二次函数的图像和性质总结.pdf

二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质1.1.二次函数的图像与性质：二次函数的图像与性质：解析式解析式a a 的取值的取值开口方向开口方向函数值的增减函数值的增减开口向上；开口向上；当 a 0时；顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴图像与图像与 y y 轴轴的交点的交点！y ax22在对称轴的左侧在对称轴的左侧 y y 随随 x x 的的增大而减小，在对称轴的增大而减小，在对称轴的右侧右侧 y y 随随 x x 的增大而增的增大而增/（0，0）x0（0，0）y ax k（0，c）x0（0，k）y a(x h)22大。大。（h，0）2（0，ah）xhy a(xh)k 当 a 0时；开开口口向向下；在对称轴的左侧下；在对称轴的左侧 y y 随随x x 的增大而增大，在对称的增大而增大，在对称2（0，ah k）（h，k）xhyax bxc22b4acb轴的右侧轴的右侧 y y 随随 x x 的增大而的增大而（,)b2a4ax（0，c）2a减小。减小。2.2.抛物线的平移法则：抛物线的平移法则：2y ax（1 1）抛物线）抛物线y ax k的图像是由抛物线的图像是由抛物线的图像平移的图像平移k个单位而得到个单位而得到2的。当的。当k 0时向上平移；当时向上平移；当k 0时向下平移。时向下平移。（2 2）（3 3）2抛物线抛物线y a(xh)的图像是由抛物线的图像是由抛物线y ax的图像平移的图像平移h个单位而得到的。个单位而得到的。当当2h 0时向左平移；当时向左平移；当h 0时向右平移。时向右平移。2（4 4）抛物线的）抛物线的y a(x h)k图像是由抛物线图像是由抛物线y ax的图像上下平移的图像上下平移k个单个单2位，位，左右平移左右平移h个单位而得到的。个单位而得到的。当当k 0时向上平移；时向上平移；当当k 0时向下平移；时向下平移；当当h 0时向左平移；当时向左平移；当h 0时向右平移。时向右平移。3.3.二次函数的最值公式：二次函数的最值公式：2y ax bxc的二次函数。的二次函数。当 a 0时，图像有最低点，函数有最小值，图像有最低点，函数有最小值形如形如y最小值4acb24a；当 a 0时，图像有最高点，函数有最大值，图像有最高点，函数有最大值，y最大值4acb24a；2y ax bxc与与 y y 轴的交点坐标是（轴的交点坐标是（0 0，c c）4.4.抛物线抛物线5.5.抛物线的开口大小是由抛物线的开口大小是由a决定的，决定的，a越大开口越小。越大开口越小。2y ax bxc的最值问题：的最值问题：6.6.二次函数二次函数（1 1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。（2 2）自变量的取值范围不是一切实数：）自变量的取值范围不是一切实数：自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴比较，再进行求最值。比较，再进行求最值。6.6.二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与一元二次方程的关系：x b2 a,把他与取值范围相把他与取值范围相22y ax bxcax bxc 0的两根。的两根。(1)(1)抛物线抛物线与与 x x 轴的交点坐标的横坐标方程轴的交点坐标的横坐标方程(2)(2)抛物线与抛物线与 x x 轴的交点个数是由轴的交点个数是由 b2 4ac决定的：决定的：当当 0时抛物线与时抛物线与 x x 轴有两个交点；当轴有两个交点；当 0抛物线与抛物线与 x x 轴有一个交点；当轴有一个交点；当 0时抛物线与时抛物线与 x x 轴没有点。轴没有点。0时抛物线与时抛物线与 x x 轴有交点。轴有交点。（此定理的逆定理也成（此定理的逆定理也成立。立。）7.7.二次函数的三种常用形式：二次函数的三种常用形式：2y ax bxc（1 1）一般式：）一般式：y a(xh)k（2 2）顶点式：）顶点式：2（3 3）两根式：）两根式：y a(xx1)(xx2)8.8.一元二次方程的解法：一元二次方程的解法：（1 1）直接开平方法；）直接开平方法；（2 2）配方法；）配方法；（3 3）公式法；）公式法；（4 4）因式分解法；）因式分解法；（5 5）图像法）图像法。