黎曼积分的介值性推广及应用.doc

介值性定理的推广及其应用董家亮（西北师范大学数学与信息科学学院， 甘肃 兰州）摘要 连续函数闭区间上满足介值性定理,在弱化该定理的条件下，进而利用介值性和可积性，得到一元函数函数和二元函数的相关推论，并对介值性在代数学方向推广，证明介值性定理的正确性及其广泛的应用.关键词 介值性; 可积 ;积分中值定理 ; 连续; 二次型介值性定理是连续函数中的重要内容，根的存在定理作为它的推广，证明了连续函数在一定条件下根的确存在，这给解方程、判断函数的其他性质提供了依据. 连续可积函数满足积分第一中值定理和第二中值定理，把介值性定理和积分中值定理结合起来，就可对介值性定理在黎曼积分条件下进行推广.利用介值性这一性质，得到了第一类不连续点函数积分中值定理的推广形式和二次型的介值性.一、一元函数的积分的介值性定理及推论1 定义及引理定义11（介值性）设C为介于f(a) 与f(b)之间的任一实数，若存在（a, b）使得f()=C,则称f(a) 在a, b上具有介值性.例1 证明函数f(x)= 在-1,1上具有介值性.证明：因为f(x)在-1,1上不连续，当x-1,0 ）时，-1 f(x)<2;当x0 ,1 时，1 f(x) e;所以对任意常数C(-1,e),总存在（-1,1），使得f()= C. 因此f(x)在-1,1上具有介值性.引理 12（介值性定理）设函数f(x)在闭区间a ,b上连续，且f(a)f(b),若u介于f(a)与 f(b) 之间的任何实数（f(a)<u< f(b)）或f(b) <u< f(a)，则至少存在一点x0使得f(x0)= u.引理 22 (根的存在定理) 若函数在区间 a ,b上连续，且f(a). f(b)<0，则一定存在（a,b）,使得f()=0.证明：不失一般性，设f(a)<0, f(b)>0,定义集合A=x | f(x)<0， xa，b 则 A是有界的，也是非空的，这样A必有一上确界 =sup V.然后先要证明 (a,b)，由函数的连续性的定义及f(a)<0，使得f (x)<0,再由f(b)>0，使得f (x)>0,由此可知 ,即.取xnV,（n = 1,2.）.可得xn.因f (xn)<0,可以得到f() = ,若f()<0,由f(x)在点的连续性，,有f(x)<0，这与sup引理3 3（积分第一中值定理）若f(x)在a,b上连续，则至少存在一点a,b,使得.例2 设f(x)在a,b上连续，且f(x)恒不等于零，证明证明：因为f(x)在a,b上不等于0，不妨设f(x)>0,由于f(x)在a , b上连续，所以f(x)2 在a,b上也连续.根据积分第一中值定理所以2 推论推论4设f ( x ) 是定义于a,b的单调增加 ( 减少) 函数,则f ( x ) 在a,b上续的充分必要条件是f ( x )在a,b上具有介值性.证明:必要性显然成立.下面用反证法证明充分性.假设f ( x )在a,b上不连续,x 0 a,b是其间断点,则由于f ( x ) 是单调增加函数,故点x 0是f ( x ) 的第一类间断点,即有 从而,介于之间的中介值,除f ( x 0 ) 之外都不能被f ( x )取到,即f ( x )的介值性不成立,这与命题假设不符,所以f ( x ) 在a,b上一定连续.推论2.证明：因为f(x)在a,x1上连续且可积，由积分第一中值定理得即所以.由f(x)的连续性可得 .推论35 设f(x)在a,b上可积且有介值性,g(x)在a,b上可积,且在a,b上g(x)0(或g(x)0)，则存在(a,b),使得证明:由于连续函数可积,可积函数的乘积仍可积，所以f(x)·g(x)在a,b上可积.不妨假设在a,b上， g(x)0.又f(x)在a,b上连续,故在a,b上有界，设m、M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值,则当xa,b时,mf(x)M ,所以m·g(x)f(x)g(x)M·g(x). 又,所以 现对此分情况进行讨论:(1)如果 或者 m = M,则在(a,b)内任取一点即可.(2)如果 >0 并且 m < M.在此情形下,若m < < M .则根据f(x)在a,b上的连续性和介值性可知,存在(a,b),使得 f() = ,即有 = f()， 而若m =< M ,那么 f(x)- m g(x)dx =0 .因为xa,b时， 有f(x)-m0且g(x) 0 ，所以f(x)-mg(x) =0,又因为 >0,故存在(a,b),使得g() >0 ,那么f() = m ,则有= m=f() .同理可证，当m<=M时，结论成立.推论46若f(x)在闭区间a,b上有n阶导数，且fn(x)在a,b上可积函数g( x，y) 在上可积且不变号，则在（a,b)内至少存在一点，使得.二、二元函数的积分的介值性及推论1 定义及引理定义27（二元函数的介值性） 函数f( x，y)在有界闭区域 D上介值性是指: 若f( x1，y1)f( x2，y2) ，且( x1，y1)、 ( x2，y2)D,则 对 于 介 于f( x1，y1)和f( x2，y2)之间的数k，存在介于( x1，y1) ( x2，y2)之间的点( ) 使得f( )=k .引理 43设 函 数f( x，y) 在 有 界 闭 区 域D 上 可 积，且>0，则至少存在的一个子区域 D，使得f(x ,y)>0在D上成立.引理57 若函数f( x，y)在有界闭区域D 上可积，且具有介值性，函数g( x，y) 在上可积且不变号，则存在一点( ，)D，使得=f( ，).2 推论推论5 若函数f( x，y)在有界闭区域D 上可积，且具有介值性，则存在一点( ，)，使得=f()S(D). 其中S(D)为区域D的面积证明：在引理5中取g（x , y）1,显然得证. 推论6 3 设函数f (x,y) 在有界闭区域 上可积，且f (x, y) 不恒为0，则0证明：由已知，存在0(,)i(其中1(i，）),有f（x,y） f（x0 ,y0）0，而f（x,y）在在有界闭区域上有 f（x0 ,y0）(i)0其中(i)为i的面积.三、二次型的介值性推论78设f (x1, x 2, x n )=X AX是一实二次型,若存在实n维向量X 1,X 2 使得X 1 AX 1 =C1 ,X 2 AX 2 =C2, C1 C2,若C0 为介于C1 与C2 之间的任意实数,则一定存在实n维向量X 0 ,使得X 0A X 0 = C0.证明：C0 的取值有3种可能C0 =0, C0 >0, C0 <0. (i)若C0 =0,则属于定理1的情形;(ii)若C0 >0,设二次型的秩为r,正惯性指数为p,则0<pr,做非退化线性替X=CY使原二次型化为标准型: . 令 y1 = ,y2= y3 = yn =0,则由X=CY可求得非零向量X 0,使得A X 0 = = C0.(iii)若C0 <0,设二次型的秩为r,正惯性指数为p,则0p<r,做非退化线性替X=CY使原二次型化为标准型: . 令 yp+1 = ,y2= y3 = yp= yp+2= yn =0,则由X=CY可求得非零向量X 0,使得A X 0 =A X = = C0. 证毕. 参考文献1文传军，姚俊. 推广的积分中值定理的再改进J. 高等数学研究，2011，14（1）.2华东师大数学系数学组. 华东师大数学系. 数学分析M.高等教育出版社，2009.3陈纪修，於崇华，金路. 复旦大学数学系.数学分析M.高等教育出版社，2009.4旺吉乐. 浅谈函数的介值性J. 甘肃教育学院学报 ( 自然科学版),2001,15 (1).5 李衍禧.对“关于第一类不连续点函数的介值定理和积分中值定理”一文的注记J.数学的实践与认识,2007, 37(8) : 183-185.6 赵纬经,王贵君. 改进的第一积分中值定理及其应用J.新疆师范大学学报:自然科学版,2007,26(2):110-113.7殷凤，王鹏飞二重积分中值定理的推广J.忻州师范学院学报，2011，(2).8 刘先平. 关于二次型的介值性J. 湖北民族学院学报(自然科学版),2007,25(2).9徐小平，刘才贵. 关于函数乘积连续性的分析J.南通职业大学学报，2003,03. 学 年 论 文题 目： 介值性定理的推广及其应用 学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 孙宜蓉 学生姓名： 董家亮 学 号： 7 联系方式： 指导教师预评评语指导教师职称预评成绩 年 月 日答辩小组评审意见答辩小组评定成绩答辩委员会终评意见答辩委员会终评成绩答辩小组组长（签字）：年 月 日答辩委员会主任（签章）：年 月 日说 明：1. 成绩评定均采用五级分制,即优、良、中、及格、不及格.2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等.