2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知平面的一个法向量13,0,n，平面的一个法向量22,1,6n，若，则（）A92 B4 C1 D1【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得12nn，且13,0,n，22,1,6n，则可得660，解得1 故选:C 2若直角三角形三条边长组成公差为 2 的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（）A52 B3 C5 D152【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为a，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到a的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为a，则三边依次为2,2aa a 由勾股定理可得22222aaa，解得8a或0a（舍）即斜边为210a，所以外接圆的半径为1052 故选:C 3已知P为双曲线22:133xyC与抛物线22yx的交点，则P点的横坐标为（）A3 B2 C6 D1【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，220 xy，则由22223yxxy解得36xy，所以P点的横坐标为 3.第 2 页 共 18 页 故选：A 4若直线340 xym与圆2220 xyy相切，则实数m取值的集合为（）A1,1 B9,1 C1 D8,2【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得dr，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由圆2220 xyy可得2211xy，表示圆心为0,1，半径为1的圆，则圆心到直线340 xym的距离22434md，因为直线340 xym与圆2220 xyy相切，所以dr，即224134m，解得1m 或9m ，即实数m取值的集合为9,1 故选:B 5已知数列 na首项为 2，且112nnnaa，则na（）A2n B121n C22n D122n【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得112nnnaa，12a，则当2n时，有 12111221()()(222)nnnnnnnaaaaaaaa，1212112 1 22222222221 2nnnnnnnaa 经检验当1n 时也符合该式122nna.故选：D 6如图，在直三棱柱111ABCABC中，CACB，P为1A B的中点，Q为棱1CC的中点，则下列结论不正确的是（）第 3 页 共 18 页 A1PQAB BAC/平面1ABQ C1PQCC DPQ/平面ABC【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似 A 选项的证明得到线线垂直，结合 AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明，【详解】不妨设棱柱的高为2h，ACCBx.B 选项，根据棱柱性质，11AC/AC，而11AC 平面11ABQA，若AC/平面1ABQ，无论怎样平移直线AC，都不会和平面1ABQ只有一个交点，于是得到矛盾，故 B 选项错误；A 选项，计算可得，221QAQBxh，又P为1A B的中点，故1PQAB（三线合一），A 选项正确；C 选项，连接11,QB QA AB，根据平行四边形性质，1AB过P，计算可得，221QAQBxh，又P为1AB的中点，故1PQAB（三线合一），结合 A 选项，1PQAB，11ABABP，11,AB AB 平面11ABB A，故PQ平面11ABB A，由1AA 平面11ABB A，故PQ1AA，棱柱的侧棱1AA/1CC，故1PQCC，C 选项正确；D 选项，取AB中点E，连接,PE CE，结合P为1A B的中点可知，PE为1ABA中位线，故PE/1AA，且112PEAA，即PE/CQ，且PECQ，故四边形PECQ为平行四边形，故PQ/CE，由PQ 平面ABC，CE 平面ABC，故PQ/平面ABC，D 选项正确.故选：B 第 4 页 共 18 页 7在数列 na中，若存在不小于 2 的正整数k使得1kkaa且1kkaa，则称数列 na为“k 数列”.下列数列中为“k 数列”的是（）Anbn B2nnb C9nbnn D123nbn【答案】C【分析】利用“k 数列”定义逐项判断可得答案.【详解】对于 A，nbn，11nbn，1110 nnbbnn，数列 nb是单调递增数列，所以数列 nb不是“k 数列”，故 A 错误；对于 B，2nnb，112nnb，112220nnnnnbb，数列 nb是单调递增数列，所以数列 nb不是“k 数列”，故 B 错误；对于 C，对于函数 90f xxxx，令123xx，121212129x xfxfxxxx x，因为123xx，所以12120,9xxx x，12121290 x xxxx x，所以 12f xf x，f x在3,x上为单调递增函数，令2103xx，121212129x xfxfxxxx x，因为2103xx，所以12120,09xxx x，12121290 x xxxx x，所以 12f xf x，f x在0,3x上为单调递减函数，所以对于9nbnn，当23n时，有1nnbb，当3n时，有1nnbb，存在3k 使得数列 nb是“k 数列”，故 C 正确；对于 D，11b ，2n时，因为23n的单调递增数列，123n是单调递减数列，所以不存在不第 5 页 共 18 页 小于 2 的正整数k使得1kkaa且1kkaa，所以数列 nb不是“k 数列”，故 D 错误.故选：C.8已知O为坐标原点，A点坐标为2,0，P是抛物线21:2Cyx在第一象限内图象上一点，M是线段AP的中点，则OM斜率的取值范围是（）A10,4 B2,C10,2 D20,4【答案】A【分析】设22,0Pyyy，可得221OMyky，再利用基本不等式可得答案.【详解】设22,0Pyyy，所以21,2yMy，所以22112141212OMyykyyyy，当且仅当1yy即1y 时等号成立，则OM斜率的取值范围是10,4.故选：A.二、多选题 9已知正四面体的棱长均为 1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（）A0 B12 C2 D3【答案】AB【分析】由cos,cos,1,1a baba ba b，排除 C、D；取,aAD bBC，求出0a b；取,aAD bAC，求出12a b.即可判断 A、B.【详解】在正四面体ABCD中，棱长均为 1.第 6 页 共 18 页 任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为 1.任取两个向量,a b，则1ab.所以cos,cos,1,1a baba ba b.故 C、D 错误；取,aAD bBC.设BC中点为E,连接,AE DE.因为ABCD为正四面体，所以,AEBC DEBC.因为AEDEE,AE 面ADE，DE面ADE，所以BC面ADE.因为AD 面ADE，所以BCAD，所以,90a b.所以cos,cos900a ba b.故 A 正确；取,aAD bAC，则,60a b.所以1cos,cos602a ba b.故 B 正确.故选：AB 10 已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为12，左，右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PFF的周长为 6，则下列结论正确的是（）A椭圆C的焦距为 1 B椭圆C的短轴长为2 3 C12PF F面积的最大值为3 D椭圆C上存在点P，使得1290F PF【答案】BC【分析】根据12e，226ac解得,a b c可判断 AB；设00,P x y，由1 212012PF FSFFy知当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断 C；假设椭圆C上存在点P，设第 7 页 共 18 页 12,PFm PFn，求出mn、mn，,m n可看作方程2460 xx，求出判别式可判断 D.【详解】由已知得12cea，226ac，解得2,1ac，2223bac，对于 A，椭圆C的焦距为22c，故 A 错误；对于 B，椭圆C的短轴长为22 3b，故 B 正确；对于 C，设00,P x y，1 2120012PF FSFFyc y，当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时03yb，所以12PFF面积的最大值为3，故 C 正确；对于 D，假设椭圆C上存在点P，使得1290F PF，设12,PFm PFn，所以24mna，22216244mnmnc，6mn，所以,m n是方程2460 xx，其判别式16240，所以方程无解，故假设不成立，故 D 错误.故选：BC.11在棱长为2的正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的是（）A异面直线1AB与CD所成角的为45 B异面直线11AB与1AC所成角的为45 C直线1AC与平面11ABB A所成角的正弦值为33 D二面角1CADB的大小为45【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断 AB 选项；利用线面角的定义可判断 C 选项；利用二面角的定义可判断 D 选项.【详解】如下图所示：对于 A 选项，/CD AB，则1AB与CD所成的角为145BAB，A 对；第 8 页 共 18 页 对于 B 选项，11/AB AB，所以，1AC与11AB所成角为1BAC或其补角，因为2AB，122 2BCBC，132 3ACAB，22211ABBCAC，则1ABBC，所以，11tan2BCBACAB，故145BAC，B 错；对于 C 选项，11BC 平面11AA B B，故直线1AC与平面11ABB A所成角为11B AC，1AB 平面11AAB B，则111BCAB，所以，111113sin3BCB ACAC，因此，直线1AC与平面11ABB A所成角的正弦值为33，C 对；对于 D 选项，AD 平面11CC D D，CD、1C D 平面11CC D D，则ADCD，1ADC D，所以，二面角1CADB的平面角为145CDC，D 对.故选：ACD.12 已知数列 na的前n项和2nSn，数列 nb是首项和公比均为 2 的等比数列，将数列 na和 nb中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列 nc，则下列结论正确的是（）A1216c B数列 nc中nb与1nb之间共有12n项 C22nnba D121nnnbc 【答案】AB【分析】根据题意可得：数列 na是以1为首项，2为公差的等差数列，则21nan，2nnb，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列 na的前n项和2nSn，当1n 时，111aS；当2n时，121nnnaSSn；经检验，当1n 时也满足，所以21nan；又因为数列 nb是首项和公比均为 2 的等比数列，所以2nnb.则数列 nc为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以1216c，故选项A正确；数列 na是由连续奇数组成的数列，1,nnb b都是偶数，所以nb与1nb之间包含的奇数个数为112222nnn，故选项B正确；第 9 页 共 18 页 因为2nnb，则222nnb为偶数，但122 2121nnna 为奇数，所以22nnba，故选项C错误；因为2nnb，前面相邻的一个奇数为21n，令2121nkak，解得：12nk，所以数列 nc从 1 到2n共有12nn，也即122nnnncb，故选项D错误，故选：AB 三、填空题 13已知等差数列 na前 3 项的和为 6，前 6 项的和为 21，则其前 12 项的和为_.【答案】78【分析】先求得等差数列 na的首项和公差，然后求得前12项和.【详解】设等差数列的公差为d，则1133661521adad，解得11ad，所以前12项的和为1126678ad.故答案为：78 14以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C的共轭双曲线的离心率为3，则双曲线C的离心率为_.【答案】3 24【分析】不妨设双曲线C的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，根据双曲线的离心率公式可得出2 2ba，进而可求得双曲线C的共轭双曲线的离心率.【详解】不妨设双曲线C的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，则2223cabaa，可得2 2ba，所以，双曲线C的共轭双曲线的实轴长为2b，虚轴长为2a，焦距为2222abc，因此，双曲线C的共轭双曲线的离心率为22222283 284cabaabba.故答案为：3 24.15已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为_.【答案】932#0.28125 第 10 页 共 18 页【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案.【详解】画出轴截面如下图所示，圆锥的轴截面为正三角形ABC，设球心为O，圆锥底面圆心为1O，球的半径为R，则圆锥的高为1322RRR，底面半径为32R，所以圆锥与球的体积之比为2313332294323RRR.故答案为：932 四、双空题 16摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点P运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆O的方程为2220 xyRR，半径为 1 的动圆M内切于定圆O作无滑动的滚动，切点P的初始位置为,0R.若4R，则PO的最小值为_；若2R，且已知线段MP的中点N的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为_.【答案】2 2219144xy【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案.【详解】当4R 时，PO的最小值为2 1422R .当2R 时，N初始位置为3,02，圆O的四分之一弧长为1224，第 11 页 共 18 页 圆M的半周长为12 12，所以N的轨迹过点10,2N，所以31,22ab，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆方程为2219144xy.故答案为：2；2219144xy 五、解答题 17如图，PA是三棱锥PABC的高，线段BC的中点为M，且ABAC，2ABACPA.(1)证明：BC平面PAM；(2)求A到平面PBC的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2 33.【分析】（1）根据已知条件证明BCAM，PABC，由直线与平面垂直的判定定理即可证明.（2）法一：在平面PAM中，过A点作AHPM，证明AH 平面PBC，再求值即可；法二：A到平面PBC的距离，是三棱锥APBC的高，利用等体积法求解.【详解】（1）因为ABAC，线段BC的中点为M，所以BCAM.第 12 页 共 18 页 因为PA是三棱锥PABC的高，所以PA 平面ABC，因为BC平面ABC，所以PABC.因为PA 平面PAM，AM 平面PAM，PAAMA，所以BC平面PAM（2）法一：（综合法）在平面PAM中，过A点作AHPM，如图所示，因为BC平面PAM，AH平面PAM，所以BCAH.因为AHPM，BC平面PBC，PM 平面PBC，PMBCM，所以AH 平面PBC.在Rt BAC中，22111442222AMBCABAC.所以在Rt PAM中，22426PMPAAM，所以2 22 336PAAMAHPM，所以A到平面PBC的距离为2 33.法二：（等体积法）设A到平面PBC的距离为d，则在Rt BAC中，22111442222AMBCABAC.在Rt PAM中，22426PMPAAM.因为PA是三棱锥PABC的高，所以11142 2 23323P ABCABCVSPA ，11142 263323P ABCPBPBCCAVVSdd，解得2 33d，所以A到平面PBC的距离为2 33.18已知等比数列 na的首项为 2，前n项和为nS，且234230SSS.(1)求na；(2)已知数列 nb满足：nnbna，求数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)2nna 第 13 页 共 18 页(2)11 22nnTn 【分析】（1）根据题意，由234230SSS可得公比q，再由等比数列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列 na的公比为q，因为234230SSS，所以234320SSSS，所以342aa，所以2q，所以112nnnaa q.（2）由（1）得，2nnbn，所以21 2222nnTn，所以23121 22 2122nnnTnn ，-，得211121 2222221221 2nnnnnnTnnn ，所以11 22nnTn.19已知双曲线2222:10,0 xyCabab的实轴长为 2，右焦点F到32x 的距离为12.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线1yx与双曲线C交于M，N两点，求MNF的面积.【答案】(1)2213yx (2)32 【分析】（1）由双曲线实轴长为 2 可得1a，再利用右焦点F到32x 的距离为12可得2c，即可求得双曲线C的方程；（2）联立直线和双曲线方程容易解出M，N两点坐标即可求得MNF的面积.【详解】（1）设双曲线C的焦距为20c c，因为双曲线C的实轴长为 2，所以22a，解得1a.因为右焦点F到32x 的距离为12，所以3122c，解得1c 或2c.因为ca，所以2c.可得222413bca，第 14 页 共 18 页 所以双曲线C的方程为2213yx.（2）设11,M x y，22,N xy，联立直线和双曲线22113yxyx可得223130 xx，即220 xx，1x 或2x 不妨设11x，22x ，所以2130,yy.所以21211131 32222MNFSMFycxy .即MNF的面积为32 20已知数列 na的首项为 1，前n项和为nS，且满足_.22a，22nnaa；21nnSna；12nnnSnS.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求na；(2)求数列21nna a的前n项和nT.【答案】(1)nan(2)13112 212nTnn 【分析】（1）当选时，分n为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选时，根据nS与na的关系，即可得到结果；当选时，根据条件得到1nSnn是常数数列，从而得到结果；（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选 因为22nnaa，所以当n为奇数时，1122nnaan；同理，当n为偶数时，2222nnaan.所以nan.选 第 15 页 共 18 页 因为21nnSna，（*）所以当2n时，112nnSna，（*）（*）-（*），得11nnnana，即11nnaann，所以数列nan是首项为 1 的常数列，所以nan.选 因为12nnnSnS，所以 1211nnSSnnnn，所以数列1nSnn是首项为12的常数列，所以12nn nS，所以当2n时，11122nnnn nnnaSSn.当1n 时，也符合上式.所以nan.（2）由（1）得，2111 11222nna an nnn，所以111111111311123243522 212nTnnnn 21三棱柱111ABCABC中，112ABABAAAC，120BAC，线段11AB的中点为M，且BCAM.(1)求证：AM平面ABC；(2)点P在线段11BC上，且11123B PBC，求二面角11PB AA的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3 1313 【分析】（1）由ABAM、BCAM根据线面垂直的判定定理可得AM平面ABC；（2）以A为原点，以、ANACAM所在的直线为xyz、建立空间直角坐标系，求出平面11B AA、平面1PB A的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.第 16 页 共 18 页【详解】（1）三棱柱111ABCABC中，11/AB AB，在11AB A中，11ABAA，线段11AB的中点为M，所以11ABAM，所以ABAM；因为BCAM，BC平面ABC，AB平面ABC，ABBCB，ABBC、平面ABC，所以AM平面ABC；（2）做ANAC交BC于N点，以A为原点，以、ANACAM所在的直线为xyz、建立空间直角坐标系，则0,0,0A，3,1,0B，131,322B，0,2,0C，0,0,3M.所以131,322AB，3,3,0BC ，0,0,3AM，因为111222 3,2,0333B PBCBC，所以3 3,362P，所以3 3,362AP，设平面11B AA的一个法向量1111,nx y z，则111111131302230nABxyznAMz，解得10z，令13y，则11x，所以11,3,0n，设平面1PB A的一个法向量2222,nxyz，则222221222333062313022nAPxyznABxyz，令23y，则23x，21z ，所以23,3,1n，设二面角11PB AA的平面角为0180，则 12121263 13coscos,13213n nn nn n，由图知二面角11PB AA的平面角为锐角，所以二面角11PB AA的平面角的余弦值为3 1313.第 17 页 共 18 页 22已知31,2P为椭圆2222:10 xyEabab上一点，上、下顶点分别为A、B，右顶点为C，且225ab.(1)求椭圆E的方程；(2)点P为椭圆E上异于顶点的一动点，直线AC与BP交于点Q，直线CP交y轴于点R.求证：直线RQ过定点.【答案】(1)2214xy(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得22,ab，从而求得椭圆E的方程.（2）设出直线BP的方程，求得点Q的坐标，联立直线BP的方程和椭圆E的方程，求得P点坐标，进而求得直线PC的方程，从而求得R点的坐标，由此求得直线RQ的方程并确定定点坐标.【详解】（1）因为31,2P为椭圆2222:10 xyEabab上一点，所以221314ab.因为225ab，所以2213154bb，整理得42419150bb，解得21b 或2154b.当2154b 时，254a，与ab矛盾.所以21b，24a.椭圆E的方程为2214xy.（2）设直线BP的斜率为k，则:1BPlykx.第 18 页 共 18 页 因为1:12AClyx，由1112ykxyx 解得421Qxk，2121Qkyk.因为22114ykxxy，所以224140 xkx，整理得221480kxkx，所以2841Pkxk，224141Pkyk.所以2222241412141888242241PCkkkkkkkkkk，所以21:242PCklyxk.令0 x，得2121Rkyk.所以222221212121822121414144421212121RQkkkkkkkkkkkkkkk，所以221:2121RQkklyxkk.所以242:12212121RQkkklyxxkkk .所以直线RQ过定点2,1.