-可修编.-.4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数 e 称为离心率.当 0e1 时，轨迹为椭圆，当e=1 时，轨迹为抛物线当 e1 时，轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O在原坐标系 xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x+hx=x-h(1)或(2)y=y+ky=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴x=hy=kx=hy=kx=hy=kx=hy=ky=ky=k(x-h)2(y-k)2+=1a2b2椭圆(c+h,k)a2x=+hca2y=+kca2=+kca2y=+kc(x-h)2b2=1(y-k)2+a2(h,c+k)(x-h)2(y-k)2-=1a2b2双曲线(c+h,k)(y-k)2(x-h)2-=1a2b2(y-k)=2p(x-h)2(h,c+h)抛物线(y-k)2=-2p(x-h)p+h,k)2p(-+h,k)2(p+h2px=+h2x=-可修编.-.(x-h)=2p(y-k)2(x-h)2=-2p(y-k)二、知识点、能力点提示二、知识点、能力点提示p+k)2p(h,-+k)2(h,p+k2py=+k2y=-x=hx=h(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简.特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、三、考纲中对圆锥曲线的要求考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：.椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：.(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；.(4)了解圆锥曲线的初步应用。四对考试大纲的理解对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3 题(1 个选择题,1 个填空题,1 个解答题),共计 22 分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主,难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。-可修编.-.求圆锥曲线的方程求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0).定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.【例题】x2y2【例【例1 1】双曲线=1(bN N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，4b2|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_.解：设F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4,依已知条件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2又c2=4+b217,3517,b2,b2=1.3320，椭圆C2的方程为3【例【例2 2】已知圆C1的方程为x22y12x2a2y2b21a b 0，C2的离心率为2，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB2y恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由e 设椭圆方程为2c22,得,a2c2,b2 c2.2a2x22b2Ay2b21.C1F1BF2Ox-可修编.-.设A(x1,y1).B(x2,y2).由圆心为(2,1).x1 x2 4,y1 y2 2.又2x12b22y1b21,2x22b22b22y2b21,0.两式相减，得22x1 x222y1 y2b2(x1 x2)(x1 x2)2(y1 y2)(y1 y2)0,又x1 x24.y1 y22.得直线AB的方程为y1 y2 1.x1 x2y1(x2).即y x3将y x 3代入x22b2y2b21,得3x212x 18 2b2 0.直线AB与椭圆C2相交.24b272 0.由AB 2 x1 x22(x1 x2)24x1x220.324b272得2 3220.3x2y2解得b8.故所有椭圆方程1.168【例【例3 3】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为相交于A、B两点，直线y=2的椭圆C21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关2于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.a2 b21c2,从而a2=2b2,c=b.解法一：由e=,得22a2a设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，y y2x x2 1.(x12x22)+2(y12y22)=0,1x1 x22(y1 y2)x设AB中点为(x0,y0),则kAB=0,2y0又(x0,y0)在直线y=11x上，y0=x0,22F2yy=12xB-可修编.AoF1x-.于是x0=1,kAB=1,2y0设l的方程为y=x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),y1x 1x b则解得y 1byx b 12 2由点(1,1b)在椭圆上，得 1+2(1b)2=2b2,b2=929,a.1688x2162所求椭圆C的方程为y=1,l的方程为y=x+1.99c2a2 b21解法二：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.2a22a设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=4k21 2k2,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=2k1 2k2.x1 x2y1 y21 k12k2直线l：y=x过AB的中点(),则,2221 2k221 2k2解得k=0，或k=1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0 舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.解法 3：设椭圆方程为x2a2y2b21(a b 0)(1)1x过AB中点矛盾。2直线l不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线y故可设直线l的方程为y k(x1)(2)(k2a2 b2)x2 2k2a2x a2k2 a2b2 0(3)(2)代入(1)消y整理得：设A(x1，y1)B(x2，y2)，知：x1 x2又y1 y2 k(x1 x2)2k代入上式得：2k2a2k2a2 b222k1k2a2 b21b21，k k k，k 2k 又e 2x1 x2222k2a2ka22k 2b2a2 2(a2c2)a2 22e2 1，直线l的方程为y 1 x，此时a2 2b2，方程(3)化为3x2 4x 2 2b2 0，1624(1b2)8(3b21)0-可修编.-.b 3，椭圆C的方程可写成：x2 2y2 2b2(4)，又c2 a2 b2 b2，3右焦点F(b，0)，设点F关于直线l的对称点(x0，y0)，y0 x b1x01，y01b，则0yx b0102 21 2(1 b)2b2，b 又点(1，1 b)在椭圆上，代入(4)得：33，43b299，a2168x2y2所以所求的椭圆方程为：199816【例【例4 4】如图，已知P1OP2的面积为线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为27，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直413的双曲线方程.2解：以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为由e=2x2a2y2b2=1(a0,b0)yP2b2132b3，得1()().a2a2a233x和y=x22oP1Pxc2两渐近线OP1、OP2方程分别为y=设点P1(x1,33x1),P2(x2,x2)(x10,x20),22则由点P分P1P2所成的比=得P点坐标为(P1P=2,PP2x1 2x2x1 2x2,),32又点P在双曲线所以(x1 2x2)29a2x2a24y29a29a2=1 上，=1,(x1 2x2)2即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2-可修编.-.92139x1x1,|OP|x22x22424322tan P1Ox212sin P1OP21 tan2P1Ox1913411 1312SP1OP2|OP1|OP2|sin P1OP2x1x222413又|OP1|x1213x2227,4即x1x2=92由、得a2=4,b2=9x2y2故双曲线方程为=1.49【例【例5 5】过椭圆 C：y2a2x2b21(a b 0)上一动点 P 引圆 O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于 M、N 两点。(1)已知 P 点坐标为(x0，y0)并且x0y00，试求直线AB方程；(2)若椭圆的短轴长为 8，并且a2|OM|2b2|ON|225，求椭圆C 的方程；(3)椭圆16C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)切线 PA：x1x y1y b2，PB：x2x y2y b2P 点在切线 PA、PB上，x1x0 y1y0 b2直线AB的方程为x0 x y0y b2(x0y00)b2b2(2)在直线AB方程中，令y=0，则 M(，0)；令x=0，则 N(0，)x0y022a2y0 x0a2252(2)222b16|OM|ON|bab2x2x0 y2y0 b2a2b22b=8b=4代入得a2=25,b2=16y2x2椭圆 C 方程：1(xy 0)（注：不剔除xy0，可不扣分）2516(3)假设存在点 P(x0，y0)满足 PAPB，连接 OA、OB由|PA|=|PB|知，22 y0 2b2四边形 PAOB为正方形，|OP|=2|OA|x0-可修编.-.22 b2y0 a2b2又P 点在椭圆 C 上a2x0由知2x0b2(a2 2b2)ab22,2y0a2b2ab22ab0a2b20(1)当a22b20，即a2b时，椭圆 C 上存在点，由 P 点向圆所引两切线互相垂直；(2)当a22b20，即ba06km设x1,x2为方程*的两根，则x1 x2213kx x23kmmx01y kx m 0022213k13k3kmm故 AB 中点 M 的坐标为(，)13k213k2-可修编.-.线段 AB 的垂直平分线方程为：y m13km()(x)22k13k13k将 D(0，1)坐标代入，化简得：4m=3k2122m 13k 0故 m、k 满足，消去 k2得：m24m024m 3k1解得：m4又4m=3k211m1故 m(14,0)(4,).-4-可修编.-.【直线与圆锥曲线练习】【直线与圆锥曲线练习】一、选择题x21斜率为 1 的直线l与椭圆+y2=1 相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()4A.2B.4 55C.4 105D.8 1052抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有()A.x3=x1+x2二、填空题3已知两点M(1，22B.x1x2=x1x3+x2x3D.x1x2+x2x3+x3x1=0C.x1+x2+x3=055)、N(4，)，给出下列曲线方程：4x+2y1=0,44x22x2x+y=3,+y=1,y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是22_.4 正方形ABCD的边AB在直线y=x+4 上，C、D 两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_.5在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_.三、解答题6已知抛物线y2=2px(p0),过动点M(a,0)且斜率为 1 的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值 X 围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值.7 已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).(1)求双曲线方程.(2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点213oFBNxyAM、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.8已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(2，0)为圆心，1 为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.-可修编.-.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l过点A，斜率为k,当 0k1 时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时B点的坐标.直线与圆锥曲线参考答案直线与圆锥曲线参考答案45 t24 10一、1.解析：弦长|AB|=2.答案：C55kbby ax22.解析：解方程组,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入验aaky kx b证即可.答案：B二、3.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：4.解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4 与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.答案：18 或 505.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2).即y1 y216kAB=8.x1 x2y1 y2故所求直线方程为y=8x15.答案：8xy15=0三、6.解：(1)设直线l的方程为：y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2 4(a p)2 4a22p.4ap+2p2p2,即 4app2又p0,ap.4(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,则有x=x1 x2y y2x1 x2 2a a p,y 1=p.222线段AB的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而N点坐标为(a+2p,0）|a 2p a|点N到AB的距离为2p2从而SNAB=2 4(a p)2 4a22p 2p 2ap p212-可修编.-.当a有最大值p时，S有最大值为2p2.4x2y26262a2 b22127.解：(1)如图，设双曲线方程为22=1.由已知得221,e,解得23ababaa2=9,b2=12.x2y2所以所求双曲线方程为=1.912(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有12x12 9y12108y y2124412x22 9y221081，kl=3x1 x293x1 x2 4y y 421l的方程为y=4(x2)+2,312x29y2108由,消去y,整理得x24x+28=0.4y(x 2)3=164280,所求直线l不存在.8.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d=|2k|k12=1,解得k=1.即渐近线为y=x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，2).a=2=b,所求双曲线C的方程为x2y2=2.(2)设直线l：y=k(x2)(0k1),依题意B点在平行的直线l上，且l与l间的距离为2.设直线l：y=kx+m,应有|2k m|k122,化简得m2+22km=2.-可修编.-.把l代入双曲线方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得m2+2k2=2、两 式 相 减 得k=2m,代 入 得m2=2102 5,解 设m=,k=,此 时55x=mkk212 2,y=10.故B(22,10).-5-可修编.