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一维非稳态导热问题的数值解 Prepared on 22 November 2020 计算传热学程序报告 题目：一维非稳态导热问题的数值解 姓名：学号：学院：能源与动力工程学院 专业：工程热物理 日期：2014年5月25日 一维非稳态导热问题数值解 求解下列热传导问题：1.方程离散化 对方程进行控制体积分得到：非稳态项：选取 T随 x 阶梯式变化，有 扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有 进一步取 T随 x 呈分段线性变化，有 ePEexTTxT)()(，wWPwxTTxT)()(整理可以得到总的离散方程为：2.计算空间和时间步长 取空间步长为：h=L/N 网格 Fourier数为：220 xtxtF（小于时稳定）时间步长为：3.建立温度矩阵与边界条件 T=ones(N+1,M+1)T(:,1)=Ti(初始条件温度都为 0）T(1,:)=To(边界条件 x=0 处温度为 1）T(N+1,:)=Te(边界条件 x=L处温度为 0）4.差分法求解温度 由离散方程可得到：转化为相应的温度矩阵形式：5.输入界面 考虑到方程的变量，采用 inputdlg 函数设置 5 个输入变量，对这 5 个变量设置了默认值，如图 1 所示。在计算中可以改变不同的数值，得到不同的结果，特别注意稳定条件的临界值是。根据设置的默认值，得到的计算结果如图 2 所示。图 1matlab变量输入界面 图 2 默认值的计算结果 6.结果分析 根据上面的分析，给出了程序的输入界面，以及默认值状态下的数值解。可以通过改变不同的输入值，得到需要的分析结果，总结出了下面 4点结论：（1）取 F0=，得到一维非稳态导热结果如下图所示 图 2F0=时一维非稳态导热 从图中可以看出，对于长度 L=1 的细杆，初始时刻 t=0 时温度为 0，边界条件 x=0 时，T=1,边界条件 x=1 时，T=0。随着时间的增加，温度从 x=0 通过导热的形式传递到 x=1，不同时刻不同位置杆的温度都不同，并且随着时间的增加，杆的温度也逐渐增加。（2）取 F0=，可以得到不同位置的温度响应曲线，如下图所示 图 3F0=时不同 x 位置处的温度响应 图中红色曲线代表 x=位置的温度瞬态响应，黑色曲线代表 x=位置的温度瞬态响应，蓝色曲线代表 x=位置的温度瞬态响应。从图中可以看出，随着x 的增加，曲线与 x 轴的交点值越大，温度开始传递到该位置的所需的时间越长。随着 x 的增加，温度响应曲线的变化速率越慢，最终的达到的温度也越低。（3）取 F0=，得到不同位置的温度响应曲线如下图所示 图 4F0=时不同 x 位置处的温度响应 图中三条曲线分别是 x=，x=，x=位置的温度瞬态响应。与图 3 的 F0=进行对比，两种情况下的 F0值不同，F0值越大表明热扩散系数的值越大。从图中可以看出热扩散系数对于导热的影响，F0=时，与 F0=相比较，各位置开始响应时所需的时间较长，而且各位置响应曲线的变化速率较小，最终的达到的温度也较低，说明了热扩散系数越小，热传导越慢，传递效率越低。（4）取 F0=，得到非稳定的数值解如图所示 图 5F0=时一维非稳态导热 图 6F0=时不同 x 位置处的温度响应 从图中可以看出，对于显示格式的离散方程，并不是所有的 F0值都能得到有意义的解，必须要求 F0时，会出现物理上不真实的解。附件：（matlab 程序）functionheat_conduction()%一维齐次热传导方程%设置输入界面 options=空间杆长 L,空间点数 N,时间点数 M,扩散系数 a,稳定条件的值Fo(临界值,;topic=一维非稳态导热;%标题栏显示 lines=1;%输入行为 1 行 def=1,100,1000,1,;%默认值输入 f=inputdlg(options,topic,lines,def);%输入框设置 L=eval(f1);%设置输入值 N=eval(f2);M=eval(f3);a=eval(f4);Fo=eval(f5);%Fo 的值必须小于，小于波动%计算空间步长与时间步长 h=L/N;%空间步长 x1=0:h:L;x=x1;n=Fo*h2/a;%时间步长 tm=n*M;%传导总时间 t1=0:n:tm;t=t1;%计算初始条件与边界条件 Ti=x.*0;%初始条件 To=1+t.*0;%x=0的边界条件 Te=t.*0;%x=L的边界条件%建立温度矩阵 T T=ones(N+1,M+1);T(:,1)=Ti;%第一列为初始条件 T(1,:)=To;%第一行为 x=0 边界条件 T(N+1,:)=Te;%最后一行为 x=L边界条件%利用差分法求解温度矩阵T fork=1:M m=2;whilem=N;T(m,k+1)=Fo*(T(m+1,k)+T(m-1,k)-2*T(m,k)+T(m,k);m=m+1;end end%将时间空间的一维坐标转化为二维坐标 Y,X=meshgrid(t1,x);%根据温度矩阵 T绘图 subplot(2,2,1);mesh(X,Y,T);%三维图绘制 view(1,-1,1);%调整视图角度 title(非稳态导热);%图像名称 xlabel(长度 x);%x 轴名称 ylabel(时间 t);%y轴名称 zlabel(温度 T);%z 轴名称 subplot(2,2,2);A=T(11,:);%取矩阵第 11 列的值 plot(A,r);%二维曲线绘制 legend(A=);%显示函数名称 title(x=瞬态响应);xlabel(时间 t);ylabel(温度 T);axis(0100001);%坐标轴数值范围 subplot(2,2,3);B=T(21,:);%取矩阵第 21 列 plot(B,k);legend(B=);title(x=瞬态响应);xlabel(时间 t);ylabel(温度 T);axis(0100001);subplot(2,2,4);C=T(41,:);%取矩阵第 41 列 plot(A,r);holdon;%多条曲线绘制 plot(B,k);plot(C);holdoff;title(瞬态响应);xlabel(时间 t);ylabel(温度 T);axis(0100001);legend(A=,B=,C=);