现代电力系统分析电力网络计算中的稀疏技术.ppt

01020304电力网络的稀疏性稀疏存储技术稀疏矩阵的因子表分解稀疏线性方程组的求解05稀疏向量法稀疏矩阵稀疏矩阵：在一个矩阵中，零元素比非零元素多稀疏度：对m*n阶矩阵A，其中有个非零元素，则可定义线性方程组的求解主要涉及大量的四则运算，而零元素的增加大大加速了计算的速度、因此稀疏度越小越好因此、稀疏计算亦可称作“排零”计算所谓稀疏技术就是充分利用电力网络方程组的稀疏特性、尽量减少不必要的计算以提高求解的效率。电力网络的稀疏性以求解节点电流-电压线性方程为例：非线性的潮流方程本质相同，且也需在迭代过程中求解线性方程系数矩阵为节点导纳矩阵对角元：与相应节点相连的所有支路导纳之和，称自导纳非对角元：与相应行列对应的节点间所有支路导纳之和的相反数，称互导纳节点导纳矩阵为对称矩阵只有电力网络中存在支路，相应非对角元才不为0电力网络的稀疏性设有1000条母线的电力系统，母线出线度平均为10，其稀疏度为实际电网仅有非常少量的枢纽变电站存在出线度为10左右的母线大量母线出线度仅为12发电机机端母线终端负荷母线联络母线算法是否采用排零操作可影响计算速度几十上百倍稀疏存储技术核心：不存储零元素仅保留非零元素在原矩阵中的数值及位置信息应在必要时轻易恢复成满阵存储格式当前计算机硬件速度和容量已发生了翻天覆地的变化，还要考虑稀疏存储吗？需要分析的电力系统规模也显著扩大要求计算的速度也更快（如在线分析）节省计算机内存占有量尽量减少检索矩阵元素所耗时间散居存储1 11 11 12 22 22 23 34 44 44 4a a1111a a1212a a1414a a2121a a2222a a2323a a3333a a4242a a4343a a44441 12 24 41 12 23 33 32 23 34 4原矩阵中有个非零元素，则需3个存储空间本例中=10，需30个存储空间，原矩阵只需16个存储空间按行（列）存储a a1111a a1212a a1414a a2121a a2222a a2323a a3333a a4242a a4343a a44441 14 47 78 81 12 24 41 12 23 33 32 23 34 4原矩阵中每行第一个非零元素在列索引数组中的位置三角检索存储存储任一方阵B均可分解成B=LDU的形式L单位下三角矩阵D对角线矩阵U单位上三角矩阵可用同样阶数方阵同时存储三个矩阵的信息，如上面矩阵A可表示a a1212a a1414a a23231 13 34 44 42 24 43 3三个数组存储L（按列）：1 12 23 34 42 24 44 4a a2121a a4242a a4343一个数组存储D：三个数组存储U（按行）：a a1111a a2222a a3333a a4444稀疏矩阵的因子表分解矩阵化为上三角矩阵的初等变换过程等价的矩阵计算因子表为L、D、U的一个组合；当我们把一个矩阵进行LDU分解以后，变可以得到因子表；对于同一个系数矩阵因子表是相同的。矩阵化为上三角矩阵的初等变换过程（假设在求解YV=I）可表示为变换过程等效于左乘初等变换其中同理第二列有：其中最后故可证明L为下三角矩阵，此处略此过程称为因子表分解因子表分解的过程即为高斯消去的过程因子表的分解：对节点进行规格化运算，对节点消去运算规格化：对角元素化为1消去运算：使对角线下的元素为0在这个过程中可能会新增非零元素42312-1-1-12-1-12-1-1-14-1-1-1-122244231-0.5-1-0.5-121.523.5新增非零元-0.5节点1的计算规格化计算节点2的计算规格化计算消去计算4231-0.5-0.667-0.5-1.33321.51.3333.333-0.333规格化计算消去计算节点4为最后一个节点，不需计算4231-0.5-0.667-0.5-121.51.3332-0.333节点3的计算因子表的分解结果4231-0.5-0.667-0.5-121.51.3332-0.333只对图中的节点和边进行操作，故为稀疏技术对更大规模的网络道理相同利用因子表求解线性方程组前代计算规格化计算回代计算前代计算规格化运算回代运算回代运算稀疏稀疏向量法向量法之前讨论的内容已被用于解决几乎所有大型电力网络的问题。以下将介绍可进一步提高计算速度的稀疏向量法。稀疏向量法主要用来解决线性方程组的右端向量仅有少量非零元素，或者我们只对待求向量中个别元素感兴趣的情况。稀疏向量法很简单，但是节省的计算量和内存量却非常可观、可以避免所有不必要的计算。继续以求解YV=I为例分析核心思想：如果向量I是稀疏的，则在消去的过程中只用L中的某几列元素，称之为快速消去过程。如果只需求向量V的几个元素，则在回代的过程中只用U中的某几行元素，称之为快速回代过程。LX=IDW=XUV=W消去过程可表示为W=D-1L-1I回代过程表示为V=U-1W举例说明求解线性方程组因子表分解为因子表分解为在消去的过程中 第一列消去过程因为所以都不需要参与运算，从而减少了运算回代举例针对上个例子得到了常数项向量0 1 0 1/5当我们只关注V3，因为U矩阵u23,u13均为0，所以V3只跟第第三行有关第四行有关。因此减少了计算量总结（1）首先要知道如何进行LDU分解？方法是：化上三角（节点的规格化和消去）；（2）因子表的重要性当方程组需要多次求解、每次仅改变其常数项B时，系数矩阵A不变，为提高效率可用因子表求解。（3）稀疏技术的精髓中心思想：排零计算，因为跟零进行加和乘的运算可以省略（4）理解稀疏向量法针对的是：右端有少量的非零元素；关键在于找到FF和FB所需要进行运算的L和U的有效子集；