平面向量的坐标表示使用.pptx

平面向量的坐标表示使用平面向量的坐标表示使用在平面直角坐标系中，平面内的每一点都可以用一对有序实数来表示，这对实数就是点在平面内的坐标；反之，每一对有序实数都能确定一个点。在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也能用一对有序实数来表示呢？思考第1页/共26页导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量平方向和竖直方向取两个单位向量 e e1 1、e e2 2，导，导弹的飞行速度用向量弹的飞行速度用向量 表示，若以点表示，若以点OO为起为起点，作向量点，作向量 ，过点，过点P(x,y)P(x,y)分别向水平分别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为方向、竖直方向作垂线，垂足分别为MM和和N N。（1 1）分别用单位向量）分别用单位向量e e1 1、e e2 2表示向量表示向量 ，（2 2）用向量）用向量 ，表示向量表示向量 ；（3 3）用单位向量）用单位向量e e1 1、e e2 2表示向量表示向量 。探究第2页/共26页在平面上，建立一个直角坐标系在平面上，建立一个直角坐标系xOyxOy，若设，若设x x轴正方向上的单位向量为轴正方向上的单位向量为 ，y y轴正方向上的轴正方向上的单位向量为单位向量为 ，则，则x x轴上的向量总可以表示成轴上的向量总可以表示成 的形式，的形式，y y轴上的向量总可以表示成轴上的向量总可以表示成 的形的形式，其中式，其中x x，y y分别是它们的终点在数轴上的坐分别是它们的终点在数轴上的坐标。标。第3页/共26页在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量又如何处理呢的向量又如何处理呢?探索探索:oyx第4页/共26页可通过向量的平移，可通过向量的平移，将向量的起点移到将向量的起点移到坐标的原点坐标的原点O处处.oyx解决方案解决方案:我们将这样的起点在坐标原点处的向量称我们将这样的起点在坐标原点处的向量称为为位置向量位置向量，平面上任意向量都有与它相，平面上任意向量都有与它相等的位置向量，所以研究向量的性质可以等的位置向量，所以研究向量的性质可以通过研究其相应的位置向量来实现。通过研究其相应的位置向量来实现。第5页/共26页对于直角坐标系平面内任意向量对于直角坐标系平面内任意向量 ，将它的起，将它的起点移至原点点移至原点OO，其的终点坐标为，其的终点坐标为P(x,y)P(x,y)。以。以OPOP为对角线，作矩形为对角线，作矩形OMPNOMPN，则，则 ，分别表分别表示成示成 与与 。由向量加法的平行四边形法则。由向量加法的平行四边形法则可知，可知，即：即：事实上，事实上，平面直角坐标系中任一向量都可以唯平面直角坐标系中任一向量都可以唯一地表示成一地表示成 的形式。的形式。第6页/共26页我们把我们把 叫做向量叫做向量 的坐标形式，的坐标形式，把把 叫做向量叫做向量 在在x x轴上的分向量，把轴上的分向量，把 叫叫做向量做向量 在在y y轴上的分向量。把有序数对轴上的分向量。把有序数对(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量 在直角坐标系中的坐标，记作在直角坐标系中的坐标，记作 ，其中，其中x x叫做向量叫做向量 的横坐标，的横坐标，y y叫做向量叫做向量 的纵坐标，的纵坐标，叫做向量叫做向量 的坐标表的坐标表示。示。第7页/共26页OP=3 +2注意观察，发现一个位置注意观察，发现一个位置向量向量,只要它的终点确定了只要它的终点确定了,那这个位置向量也就确定那这个位置向量也就确定了了.位置向量的关键点位置向量的关键点第8页/共26页向量的坐标表示向量的坐标表示 点点P（x,y）一一对应一一对应 OP=x +y =(x,y)向量向量OP 有序实数对有序实数对有序实数对有序实数对（x x，y y）(x,y)xy一一对应一一对应 第9页/共26页 点的坐标可以表示一个点在坐标平面的位置，向点的坐标可以表示一个点在坐标平面的位置，向量的坐标能否也表示向量在坐标平面的位置呢？量的坐标能否也表示向量在坐标平面的位置呢？理解：向量的坐标意义是向量正交分解时对应的有序理解：向量的坐标意义是向量正交分解时对应的有序实数对，表面是坐标形式，它只是一种记法，实际上实数对，表面是坐标形式，它只是一种记法，实际上是分解出来的基底的系数。是分解出来的基底的系数。向量的坐标不表示向量的位置，同一向量可以任向量的坐标不表示向量的位置，同一向量可以任意平移，而它的坐标只有一个。意平移，而它的坐标只有一个。、第10页/共26页向量的坐标表示是一种向量与坐标的对向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标坐标就是向量的坐标.第11页/共26页例题：写出下列向量的坐标表示：例题：写出下列向量的坐标表示：（1 1）（2 2）（3 3）第12页/共26页怎样通过坐标确定两个向量相等呢？怎样通过坐标确定两个向量相等呢？思考交流思考交流:第13页/共26页平面向量的直角坐标运算第14页/共26页平面向量可以用坐标表示，向量平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？的运算可以用坐标来运算吗？探究：探究：（1）已知）已知a=(x1,y1),b=(m,n)，求求a+b,a b .（2）已知）已知a=(x1,y1)和实数和实数 ，求求 a的坐标的坐标.如何计算？如何计算？第15页/共26页设设 ，则，则 那么那么平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算。减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算。两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差第16页/共26页例：已知例：已知 求求xyO解：解：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 第17页/共26页设设 ，为一实数，则为一实数，则 那么那么平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以原来向量实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应的坐标的相应的坐标第18页/共26页例题：已知例题：已知 ，求，求 ，。解：解：第19页/共26页第20页/共26页设两个非零向量设两个非零向量 ，当当 时，时，x x1 1,y,y1 1,x,x2 2,y,y2 2之间满足什么关系？之间满足什么关系？反之，当这个关系成立时，能否得出反之，当这个关系成立时，能否得出？思考交流：思考交流：第21页/共26页向量向量 ，当，当x x是何值时，是何值时，（1 1）；（2 2）与与 方向相同？方向相同？解解：（：（1 1）（2 2）当）当x=2x=2时，时，与与 方向相同。方向相同。第22页/共26页写出以写出以写出以写出以 为起点为起点为起点为起点,为终点的向量为终点的向量为终点的向量为终点的向量 的坐标的坐标的坐标的坐标.O Ox xy y1 11 1两点间距离公式两点间距离公式两点间距离公式两点间距离公式求出求出求出求出 的模。的模。的模。的模。问题解决：问题解决：第23页/共26页1.1.平面向量的坐标的表示平面向量的坐标的表示 a a a a=x=xi i i i+y+yj j j j=(x,y).=(x,y).2.要把点的坐标与向量的坐标区分开要把点的坐标与向量的坐标区分开 来，两者不是一个概念来，两者不是一个概念.课堂小结第24页/共26页作业书第54-55页，习题1、4题第25页/共26页