最新常系数齐次线性微分方程62390PPT课件.ppt

常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程62390623902目录 上页 下页 返回 结束 二阶线性微分方程：二阶线性微分方程：函数系数函数系数 求解较难求解较难二阶二阶常系数常系数线性微分方程线性微分方程：二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性微分方程线性微分方程：非齐次非齐次3目录 上页 下页 返回 结束 4目录 上页 下页 返回 结束 5目录 上页 下页 返回 结束 6目录 上页 下页 返回 结束 7目录 上页 下页 返回 结束 8目录 上页 下页 返回 结束 9目录 上页 下页 返回 结束 积分：积分：取取 得方程的另一个解：得方程的另一个解：线性无关线性无关 通解：通解：10目录 上页 下页 返回 结束 设解设解 y=erx 得两个解：得两个解：它们线性无关，但为复数解，需要改造成实数解。它们线性无关，但为复数解，需要改造成实数解。一对共轭复根：一对共轭复根：Euler公式：公式：334页页11目录 上页 下页 返回 结束 Euler公式：公式：334页页它们是原方程的两个线性无关的实解它们是原方程的两个线性无关的实解12目录 上页 下页 返回 结束 原方程的通解：原方程的通解：13目录 上页 下页 返回 结束 特征根特征根 通解通解 表表表表1 114目录 上页 下页 返回 结束 求二阶常系数齐次线性方程的通解的步骤求二阶常系数齐次线性方程的通解的步骤(1)写出齐次线性方程的特征方程：写出齐次线性方程的特征方程：(2)求出特征方程的特征根：求出特征方程的特征根：r1,r2(3)根据特征根的情况，按根据特征根的情况，按 表表1 写出方程的通解写出方程的通解 15目录 上页 下页 返回 结束 例例1 求通解：求通解：解解特征方程：特征方程：因式分解：因式分解：特征根：特征根：它们是不等实根它们是不等实根方程的通解：方程的通解：16目录 上页 下页 返回 结束 例例 2 求特解：求特解：解解特征方程：特征方程：因式分解：因式分解：特征根：特征根：它们是二重根它们是二重根方程的通解：方程的通解：初始位置初始位置 初始速度初始速度求导：求导：得得特解特解运动运动方程方程17目录 上页 下页 返回 结束 例例3 求通解：求通解：解解特征方程：特征方程：配方：配方：特征根：特征根：它们是一对共轭复根它们是一对共轭复根方程的通解：方程的通解：18目录 上页 下页 返回 结束 例例4 设设是二阶常系数齐次微分方程是二阶常系数齐次微分方程的两个解，则该微分方程为的两个解，则该微分方程为 .解解由于由于线性无关，线性无关，则该微分方程有通解则该微分方程有通解因此该微分方程有二重特征根：因此该微分方程有二重特征根：所以该微分方程的特征方程为：所以该微分方程的特征方程为：从而微分方程为从而微分方程为19目录 上页 下页 返回 结束 回忆以上的方法回忆以上的方法一个单实根一个单实根 r一个解一个解一个二重根一个二重根 r两个解两个解一对共轭复根一对共轭复根两个解两个解20目录 上页 下页 返回 结束 以上结论推广到高阶常系数齐次线性方程以上结论推广到高阶常系数齐次线性方程特征方程：特征方程：特征根：特征根：n个，重根按重数计个，重根按重数计一个单实根一个单实根 r一个解一个解一个一个k重根重根 rk个解个解一对共轭单复根一对共轭单复根两个解两个解一对共轭一对共轭k重复根重复根2k个解，个解，21目录 上页 下页 返回 结束 例例5 求通解：求通解：解：解：特征方程为特征方程为 因式分解：因式分解：特征根：特征根：方程的基础解系方程的基础解系 通解；通解；22目录 上页 下页 返回 结束 例例6为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为23目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.24目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求方程的通解.答案答案:通解为通解为通解为作业作业 P340 1(偶数);2(奇数);第八节 25目录 上页 下页 返回 结束 解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为练习练习126目录 上页 下页 返回 结束 解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为练习练习2