概率论与数理统计-4.2方差与标准差课件.ppt

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.方差与标准差方差与标准差 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心 由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易容易看到看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.由数学期望的性质，可导出计算方差的另一个公式由数学期望的性质，可导出计算方差的另一个公式：1、对于离散型随机变量、对于离散型随机变量X，若有分布律，若有分布律p(xi)，则，则2、对于连续型随机变量、对于连续型随机变量X，若有分布密度，若有分布密度f(x)，则，则由方差的定义，有由方差的定义，有方差的计算步骤方差的计算步骤Step 1:计算期望计算期望 E(X)Step 2:计算计算 E(X2)Step 3:计算计算 Var(X)离散型离散型 连续型连续型 离散型离散型 连续型连续型 于是于是例例 设随机变量设随机变量X X服从服从 a，b 上的均匀分布，上的均匀分布，求求Var(X)Var(X)。解：解：均匀分布的方差例例解：解：正态分布的方差例例 设随机变量设随机变量X X服从服从参数为参数为的的指数分布，求指数分布，求Var(X)Var(X)。解：解：指数分布的方差方差的性质方差的性质证明：证明：（1）Var(c)=0 (c是常数是常数)（2）证明证明:（4）证明证明:性质性质4可以推广到如下情形可以推广到如下情形:在在n次重复独立试验中，每次成功的概率为次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设。设i 表示第表示第i次试验成功的次数，则次试验成功的次数，则i服从参数为服从参数为p的（的（01）分布。求）分布。求1+2+n 的方差。的方差。例例解：解：分布名称分布名称数学期望数学期望方差方差二项分布二项分布B(n,p)npnpq几何分布几何分布g(k;p)泊松分布泊松分布P()正态分布正态分布N(,2)2均匀分布均匀分布Ua,b指数分布指数分布(参数为参数为)期望和方差主要内容小结期望和方差主要内容小结方差的性质方差的性质 1.设设C 是常数是常数,则则 Var(C)=0;2.若若 C 是常数是常数,则则 Var(CX)=C2 Var(X);3.设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)4.Var(X)=0 PX=C=1,这里这里C=E(X)随机变量的矩随机变量的矩定义定义设设X X为随机变量，为随机变量，c c为常数，为常数，k k为正整数，则为正整数，则n1)E(X1)E(Xc)c)k k 称为称为X X关于关于c c点的点的k k阶矩。阶矩。n2 2）当）当c c0 0时时,a,ak k=E(X=E(Xk k)称为称为X X的的k k阶原点矩阶原点矩;n3 3）当）当c=E(X)c=E(X)时时,k k=E(X=E(XEX)EX)k k 称为称为X X的的k k阶阶中心矩。中心矩。显然：显然：E(X)是一阶原点矩是一阶原点矩,Var(X)是是2阶中心矩。阶中心矩。偏度系数偏度系数(3)偏度系数用于衡量偏度系数用于衡量的分布与正态分布的偏离的分布与正态分布的偏离程度。如偏度系数显著异于零，说明程度。如偏度系数显著异于零，说明的分布与正的分布与正态分布有较大的偏离程度。若偏度系数大于零，右态分布有较大的偏离程度。若偏度系数大于零，右偏；若偏度系数小于零，左偏偏；若偏度系数小于零，左偏.注注:(1)若若X的分布关于的分布关于EX对称，则对称，则3阶中心矩为阶中心矩为0，从而偏度为，从而偏度为0。(2)正态分布的偏度为正态分布的偏度为0。峰度系数峰度系数(3)峰度系数峰度系数用于衡量用于衡量的分布密度在均值附近的分布密度在均值附近的陡峭程度的陡峭程度。的取值比较集中于的取值比较集中于EX附近，附近，则则峰度较小，峰度较小，的密度曲线在均值附近较的密度曲线在均值附近较平坦平坦。反之则反之则峰度较大，较峰度较大，较陡峭陡峭。大于。大于3比正态分布比正态分布更更陡峭陡峭,反之平坦于正态分布反之平坦于正态分布.注：注：(1)正态分布的峰度系数为正态分布的峰度系数为3。(2)若一个随机变量的若一个随机变量的峰度系数大于峰度系数大于3，则称，则称为尖峰的。为尖峰的。例例解解