自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章27619.pdf

第二章：控制系统的数学模型 2.1 引言 系统数学模型描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。建模方法实验法（辩识法）机理分析法 本章所讲的模型形式复域：传递函数时域：微分方程 2.2 控制系统时域数学模型 1、线性元部件、系统微分方程的建立（1）L-R-C 网络 CruRidtdiLu ciC u cccuuCRuCL 11cccrR uuuuLLCLC 2 阶线性定常微分方程（2）弹簧阻尼器机械位移系统 分析 A、B 点受力情况 02B0AAAi1xk)xxf()xx(k 由 A1Ai1xk)xx(k 解出012iAxkkxx 代入 B 等式：020012ixk)xxkkxf(02012ixkx)kk1f(xf 得：i1021021xfkxkkxkkf 一阶线性定常微分方程（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：baEiRu克希霍夫 电枢及电势：mebCE楞次 电磁力矩：iCMmm安培 力矩方程：mmmmmMfJ 牛顿 变量关系：mmbaMEiu 消去中间变量有：ammmmukT 传递函数时间函数 CCfRCk CCfRRJTmemmmmemmm（4）X-Y记录仪（不加内电路）ll4p3m2ammmm1aprku :k:k:ukT:uku :u-uu:电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点 amrpuuuul 消去中间变量得：am321m4321mukkkkkkkkkTlll 二阶线性定常微分方程 即：amm321mm4321muTkkkklTkkkkklT1l 2、线性系统特性满足齐次性、可加性 线性系统便于分析研究。在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。非线性元部件微分方程的线性化。例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0处的线性化增量方程 cosEy0 解：在0处线性化展开，只取线性项：0000sinEyy 令 0y-yy 0 得 00sinEy 3、用拉氏变换解微分方程 aulll222 （初条件为 0）s2s2UsL22ss :La2 22sss2sL2 sLLt :L-11l 复习拉普拉斯变换的有关内容 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 js 复函数 yxjFFsF 例：j22ssF （2）复数模、相角 xy2y2xFFarctgsFFFsF （3）复数的共轭 yxjFFsF（4）解析：若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，称 F(s)在 s 点解析。2 拉氏变换定义 dtetftfLsFst0 ：像：像原F(s)t(f 3 几种常见函数的拉氏变换 1.单位阶跃：0 t10 t0t1 s110s1es1dte1t1L0st0st 2.指数函数：0 te0 t0)t(fat as1)10(as1eas1 dtedtee)t(f L0t)as(0tasst0at 3.正弦函数：0t tsin0 t 0)t(f 22220t)js(0t)js(0)tjs()tj-(s-st0tjtj0stss2j2j1 js1js12j1 ejs1ejs12j1 dtee2j1 dteee2j1 dtetsin)t(fL 4 拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质：)s(bF)s(aF)t(bf)t(afL2121 （2）微分定理：0fsFstfL stst00-stst00st0ftedtedf t e f tf t de 0-f 0s f t edt sF sf 0 证明：左右 nn-2n 1nn-1n-2 L fts F ss f 0sf0sf0f0进一步：零初始条件下有：sFstfLnn 例 1：求tL t1t解：1010s1st1LtL 例 2：求tcosL 解：2222ssss1tnsiL1tcos（3）积分定理：0fs1sFs1dttfL1-（证略）零初始条件下有：sFs1dttfL 进一步有：0fs10fs10fs1sFs1dttfLn21n1nnnn 例 3：求 Lt=?解：dtt1t 20ts1ts1s1s1dtt1LtL 例 4：求2tL2 解：tdt2t2 30t222s12ts1s1s1tdtL2tL（4）位移定理 实位移定理：sFe-tfLs 例 5：sF 0 t01 t0 10 t0tf 求 解：)1t(1)t(1)t(f sse1s1es1s1sF 虚位移定理：a-sFtfeLat（证略）例 6：求 ateL:解 as1et1LeL atat 例 7：223ss223t-53s3s5sscos5teL 例 8：)15t(5coseL)35t(coseL2t2t 222s152ss22s15-52s2se5sse （5）终值定理（极限确实存在时）sFslimftflim0st 证明：由微分定理 0fssFdtetfst0 取极限：0fssFlimdtetflim0sst00s 0fssFlim0ff tfdt1tfdtlimetf 0s000sst0右左 有：ssFlimf0s证毕 例 9：bsass1sF 求 f 解：ab1bsass1slimf0s 例 10：0sslimtsinf220st 拉氏变换附加作业 一 已知 f(t),求 F(s)=?1-tT111T1).f(t)1-e F s11sss sTT 22221s0.122).f(t)0.03(1cos2t)F(s)0.03ss2s s2 s15222250.866s2.53).f(t)sin(5t)F(s)e3s5s5 0.4t222s0.4s0.44).f(t)ecos12t F(s)s0.8s144.16s0.412 05).f(t)t1 1 tt 0t s0211t s eF ss 223s2s86).F(s)f?f(0)?f()1,f(0)0s s2s2s4 已知求 二已知 F(s),求 f(t)=?222s5s11).F(s)f(t)1 cost-5sints s1 4t24ts2).F(s)f(t)17ecos(t14)s8s17 ecost4sint t10t32111 9t3).F(s)f(t)ees21s120s1008181 2-2tt23s2s84).F(s)f(t)1-2eecos 3ts s2(24)ss t3t2s221315).F(s)f(t)(t)ee32412s s 1s3 5.拉氏反变换(1)反变换公式：jjstdse).s(Fj21)t(f(2)查表法分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)f(t),)as(s1)s(1.F求例 as1s1a1)as(ss-a)(sa1)s(.F解 ate1a1)t(f 微分方程一般形式：rbrbrbrbCCaCaCm1-m)1-m(1)m(01-n)1-n(1)n()0(:L设初条件为 R(s)bsbsbsb)s(Casasasasm1-m1m1m0n1-n2-n21-n1n)s(A)s(R).s(Basasasas)R(s)bsbsbs(bC(s)n1-n2-n21-n1nm1-m1m1m0)ps()ps)(ps()s(R).s(Bn21 n1iiinn332211 pscpscpscpscpsc)s(C 特征根:pi n1itpitpntp3tp2tp1in321ececececec)t(f 模态:etpi)s(F的一般表达式为：rbrbrbrbCCaCaCm1-m)1-m(1)m(01-n)1-n(1)n(来自：（I）)mn(asasasasbsbsbsb)s(A)s(B)s(Fn1-n2-n21-n1nm1-m1m1m0 其中分母多项式可以分解因式为：)ps()ps)(ps()s(An21 (II)s(Api为的根(特征根)，分两种情形讨论：I：0)s(A无重根时：(依代数定理可以把)s(F表示为：)n1iiinn332211pscpscpscpscpsc)s(F n1itpitpntp3tp2tp1in321ececececec)t(f 即：若ic可以定出来，则可得解：而ic计算公式：)s(F).ps(limcipsii ()ipsi)s(A)s(Bc ()(说明()的原理，推导()例 2：34ss2s)s(F2 求?)t(f 解：3sc1sc3)1)(s(s2s)s(F21 2131213)1)(s(s2s)1s(limc1sIII1 2113233)1)(s(s2s)3s(limc3sIII2 3s211s21)s(F 3tte21e21)t(f 例 3：34ss55ss)s(F22，求?)t(f 解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)3)1)(s(s2s134ss2s3)4s(s)s(F22 3tte21e21)t()t(f 例 4：j1scj-1scj)1j)(s-1(s3s22ss3s)s(F212 解法一：2jj2j)1j)(s-1(s3s)j-1s(limcj1s1 2jj-2j)1j)(s-1(s3s)j1s(limcj-1s2 j)t1(t)j1(e2jj-2e2jj2)t(f jt-jtte)j2(e)j2(e2j1 （tcosj2ee,tsinj2eejtjtjtjt）)2sintcost(ej4sint2coste2j1tt 1)1s(21)1s(1s1)1s(21s1)1s(3s)s(F2222 tte.2sinte.cost)t(f 虚位移定理 解法二：)(sint .2ecost.e)t(f11)(s1211)(s1s11)(s21s11)(s3s)s(Ftt22222222复位移定理 II：0)s(A有重根时：设1p为 m 阶重根，n1ms,s为单根.则)s(F可表示为：nn1m1m111-m11-mm1mp-scp-scp-sc)p-(sc)p-(sc)s(F 其中单根n1mc,c的计算仍由(1)中公式()()来计算.重根项系数的计算公式：(说明原理)s(F.)ps(dsdlim1)!-(m1c )s(F.)ps(dsdlimj!1c(IV)s(F.)ps(dsdlimc)s(F.)ps(limcm1ps1-m1)-(m1m1psj(j)j-mm1ps1-mm1psm1111 V)(ece.ctct)!2m(ct)!1m(c p-scp-scp-sc)p-(sc)p-(scL )s(FL)t(ftpn1miitp122m1-m1mmnn1m1m111-m11-mm1m11i1 例 5 3)(s1)s(s2s)s(F2 求?)t(f 解：3scsc1sc1)(sc)s(F43122 21)31)(1(213)(s1)s(s2s1)(slimc221sIV2 43)3()3)(2()3(lim3)(s1)s(s2s1)(sdsdlimc221221sIV1ssssssss 323)(s1)s(s2ss.limc20s3 1213)(s1)s(s2s3).(slimc2-3s4 3s1.121s1.321s1.431)(s1.21)s(F2 3ttte12132e43te21)t(f 3.用拉氏变换方法解微分方程 例：ullrl222.1(t)(t)u011r(0)0）（初始条件：？求)(1 t 解：s2L(s)22ssL2：2)2ss(s2)s(s22ss2)2ss(s2L(S)222 2221)1(11ss122s2ss1ss 22221)1(11)1(1ss1ss 1L l(t)1cos tcos tttee：12Sin(t45)te1 21cos tcos tttjee，特征根：模态 举例说明拉氏变换的用途之一解线性常微分方程，引出传函概念。如右图电路：初条件：c0cu)0(u 输入 t1.E)t(u0r 依克西霍夫定律：rcccccccu(t)i(t)Ru(t)(*)I(s)C U(s)1 i(t)C u(t)U(s)I(s)CsI(s)Cs CRu(t)u(t)U(s)CRs1s L 变换：rcc0ccc0U(s)CR(sU(s)u)U(s)(*)(CRs1)U(s)CRu crc0c00cc0r11U(s)U(s)CRu (*)CRs1CRs11(s)su0EU(s)11CR .u 11sU(s)CRs1(s)sCRCR c00u11E11sssCRCR crccr(CRs1)U(s)U(s)CR uuu tt-1CRCRc0c0Lu(t)E1eu e另输入响应另状态响应变换：依（）式可见，影响电路响应的因素有三个：rc01:u(t)2:u输入初条件分析系统时，为在统一条件下衡量其性能 输入都用阶跃，初条件影响不考虑 3:系统的结构参数 只有此项决定系统性能 crU(s)1CRs1U(s)零初条件下输入/出拉氏变换之比（不随输入形式而变）2-3 线性定常系统的传递函数上述电路的结论适用于一般情况 一般情况下：线性系统的微分方程：r(t)b(t)rb(t)rb(t)rbC(t)a(t)Ca)t(Ca)t(Cm1-m)1-m(1)m(0n1-n)1-n(1)n(简单讲一下：传递函数的标准形式：I:D(s)为首 1 多项式型：根轨迹增益:K SKT1STKG(s)*II:D(s)为尾 1 多项式型：开环增益:K 1TSKG(s)开环增益的意义：一般情况下：首 1 型：*1n*1n*m1m*1m*-n1m1*nasassbsbsK)ps()ps(s)zs()zs(KG(s)llllll(1)尾 1 型：1sasas1sbsb)1sT()1sT(s)1s()1s(KG(s)1n1n01m1m01m1nlllll (2)由(1)式：为极点为零点i-n1ii*-nim1ii*mp )p(az )z(bll (3)比较(1)(2):)p()z(KabK K abK-n1iim1ii*-n*m*-n*m*lll (4)首 1 型多用于根轨迹法中.尾 1 型多用于时域法，频域法中.(*)R(s)bsbsbsb()s()Casasasa(sLm1-m1m1m0n1-n2-n21-n1n变换：一.传递函数定义：条件：0)0(c)0(c)0(c0)0(r)0(r)0(r)1m()1n(定义：1saasa11sbbsbb.ab)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(b)s(NM(s)asasasbsbsbsb)s(R)s(C)t(rL)t(cL)s(G1-nn1nn1-mm1mm0nmn21m210n1n1n1nm1-m1m1m0 有关概念：特征式，特征方程，特征根 零点iz使0G(s)的 s 值 极点jp使G(s)的 s 值 nmabK：传递函数，增益，放大倍数)s(Gs1.slim)c(Kab0st1r(t)nm 结构图系统的表示方法 G(s)分子分母与相应的微分方程之间 的 联系：前面的系数式分子：前面的系数式分母：)s(R(*)s(C(*)完 全取 决 于系统本身的结构参数 注(1)为何要规定零初始条件？分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统：输入：都用阶跃输入.初条件：都规定为零为确定一个系统的起跑线而定.则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)(2)为何初条件可以为零？1)我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的.2)绝大多数系统，当输入为 0 时，都处于相对静止状态.3)零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化时)(3)零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.可以由 G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解.二.传递函数的性质：1.G(s):复函数，是自变量为 s 的有理真分式(mn)iib,a均为实常数.mn 则：tAsin)t(rAjsn1n1n1nm1-m1m1m0)s(R.)s(G)s(CasasasbsbsbsbG(s)有限即：说明：i.ii.系统本身是个能源，在有限输入条件下可以激发出无限大的输出不可能输入信号有限，但输入源的功率无限大，可以使系统输出无限大 2.G(s):只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关.输入变时，C(s)=G(s)R(s)变，但 G(s)本身并不变化 但 G(s)与输入、输出信号的选择有关.r(t),c(t)选择不同，G(s)不同.(见前 CR 电路.)3.G(s)与系统的微分方程有直接联系 4.)t(kLG(s)(t)r(t)G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换 r(t)(t)-1 C(s)G(s).R(s)G(s)k(t)LG(s)5.G(s)与系统相应的零极点分布图对应 G(s)的零极点均是复数，可在复平面上表示：若不计传递函数，G(s)与其零极点分布图等价.例：*2(2)G(s)(3)(22)ssssK G(s)系统零极点分布图 系统性能.动态特性稳定性；若当系统参数发生变化时，分析其特性：1)用解微分方程法十分繁琐一个元部件参数改变，影响iib,a，得反复解 2)若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，则当某个元部件的参数改变时，iib,a变化，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握了，这样，我们可以有目的地改变某些参数，改善系统的性能，且免除了解微分方程的烦恼。这是为什么采用 G(s)这种数模的原因之一。三.采用传递函数的局限：1.G(s)原则上不反映 C(0)0 时的系统的全部运动规律.(虽然由 G(s)转到微分方程，可以考虑初条件的影响。)2.G(s)只适用于单输入，单输出系统。3.G(s)只适用于线性定常系统由于拉氏变换是一种线性变换.例：出(s)U(s)使U(s)sU(t)u(t)u L(s)UA(s)(t)ua(t)而L(t)u(t)uBL(t)a(t).uLs(s)RCU(s)U(t)u(t)uB(t)a(t).u(t)uRC(t)urccccccccccrccccr不能得/2 传递函数是古典控制理论中采用的数学模型形式，经常要用。（典型元部件传递函数略讲，重点以伺服电机引出结构图的概念）例 1 已知某系统，当输入为)(1)(ttr时，输出为eetttC431321)(求：1)系统传递函数?G(s)2)系统增益？3)系统的特征根及相应的模态？4)画出系统对应的零极点图；5)系统的单位脉冲响应?k(t)6)系统微分方程；7)当(t),r(t)(c,)c(10010时，系统响应?c(t)解 1）s1)s(R)4s)(1s(s2)2(s)4s)(1s(s42s )4s)(1s(3s)1s(s)4s(2s)4s)(1s(3 4s1311s132s1 e31e321L)s(C4tt )1s41)(1s(1)s21()4s)(1s(2)2(s)s(R)s(C)s(G 2）由式，增益 K=1 3）由式：特征根 4121模态 4 eett 4）零极点图见右 5）G(s)Lk(t)1 3412232422414122421121sss)(s c s)(s c scsc )(s(s)(sG(s)4t1134324134113241341132ees.s.LG(s)L k(t)s.s.G(s)t 6）454241222sss)(s(s)(sR(s)C(s)G(s)隐含零初始条件 )R(s)s()C(s)ss4245(2 r(t)(t)rc(t)(t)c(t)c4245:L1 不受零初始条件限制 7）对上式进行拉氏变换，注意代上初条件 R(s)sR(s)C(s)c(sC(s)(c)sc(C(s)s42405002 )R(s)(s)(c)c(s)C(s)s(s22005452 3115344541413111321415141220455452242112122ssss c ss c sc sc s s s )(s(sss.)(s(s)(s )c(sssR(s)ss)(s C(s)s s s s sC(s)41311134413111321 ttt零状态状态tt e e e e e c(t)2131343132144零输出响应 例 2 系统如右图所示 已知(s)G0方框对应的微分方程为 accuKuuT00 求系统的传递函数(s)U(s)Urc 解：对(s)G0相应的微分方程进行拉氏变换 1 100000sTK(s)U(s)U(s)G(s)UK(s)Us(Tacac 又由运算放大器特性，有0000 ,iu 11 0sCRsCR.(s)UR(s)U(s)UIacra RsC.RR)sC(RRsCR.(s)U(s)U(s)U cra111100 有 00000000000000000111111111111RRK)(RsCs(TRRK)(RsCs(TRRK)(RsCs(TRRK(s)U(s)U (s)U(s)U)(RsCs(T.RRK(s)URsCRR.sTK(s)U(s)U(s)U.(s)U(s)Urccrccraac 4.典型元部件的传递函数 1.电位器(无负载时)ppK(s)U(s)(s)G.K.Eu Eumax0max022 2.电桥式误差角(位置)检测器 1121121212111k(s)U(s)(s)Gk)(kuuuKuKu 3.自整角机 22212ck(s)U(s)G(s)k)(ku 注 自整角机与电桥式误差检测器功能相同，只是有以下几点区别 1)前者工作于交流状态，后者直流 2)自整角机无摩擦，精度高 3)自整角机21,可以大于360 4.测速发电机 1）直流测速发电机 ttk(s)U(s)G(s).ku楞次定律 2）交流发电机 TTk(s)U(s)G(s).ku 5.电枢控制式直流电动机(结构同发电机)楞次定律：.kEbb 克希霍夫：baERiu 安培定律：.icMmm 牛顿定律：.fMdtdJmmm 利用前四个方程中的三个消去中间变量mb,i,ME得出：ammuKT .ckRfRJTmbmmm 时间常数 mbmmm.ckRfcK 传递系数(s)U(s)ss(TK(s)G (s)U(s)sTK(s)Gammamm1121同一系统输入输出量选择不同有不同形式的传递函数 若分别对每一个方程分别求传递函数，则可构成以下结构图：分析问题的角度不同，同一系统可以有不同形式的结构图，但彼此等价。此图清楚的表明了电动机内部各变量间的传递关系，经简化后可得上面形式结构图 6.两相交流伺服电动机 堵转力矩：ams.ucM 机械特性：.cMMsm 牛顿定律：.fJMmmm 利用前两式消去smMM,可得：(s)U(s)ss(TKm(s)G(s)U(s)sTKm(s)G uKTamamamm1121 分别各式进行拉氏变换得：方框图 7.齿轮系：传动比12112zzi i(s)(s)G(s)i11122 负载轴上的粘滞阻尼，惯量向电机轴上的折算：对于电机轴:11111fMMJm 1M为负载轴转矩 对于负载轴：22222fMJ 在啮合点：21FF (3)2211222111 rMrM rF MrF而 M 又有：121221 i zzrr （4）利用 4 式中的 3 个,消去中间变量之间关系得出1m221M,M,M:122211122211fzzfMJzzJfmJ 一般地，有多级齿轮转动时：324322122211324322122211fzzzzfzzffJzzzzJzzJJ 可见：由于一般减速器总有11izzii 越靠近电机轴的惯量、粘滞摩擦，对电机轴的影响越大，远离电机轴的负载影响则较小 若一级减速比1i很大，则负载轴的影响可以忽略不计 8.调制器，解调器用于 1)交、直流元件协调工作时 2)交流元件，但工作频率不同时 否则干扰较大交流元件有时要屏蔽，漂移，工作点不易隔离，易点，都要用直流工作时交直流的元件各有其优 调制：把直流或低频信号驮在交流元件的工作频率上的过程 解调：把驮在交流元件频率上的有用低频(或直流)信号取出来的过程 一般不考虑调制、解调器的动态过程，认为其传函为 1 5.典型环节 依上讨论可见：输入输出信号选择不同，同一元部件可以有不同的传递函数。不同的元部件可以有相同形式的传递函数 1.环节把传函形式相同的元部件归并在一起的分类具有抽象性，概括性。如，电位器，自整角机，测速发电机等等。同属比例环节。2.典型环节及其传递函数 序号 微分方程 环节名称 传递函数 例 1 K rc 比例环节 K 电位器，放大器，自整角机 2 KrccT 惯性环节 1TsK CR 电路，交、直流电动机 3 KrccTcT 22 1 振荡环节 1 12sK22TsT R-L-C 电路，弹簧质块阻尼系统 4 cKr 积分环节 sK 减速器)(cr 5 rKc 微分环节 Ks 测速发电机)(cru 6 rrc 一 阶 复 合微分环节 1s 7 rrrc 22 二 阶 复 合微分环节 1222ss 注:1)环节与部件并非一一对应，有时一个环节可代表几个部件，有时一个部件可表成几个环节 2)任一个系统的传递，可以视为典型环节的组合 如：)ss)(s(Ts)K(sG(s)121222 6.负载效应问题：传递函数要在系统正常工作，考虑负载影响条件下推导出来 例如右电网络，当两级相联时：用算子法：222111sCRsCUUc sCsCsCCRsCRRsCsCsCCRs).CsC(RsCsCRsC)sC(RRsCsCRsC)sC(RUUr212212221212212222122122112212211111111111 11)()1(12221112212121221222121221211sCRsCRsCRsCCRR sCsCsCCRsCRRs)CsCsCC(RUU.UUUUrcrc (1)当两级断开时：第一级：1111111111sCRsCRsCUUr 第二级：1111222221sCRsCRsCUUc 而11111221122121221111)sCRC(RsCCRR)sC)(RsC(RUUUUUUrcrc(2)比较(1)(2)，可见两式不等。当两级相联时，后级有分流，对前级有负载影响。2 典型环节及其传递函数 序号 微分方程 环 节 名称 传递函数G(s)例 1 rcK.xx 比 例 环节 K 电位器，放大器，自整角机 2 rccKxxxT 惯 性 环节 1 TsK CR 电路，交、直流电动机 3 rcccKxxxTxT 22 振 荡 环节 1 2221(1)KT sTs R-L-C 电路，弹簧质块阻尼系统 4 rcKxx 积 分 环节 sK 减速器)(cr 5 rcxKx 微 分 环节 Ks 测速发电机)u(cr 6 rrcxx x 一 阶 复1s 合 微 分环节 7 rrrcxxxx 22 二 阶 复合 微 分环节 1222 ss 五、求G(s)时须注意的问题负载效应 要在系统正常工作的条件下考虑其传递函数，把后一级对前一级的负载效应考虑进去。例：如右电路，求?(s)U(s)UG(s)rc 解 1 当成整体看：回路 I：rcuuRiRi2211 回路 II:cuRiu221 节点 A:321iii 电容1C：dtduCi113 电容2C：dtduCic22 ：cudtdi.RCi2213 :ccuCuCRCi 12213 （7）（3）：cccuCuRCCuCi 122121 (8)（8）（1）：122121221)(uuRuCRuCCuRCCcccc 即：1221211221)(uuuRCRCRCuRCCccc L 变换：)()(1)(12212112221sUsUsRCRCRCsRCCc 所以，1)(1)(2212112221sRCRCRCsRCCsG 解 2：分解成两部分看：对后一部分：cuRiu221 dtduCic22 122ccuC R uu 变换：)()()1(122sUsUsRCc 所以 11)()()(2221sRCsUsUsGc 同理对前一部分：11)()()(1112sRCsUsUsGr 而111111)()()()()()()()()(11222212111222111sRCsRCsRRCCsRCsRCsGsGsUsUsUsUsUsUsGrcrc比较：分母少一项21C R s项解 2 中未考虑前一级的负载效应 (3)积分定理：smamsmmmnmMCuMMCJfM 消去smMM，mmmmaTK u()()mmmmmmJTfCCKfC (1)()()mmaT ssK Us 1()()()1mamKsG sUsT s 2.4 控制系统的结构图及其等效变换 1.结构图的组成及绘制（1）组成：信号线；方框（环节）；比较点；引出点。（2）结构的绘制：从系统微分方程组：例：电枢控制式直流伺服电动机：电枢回路：baERiu 克希霍夫 baEURI 反电势：ebCE 楞次定律 ebCE 电磁力矩：iCMmm 安培 ICMmm 力矩平衡：mmmMfJ 牛顿 ()mmmJ sfM 工作原理图方框图结构图 例：x-y 记录仪：2.结构图的等效变换和化简：1）.环节串联：2）.环节并联：3）.反馈等效：11()()CG sG s RB 111()()()()()CG s RH sCG s RG s H sC 111()()()G s H s CG sR 11()()()1()()1C sG sR sG sH s前向通道传递函数之积反馈回路上各传递函数之积 例 1：()()()1()RJ/RJ1mmmmeammmmmmemmmemmmeCsR J sfC CUsR J sfCsRfC CCRfC CsRfC C 4）.比较点、引出点的移动：比较点换位：引出点换位：比较点前移：比较点后移：引出点前移：引出点后移：比较点、引出点换位：例 2：x-y 记录仪结构图如下：求?)()(sUsLr mmmmmmmmrKKKKKsKKKsTKKsTsKKKsKKKsTsKKSUS43215121432511)1()1()(1)1()()(作业题（216）讲解：（以便解决作业问题）调速系统工作原理图见课本 P67 图 2-57（1）依运算放大器原理 速度调节器：sRCsCRRsCRsG11111111)(电流调节器：sRCsCRRsCRSG22222211)(（2）依题画结构图：（3）等效化简：（略）例 3.化简结构图：求()()C sR s.例 4.系统结构图如右：分别用等效变换和梅逊公式法求系统的闭环传递函数)(s.解（1）：等效变换法：3211212322441321413243241212132411)(1)()()()(GGGHGGHGGHGGGGGGGGGGGGGGHGGHGGGGGsRsCs 解（2）：梅逊公式法：系统有2 条前向通道，5 个回路，无不相交回路。41243212321211GGHGGGGHGGHGG 1G1241213211GPGGGP 3211212322441321411GGGHGGHGGHGGGGGGGGR(s)C(s)(s)例 5：化简结构图。求)()(sRsC.例 8：化简结构图，求系统传递函数?)()(sRsC ()()()1111111112341133221234411332241133221231133224113322412344113311332C ssR sG G GG(1G H)(1G H)G HG G GGH(1G H)(1G H)G HG(G H)(G H)G H G G G(G H)(G H)G HG(G H)(G H)G H HG G G HG G HG HG H G HG1212311331133224411331133221234H G G GG HG HG H G HG HG H 1 G HG HG H G HG H G G G H 2.5 信号流图(1).信号流图的组成(2).信号流图与结构图的关系 信号流图结构图 前向通道数：1；回路数：4（、不接触）源节点输入信号 阱节点输出信号 混合节点引出点，比较点 支路环节 支路增益环节传递函数 前向通道(从源节点到阱节点)不能走重复的路线顺着信号流动方向 回路(信号流动形成的封闭回路)互不接触电路(无公共点或公共支路)信号流图结构图 结构图信号流图 前向通道路：1 回路数：3 4.梅逊公式 用梅逊公式，可不经过任何结构变换，一步写出系统的传递函数(1)公式：niiiPs1)(其中：kjijiiLLLLLL1称为特征式 ip：从输入端到输出端第 k 条前向通路的总传递函数 i：在中，将与第 i 条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下的部分，称为余子式 iL：所有单回路的“回路传递函数”之和 jiLL：两两不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和 kjiLLL：所有三个互不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和“回路传递函数”指反馈回路的前向通路和反馈通路的传递函数只积并且包含表示反馈极性的正负号。(2).举例:例 1:共有 4 个单回路：n4ii1234i 1i 11234561232453344LLLLLL G G G G G G HG G HG G HG G H 只有 II、III 两个回路不接触：0LLLHHGGGG)HGG)(HGG(LLLLkji32543235423232ji 3254324433542321654321jiiHHGGGG HGGHGGHGGHGGGGGG1LLL-1 只 有一条前向通路 6543211GGGGGGp 所有回路均与之接触 11 325432443354232165432165432111HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGG1GGGGGGp)(s 例 2:有五个回路：4124232121321iji4124232121321iGGHGHGGHGGGGG1L10LLGGHGHGGHGGGGGL 两条前向通路：412423212132141321221124121 3211GGHGHGGHGGGGG1GGGGGpp(s)1;GGp1;GGGp 例 3:有五个单回路：并且 CRs5L CRs1LLLi521 可找出六组两两互不接触的回路：-;-;-;-;-;-2ji)CRs(6)CRs1)(CRs1.(6L L 有一组三个互不接触回路-333222kjijii3333kjisRC1sRC6CRs51LL L L L L 1 sRC1)CRs1(LL L 前向通路一条：1 ;sRC1p13331 3C11R23321U(s)p(CRs)(s)561U(s)1CRs(CRs)(CRs)1 (CRs)5(CRs)6CRs1 例 4:回路 4 个：333212211iHGHGGHGHGL 两两不接触回路两个：-，-0LLL)HG)(H(G)H)(GHG(LLkji33222211ji 32322121333212211HHGGHHGGHGHGGHGHG1 前向通道两条：32322121333212211223212211222321211HHGGHHGGHGHGGHGHG1)HG-(1GGGpp(s)HG-1;Gp1;GGp 例 5 已知系统结构图，求?)s(R)s(C 解：本结构图有 2 条前向通道，6 个回路(其中 I，V 两回路不相交)HGGGGGH1H)(1 GGG(s)H1;Gp1;GGpHGGGGGH1 )H).(G()G()G(GGGGH1321123212321211321123332112 例 6 求?)s(R)s(C 解：共有 3 个单回路(全部有公共接触部分)HGHGGGHGGGG 1 L1 HGHGGGHGGGGLL2214211432131ii2214211432131iii 前向通道共有 6 条：1 GGGGp143211 1 GGGp24212 1 GGGGp343253 1 GGGp44254 1 GGGp54365 1 GGHGp642266 GHGGGHGGGG142114321 由梅逊公式：2214211432142264364254325421432166554433221161iiiHGHGGGHGGGG1GGHGGGGGGGGGGGGGGGGGG ppppppp)s(例 7 已知系统结构图 1).画出系统信号流图 2).求(s)RC(s),(s)RC(s)21 解：1).2).)III,.(3.2:CR.:CR21互不相交其中个回路共有条前向通道有有3条前向通道 4321321432143211324321GGGGGGGGGGG1 )GGG)(G()GGG(GGGG1 1 GGGGp 1 GGGp GGG1 Gp