人教A版新教材必修第一册《5.1.2 弧度制》教案（定稿）.docx

5.1.2弧度制【学习目标】L了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化2掌握弧度制下的扇形的弧 长和面积公式.【导语】同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？我们是否想到足球射门的弧度、篮球 投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比方：海浪 因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵.而在我们 数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变.一、弧度制的概念问题1我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？提示不能，比方30。2 11' '，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角 函数的求值.为了能把角和实数建立联系，经过几千年的开展、探究和讨论，人们在衡量角 度上达成共识，形成了今天的弧度制.【知识梳理】.弧度制我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1 .弧度数的计算在半径为一的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角为a rad,那么同=：2 . 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是Q注意点：一定大小的圆心角。所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.例1以下各命题中，真命题是（）A. 1弧度就是1。的圆心角所对的弧8.1 弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1。的弧与1。的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小答案D解析根据弧度制和角度制的规定可知A, B, C均错误，D正确.反思感悟（1）圆心角a与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的；（2）任意角的弧度数与实数是对应的关系.跟踪训练1以下说法正确的选项是（）A. 1弧度的圆心角所对的弧长等于半径答案B 解析表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为相=也JL乙 U当时针指向10,分针指向2时，时针与分针的夹角为4义会=果 o 3但当分针指向2时，时针由10向11移动了1X=表，O O 3027r jr 237r故该时刻的时针与分针所夹的钝角为华一看=妥.V-Z_z12 .假设角。与角x+彳有相同的终边，角夕与角x彳有相同的终边，那么。与夕间的关系为()。+4=0A. a一尸。B. a+夕=2E(%£Z)jiC. a-p=2kji+Z)答案D71解析 因为 a=x+a+2%m（M£Z）,兀所以a尸=5+2（21左2）兀（舟WZ, 22金2）.因为由£Z, feez,所以 kk2Gz.jr所以 aB=52kii(keZ).13 .自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的 弧度数是()A,TT答案解析A,TT答案解析44ti - 5兀22ttB亏C-22 D.亨B由题意，知当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过窈周，那么小链轮转过的弧度数是算X2tt=华. 乙1/J. 一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，那么这段圆弧所对的圆心角为 答案也解析如图，设圆的半径为七那么正方形边长为也R,弧长l=y2R9a r- r 72，拓广探究15.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作.其中方田章给出计算弧田面积所用 的经验公式为：弧田面积=上弦X矢+矢，弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中27r“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为爷 半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 ml精确到1 m)答案92兀解析牛=120。，根据题意得，4)12f)°弦= 2X4sin、=4小(m),矢=42=2(m),因此弧田面积=:><(弦X矢+矢2)=*(4/*2 + 22)=4/+279(0?).16.扇形的圆心角为a,半径为几(1)假设扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时a的值；(2)假设扇形的面积是定值5(5>0),求扇形的最小周长及此时a的值.解(1)由题意，可得2r+ar=C,即ar=C2r,那么扇形面积=；(C 2r)r=户+*>=(厂。)?+京，1 1c故当厂时，S取得最大值而。2,此时=：2=2.(2)由题意，可得5=3仪/，20那么扇形周长 C=2r-ar=2r4ys,当且仅当2r=7，即=立时取等号，故当r=这时，。取得最小值 入白，此时。=尸=2.B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角答案A解析 对于A,根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确； 对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C,只有在 同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D,用弧度表示的角 也可以是负角或零角，故D错误.二、角度制与弧度制的相互转化问题2根据公式3=:,你能得出圆周角的弧度数吗？提示 因为半径为广的圆的周长为/=2，故圆周角的弧度数a=2兀，而圆周角的角度数是 360%于是我们有了弧度与角度的换算关系.【知识梳理】角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360° = 2k rad2兀 rad = 360°180°=3 rad兀 rad =180°711° 1Qn rad 0.017 45 rad 1 oU<18i1 rad=u。卜 57.30。度数x弧度数1 OU弧度数xp祟。=度数注意点: 弧度单位rad可以省略.(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用.例2把以下角度化成弧度或弧度化成角度:(1)72°； (2)-300°； (3)2； (4)-y.7T2 兀角牛 720 = 72义80=3", (2) - 3000 = 一 30。X 焉=一学“80、(360、(3)2=2XE = E.一金=一专义(1普)。=-40。.反思感悟角度与弧度的互化技巧JT在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式兀rad= 180。是关键，由它可以得到：度数X而= 1 oU弧度数，弧度数X，詈)。=度数.一般情况下，省略弧度单位rad.tt77r跟踪训练2 q=15。，夕=m，y=l，9=105。，夕=在，试比拟如3, y,a9的大小.JLL 乙角窣 <x= 15O = 15 X8= 105°= 105 义80=Y， .卫马1区* 12 10 1 12,三、利用弧度表示角例3将一1 125。写成。+2bi(Z£Z)的形式，其中04版2兀，并判断它是第几象限角？jr257r7jt解 1 125°= 1 125义了说=一二=-8兀+W,1OU 今437r 77r7冗其中隼咛<2兀，所以午是第四象限角, II所以一1 125。是第四象限角.延伸探究 假设在本例的条件下，在-4兀，4兀范围内找出与。终边相同的角的集合.7冗解 依题意得，与。终边相同的角为q+2E, 由一4兀W彳+2E4兀，攵£Z,知 k= -2, 1,0,1,所以所求角的集合为一华，一去季号1反思感悟用弧度制表示终边相同的角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角a+2E/£Z)时，其中2E是兀的偶数倍，而不是整数倍.注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练3 (1)用弧度制表示与150。角终边相同的角的集合为()A”/=-普+2攵兀,攵WZ ,/=誓十k360。，攵WZ 2兀C4 £=丁+2女兀，kGZ ,(5兀D4£=不+2攵兀，k£Z，答案D解析150。=150焉=景 故与150。角终边相同的角的集合为夕夕=+2也，kZ二终边落在图中阴影局部（包括边界）的角的集合为（用弧度制表示）TTTT答案 Q kGZ解析 结合图象，设终边落在阴影局部（包括边界）的角是a,满足条件的角的集合是IT7T a 彳+2E, ZWZ k o4四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式问题3我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？提示 初中我们已学习过，圆心角为废的扇形的弧长公式和面积公式分别为/=嚼,5=需,由弧度与角度的换算关系，我们可以知道a=蒜. i oU【知识梳理】设扇形的半径为R,弧长为/,。（0即2兀）为其圆心角，那么（1）弧长公式：l=aR.（2）扇形的面积公式：SlRaR2.例4扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数.解 设扇形圆心角的弧度数为仇0。2兀），弧长为/cm,半径为Rem,/+27?=10,依题意有， 整理得/?2-5/?+4=0,解得 R = l, /?2=4.当 R=1 时，/=8,此时，<9=8(rad)>2;irad,舍去.当 R=4 时，1=2,此时，6>=(rad).综上可知，扇形圆心角的弧度数为J rad.延伸探究一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大 值是多少？解 设扇形圆心角的弧度数为仇0。2兀），弧长为/,半径为心面积为S,那么/+2r=4,所以/=42(皆忑厂<2 所以 S=1/-r=1x(4-2r)Xr=r2+2r=(r1)2+1,所以当r=1时，S最大，且Smax=l, I 4-2X1因此，。=；= J=2(rad).反思感悟扇形的弧长和面积的求解策略土产，弧长公式：/=城(其中/是扇形的弧长，R是扇形的半土产，弧长公式：/=城(其中/是扇形的弧长，R是扇形的半记公式：面积公式:S=1 径，。是扇形圆心角的弧度数，0<a<2兀).(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中 哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求 解.跟踪训练4扇形的半径为10 cm,圆心角为60。，求扇形的弧长和面积.ir解扇形的圆心角cc=60°=t,半径 r= 10 cm,7T1 OtT那么弧长 /=a-r=TX 10=-(cm),面积10=r(cm2).乙 乙 JJ课堂小结-1 .知识清单：(1)弧度制的概念.(2)弧度制与角度制的相互转化.(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.(4)扇形的弧长与面积的计算.2 .方法归纳：由特殊到一般、数学运算.3 .常见误区：弧度与角度混用.1.(多项选择)以下说法中，正确的选项是()A.半圆所对的圆心角是兀radB.周角的大小等于2兀C. 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案ABC 解析根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A, B, C均正确，D错误.2 .假设a=2rad,那么。的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案c3 .时针经过一小时，转过了（）7112rad7C7T71A% rad B.一不 rad C.五 rad D.答案B解析时针经过一小时，转过一30。,7130°=t rad. o4.周长为9,圆心角为1 rad的扇形的面积为9-2 案 答9-2 案 答解析 设扇形的半径为弧长为/,解析 设扇形的半径为弧长为/,由题意可知，由题意可知，2r+Z=9, l=r.所以r=3,1=3,1 Q所以 S=y/r=y.课时对点练;基础巩固.以下命题中，假命题是（）A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位1。的角是周角的焉，1 rad的角是周角的C.Irad的角比1。的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关答案D解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题.1 .角等的终边所在的象限是（） 1乙B.第二象限D.第四象限B.第二象限D.第四象限A.第一象限 C.第三象限 答案A解析 等=2兀+吉 春是第一象限角，故等是第一象限角. JL乙JL乙 JL乙L乙2 .集合卜壬让Z1中角所表示的范围（阴影局部）是（）答案C解析 当女为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x的左上局部（包含边界）；当k 为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下局部（包含边界）.3 .将一1 485。化成 o+2E（0Wgv2ti, %£Z）的形式是（）兀 cc 7兀 ca. 一8 兀B.q-8 兀兀/兀C， 1 OtiD彳一 10 兀答案D77r解析 一1 485。=一5乂360。+ 315。，化为 a+2E（0Wav2m %£Z）的形式为彳一 10兀.在单位圆中，200。的圆心角所对的弧长为（）A 7兀 c 10/-A.T77 B.- C. 9兀 D. 10兀1UJ7答案B711071解析 l=aR200 X 1 X 1 = o . 1 OUy5 .（多项选择）以下表示中正确的选项是（）A.终边在x轴上的角的集合是a|a=E, kGZ）8 .终边在第二象限的角的集合为卜3+2也61兀+2而，kGZ jC.终边在坐标轴上的角的集合是a| a号，kGZ |71D.终边在直线产元上的角的集合是卜仁=/2%兀，攵£Z，答案ABC解析A, B显然正确；对于C,终边在x轴上的角的集合为a|a = E, k£Z,终边在y轴上的角的集合为k兀a a=, Z£Z 故 C 正确;7F,a 口=2+攵兀，kZ p其并集为,对于D,终边在y=x上的角的集合为“a a=f+2E, Z£Z，或a a=+2E, kRZ ;其 XX 、Tl并集为q=w+E，keZ ;故D不正确. X.如图，扇形A03的面积是1,它的弧长是2,那么扇形的圆心角a的弧度数为.答案2解析 .： S=RR= 1,又 1=2,：.R=l9.亲爱的考生，本场考试需要2个小时，那么在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为宏案一匹u木 3271解析由题意知喘义2兀=与，因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为一生 一）9.角 0=1 200°.将a改写成4+2而/£2,04於2兀）的形式，并指出a是第儿象限角；（2）在区间4兀，0上找出与角。终边相同的角.jr 20ti2 71解 （1）因为 a= 1 200°= 1 200X77;=-=3 义2兀+可， 1 OU J32兀 所以角。与甘的终边相同， r兀2兀 又2百兀，所以角。是第二象限角.27r（2）因为与角a终边相同的角（含角a在内）为2女兀+亍，kZ, 所以由一4兀W2E+£W0,得一qW攵Wq.因为左£Z,所以=2或攵=一1.当攵=2时，2X( 2)兀+专=一当攵=1时，2X(1)兀+存=等，故在区间4兀，0上与角a终边相同的角是一号，-y.10.某企业欲做一个介绍企业开展史的铭牌，铭牌的截面形状是如下图的扇形环面(由扇形 OAO挖去扇形05c后构成的).。4= 10 m, 6>B=x(0<x< 10),线段氏4, CD,与弧BC, 弧AD的长度之和为30 m,设圆心角为。弧度.求。关于的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.解(1)根据题意，可算得BC=/(m),AD = 108(m).因为 AB+CD+ BC + AD =30,所以 2(10x) + 6x+109=30,2x+ 10所以 e=x+0(oxvio).乙19 9 1 2(x+5)(102x2).(2)根据通思，可知 y=S 扇形ao。一S 扇形80c=。(102X2)=*.+1。=(x+5)(10x)=x2+5x+50= _'_券+|'5225当 x=1(m)时，max=_(m2).综上所述，当m时铭牌的截面面积最大，且最大面积为拳 m2. ，-In综合运用11.如下图的复古时钟显示的时刻为10： 10,将时针与分针视为两条线段，那么该时刻的时针与分针所夹的钝角为()型Htl氏3618_ 7兀DT2