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精品 八年级下册数学第一章证明二章节复习 专题一、全等三角形 知识整理 1、全等三角形的判定 公理：三边 的两个三角形全等；公理：两边及其夹角 的两个三角形全等；公理：的两个三角形全等；推论：的两个三角形全等。2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边 、对应角 。典例分析 例 1、（2010 年吉林）如图 1，在ABC 中，ACB=90，AC=，CEBE，CE 与 AB 相交于点 F，ADCF，垂足为 D，且 AD 平分FAC，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。FCAEBD 例 2、已知：如图，D 是ABC 中 BC 边上一点，EB=EC，ABE=ACE，求证：BAE=CAE.(两种方法)专题二、等腰三角形 知识整理 1、等腰三角形的性质：（1）定理：等腰三角形的两个底角 ，简称“”；（2）推论：等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称“”；2、等腰三角形的判定：的三角形是等腰三角形，简称“”；3、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角 ，且每个内角都等于 。4、等边三角形的判定：（1）有一个角为 60的 是等边三角形；（2）三个角都 的三角形是等边三角形。典例分析 例 1、已知：如图，AB=AC,D 是 AB 上一点，DEBC 于点 E，ED 的延长线交 CA 的延长线于点 F.求证：ADF是等腰三角形 例 2、如图，在ABC 中，ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于 F，若 BF=AC，求ABC 的度数 精品 图 2图 1ABCDOODCBA 例 3、如下图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，交BAC的平分线于点D，求证：MD=MA.例 4、如图，在 RtABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为 45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想 例 5、如右图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.例 6、如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边ABD，连接DC，以DC为边作等边DCE，B、E在C、D的同侧，若 AB=2，求BE的长.例 7、如图 1、图 2，AOB，COD 均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗？请说明理由（4 分）（2）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？为什么？（8 分）例 8、如图，在ABC 中，AB=AC、D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，且 CE=BD，连结 DE 交 BC 于 F。（1）猜想 DF 与 EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。例 9、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE CD求证：BD DE 精品 例 10、（2010 年宁波）如图 2，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD，CE 分别是ABC，BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）图 2ABCDE 图 3OGFEABDC 例 11、如图 3 所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点 B，C，E 在同一条直线上，AE 与 BD 交于点 O,AE 与 BD 交于点 F，连接 OC，FG，则下列结论：AE=BF;AG=BF；FGBE，BOC=EOC其中正确结论的个数为（）A、0 个；B、1 个；C、2 个；D、3 个 例 12、等腰三角形底边长为 7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为 3，则腰长是（）A、4 B、10 C、4 或 10 D、以上答案都不对 专题三、线段的垂直平分线和角平分线 知识整理 1、线段垂直平分线定理及其逆定理：线段垂直平分线上的点到 的距离相等；到 的点在这条线段的垂直平分线上。2、角平分线的性质定理及其逆定理：角 平 分 线 上 的 点 到 距离相等；在角的内部，到 距离相等的点在这个角的平分线上。3、三角形的三边垂直平分线、角平分线的性质定理：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这点到三角形的 的距离相等；三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三角形的 的距离相等；典例分析：例 1：在ABC 中，AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F，垂足为 D，若 AC=6，BC=4，求BCF 的周长。E C F A D B 例 2：如图所示，在ABC 中，AB=AC，BAC=1200，D、F 分别为 AB、AC 的中点，DE ABFG AC，E、G 在 BC 上，BC=15cm，求 EG 的长度。精品 A D F B E G C 例 3:：如图所示，RtABC 中，D 是 AB 上一点，BD=BC，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E，CD 交 BE 于点 F。求证：BE 垂直平分 CD。例 4、如图 3 所示，在ABC 中，AC=BC，C=90，AD 是BAC 的平分线，CD=2求 BD 的长。例 5、如图 19，在ABC中，090C，AC=BC，AD 平分CAB交 BC于点 D，DEAB 于点 E，若 AB=6cm.你能否求出BDE的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.例 6、（8 分）如图 21，在ABC中，090A，AB=AC，ABC的平分线 BD 交 AC 于 D，CEBD 的延长线于点 E.求证：12CEBD.例 7、（8 分）如图 23，090AOB，OM 平分AOB，将直角三角板的顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA、OB 相交于点 C、D，问PC 与 PD 相等吗？试说明理由.C E A D B F 图 3CBAD图图 23 精品 例 8、如图所示，ABAC，A的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，作DE AB于 E，DF ACF于，求证：BE=CF。例 9、如图，ABC 中，AD 为BAC 的平分线，AD 的垂直平分 线 EF 交 BC 的延长线于点 F，连接 AF。求证：B=CAF 专题四、直角三角形 知识整理 1、直角三角形的性质和判定 直角三角形的性质：（1）勾股定理：；即：；（2）直角三角形中，30角所对的直角边等于 。（3）直角三角形斜边上的中线等于 。直角三角形的判定定理：（1）逆定理：若一个三角形中，则这个三角形是直角三角形。（2）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 。2、直角三角形的全等：和 对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”定理。典例分析：例 1、（2010 年菏泽市）如图 1 所示，在 RrABC 中，C=90，A=30，BD 是ABC 的平分线，CD=5cm，求 AB 的长。例 2：如图 2-5 所示在等边三角形 ABC 中，AE=CD，AD，BE 交于 P点，BQAD 于 Q求证：BP=2PQ A E B M C F D E D F C B A 图 1CABD精品 例 3、已知：如上图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且 AECD，连结AD、BE交于点P，作BQAD，垂足为Q 求证：BP2PQ.例 4：如图，ABC中，3590,12,22CCDBD ，求AC的长。例 5：如图所示的一块地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。CADB 例 6：如图，一架 2.5 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？例 7、（13 分）如图 12，ABCD是一张长方形的纸片，折叠它的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，已知AB8cm，BC10cm，那么EC等于多少？你能证明你的结论吗？CA1B1AB精品 例 8、（三明市）如图ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D 为 AB 边上一点。（1）求证：ACEBCD；（2）若 AD=5，BD=12,求 DE 的长。例 9、（绥化市）在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC=2，以 AC 为一边，在ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段 BD 的长为 ，（提示：分三种情况）图 2EACBD