第26讲统计与概率分布.doc

第26讲 统计与概率分布 新课标考试大纲对统计与概率分布的考查要求统计（文，理都要求）（1）随机抽样 理解随机抽样的必要性和重要性. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）总体估计 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释. 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性 会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.概率与统计（1）概率（理科要求） 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题. 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.（2）统计案例（文，理都要求）了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.(1) 独立检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.(2) 假设检验了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用.(3) 聚类分析了解聚类分析的基本思想、方法及其简单应用. (4) 回归分析了解回归的基本思想、方法及其简单应用.主要基础知识1. 离散型随机变量的分布列和数学期望：（1）离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若是一个随机变量，是常数.则也是一个随机变量.一般地，若是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.（2）随机变量的概率分布:设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.有性质； .(3) 随机变量的数学期望:，的数学期望也称作平均数、均值.又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数.(4) 随机变量的数学期望： 当时，即常数的数学期望就是这个常数本身.当时，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和.当时，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.2. 二项分布和数学期望：(1) 二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是：(其中) 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率.(2) 二项分布的期望为： (3)二项分布的判断与应用.二项分布，关键是看某一事件是否是进行次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布和数学期望：（1）几何分布：“”表示在第次独立重复试验时，事件第一次发生的概率分布.如果把次试验时事件发生记为，事件不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.123kP 我们称服从几何分布，并记，其中,其分布列为.（为发生的概率）(2) 几何分布的期望：.5.超几何分布：(1) 超几何分布：一批产品共有件，其中有件次品，任取其中恰有件次品，则事件发生的概率为.其中,(2) 超几何分布的分布列为超几何分布列,其分布为超几何分布6单点分布的期望：其分布列为：. 7两点分布的期望：，其分布列为：（p + q = 1）（1）分布列：（2）期望：8方差、标准差:（1）方差、标准差的定义：当已知随机变量的分布列为时，则称为的方差.显然，故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.(2)方差的性质.随机变量的方差.（a、b均为常数）单点分布： 两点分布： 二项分布：几何分布： (3) 期望与方差的关系.如果和都存在，则设和是互相独立的两个随机变量，则期望与方差的转化： 9.正态分布与正态曲线：(1) 正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为:. 为常数，且），称服从参数为的正态分布，用表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.(2) 正态分布的期望与方差：若，则的期望与方差分别为：.(3)正态曲线的性质.曲线在x轴上方，与x轴不相交.曲线关于直线对称.当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.(4) 标准正态分布：如果随机变量的概率函数为，则称服从标准正态分布. 即有，求出，而的计算则是 .注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. (5) 正态分布与标准正态分布间的关系：若则的分布函数通常用表示，且有. 10.两个变量的线性相关已知两个具有线性相关的变量的一组数据:,设所求的回归方程是,为使把数据代入方程得到的与实际收集到的数据偏差最小,通过求 的最小值,(这种方法叫做最小二乘法),得到求值的公式 .例题选讲1.随机抽样【例1】(2008广东卷,理)某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）一年级二年级三年级女生373男生377370A24B18C16D12解】C依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为332，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为【例2】(2008湖南卷,文)从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：性别人数生活能否自理男女能178278不能2321 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人。【解】60 由上表得【例3】（2005湖北卷，理，文）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样【解】不是系统抽样,可能为分层抽样; 可能为系统抽样,也可能为分层抽样：既非系统抽样也不是分层抽样,综上选(D)2.频率分布直方图，条形图，茎叶图【例1】（2007山东卷，理,文）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可以分析出和分别为（ ）013141516171819秒频率0.020.040.060.180.340.36ABCD【解】A. P(x17)P(17x 19)1(0.06×10.04×1)0.9，即x0.9y(0.340.36)×1×5035人【例2】(2008广东卷,文)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为45，55），55，65），65，75），75，85），85，95），由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在55，75）的人数是 0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.0050455565758595产品数量频率组距【解】13.在55，75）的频率为人数为【例3】(2005江西卷,文)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在在到之间的学生数为，则a, b的值分别为ABCD【解】由图象可知，前组的公比为，最大频率，设后组公差为，则，解得，后组公差为， 所以，视力在到之间的学生数为（人）.选A.29 1 1 5 83 0 2 63 1 0 2 4 7【例4】(2008山东卷,理)右图是根据山东统计年鉴2007中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（ ）A304.6B303.6C302.6D301.6【解】B.【例5】(2008海南,宁夏卷,理,文)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271273280 285285 287292294295301 303 303307308310314319323 325325 328331334337352乙品种：284292295304306307312313 315 315316318 318320322 322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图3 1 277 5 5 0 28 45 4 2 29 2 58 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 88 5 5 3 32 0 2 2 4 7 97 4 1 33 1 3 6 734 32 35 6甲乙根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ； 【解】（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀3.分布列，期望，方差【例1】（2007海南,宁夏卷,理，文）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）【解】B. 甲射击的期望Ex =7×8×9×10×8.5甲射击的标准差 同理可得：，所以【例2】(2008广东卷,理)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【解】（1）的所有可能取值有6，2，1，；，故的分布列为6210.630.250.10.02（2）.（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，即，解得所以三等品率最多为3%【例3】(2008海南,宁夏卷,理) 两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1510P0.80.2 X22812P0.20.50.3（）在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；（）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值（注：）【解】（）由题设可知和的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3， ，（） ，当时，为最小值【例4】(2008天津卷,理)甲,乙两个篮球运动员互不影响地在同一个位置投球,命中率分别为和.且乙投球次均未中的概率为.() 求乙投球的命中率;() 若甲投球次,乙投球次.两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.【解】()解法1.设“甲投球次命中”为事件,“乙投球次命中” 为事件.由题意得,解得(舍去),所以乙投球的命中率为.解法2. 设“甲投球次命中”为事件,“乙投球次命中” 为事件.由题意, 于是因为,所以 故()由题设和()知, 可能的取值为,故 (或)的分布列为 的数学期望为【例5】(2008浙江卷,理)一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是（）若袋中共有10个球，（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望（）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于并指出袋中哪种颜色的球个数最少【解】（）（1）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到故白球有5个（2）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是0123的数学期望 （）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是,所以有，所以，故记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则因为至少得到1个白球的概率是,至少得到1个黑球的概率不大于,所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于故袋中红球个数最少4.二项分布【例1】(2008山东卷,理) 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分（）求随机变量的分布列和数学期望；（）用表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 【解】（）解法1.由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为0123 的数学期望为 解法2.根据题设可知， 因此的分布列为， 因为，所以 （）解法1.用表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以，且互斥，又， 由互斥事件的概率公式得 解法2.用表示“甲队得分”这一事件，用表示“乙队得分”这一事件， 由于事件，为互斥事件， 故有 由题设可知，事件与独立，事件与独立，因此 【例2】(2008全国卷,理)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为（）求一投保人在一年度内出险的概率；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）【解】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则（）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， ，又， 故 （）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和支出 ，盈利 ，盈利的期望为 ， 由知，（元）故每位投保人应交纳的最低保费为15元 【例3】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是（）求小球落入袋中的概率；（）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望【解】（）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，从而；（）显然，随机变量，故，5.正态分布和回归直线【例1】(2008重庆卷,理)已知随机变量（ ） A B C. D【解】D服从正态分布，曲线关于对称，,选 D【例2】（2007湖南卷，理）设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ ）A0.025B0.050C0.950D0.975【解】C. 1(1.96)0.025 (1.96)0.975P(|1.96)(1.96)(1.96)0.9750.0250.95【例3】（2007安徽卷，理）以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（ ）ABCD【解】B. 【例4】（2006湖北卷,理）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.88880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857【解】（）设参赛学生的分数为，因为N(70，100)，由条件知，10.97720.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28，因此，参赛总人数约为526（人）。（）假定设奖的分数线为x分，则0.0951，即，查表得1.31，解得x83.1.故设奖得分数线约为83.1分。【例5】（2007广东卷，文）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据（）请画出上表数据的散点图；（）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：）【解】() 散点图略 ()解法1（不作要求）：设线性回归方程为，则时，取得最小值即，时取得最小值；所以线性回归方程为；解法2.由系数公式可知，所以线性回归方程为；（）时，所以预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低吨标准煤0.5%1%2%水位（米）30 31 32 3348 49 50 51图2【练习题】1.（2007湖南卷，文）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）A48米B49米 C50米 D51米分组频数合计2.（2007湖北卷，理）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是）作为代表据此，估计纤度的期望3.( 2006重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是 ( )(A)20 (B)30 (C)40 （D）504.(2008辽宁卷,理)某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:周销售量234频数205030根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.5.(2008安徽卷,理)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为.（）求的值并写出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率6. (2008湖南卷,理)设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )A.1 B.2 C.3D.4【练习题参考解答】1. C2.（）分组频数频率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合计1001.00样本数据频率/组距1.301.341.381.421.461.501.54（）纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为（）总体数据的期望约为3.根据该图可知，组距=2，得这100名学生中体重在的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.4.（）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3（）的可能值为8,10,12,14,16,且 ， ，的分布列为810121416P0.040.20.370.30.09=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）5. (1)由得,从而的分布列为0123456(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 或 6.B. 解得=2, 所以选B.16