高中数学第四章函数应用4.2.1实际问题的函数刻画4.2.2用函数模型解决实际问题4.2.3函数建模案例学.pdf

4.2.3 函数建模案例(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题 1.甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图 426 所示，则下列说法正确的是()图 426 A甲比乙先出发 B乙比甲跑得路程更多 C甲、乙两人的速度相同 D甲先到达终点【解析】由图可知，甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，故选D.【答案】D 2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图427 所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()图 427 A310 元 B300 元 C290 元 D280 元【解析】令ykxb，则 kb800，2kb1 300，解得 k500，b300，所以y500 x300，令x0，y300.故营销人员没有销售量时的收入是 300 元【答案】B 3.某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是yx275x，若每台机器售价为 25 万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为()A30 B40 C50 D60【解析】设安排生产x台，则获得利润 f(x)25xyx2100 x(x50)22 500.故当x50 台时，获利润最大故选 C.【答案】C 4.如图 428，开始时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1aen t，那么桶(2)中水就是y2aaen t，假设过 5 分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过()桶(1)中的水只有a8.图 428 A7 分钟 B8 分钟 C9 分钟 D10 分钟【解析】由题意得ae5naae5n，en5121.设再经过t分钟，桶(1)中的水只有a8，得aen(t5)a8，则t553，解得t10.【答案】D 二、填空题 5.经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数日销售量为f(t)2t100，价格为g(t)t4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)_.【解析】日销售额Sf(t)g(t)(2t100)(t4)2t2108t400.【答案】2t2108t400 6.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是 2 km.如图 429 表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是 10 min，那么yf(x)的解析式为_ 图 429【解析】由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得：yf(x)115x0 x30，230 x40，110 x240 x60.【答案】y 115x0 x30，230 x40，110 x240 x60 三、解答题 7.一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？【导学号：04100080】【解】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1)，则a(1x)1012a，即(1x)1012，解得x110121.故每年砍伐面积的百分比为 110121.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1x)m22a，即1021m2121，m1012，解得m5.故到今年为止，已砍伐了 5 年(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为22a(1x)n.令22a(1x)n14a，即(1x)n24，1021n2321，n1032，解得n15.故今后最多还能砍伐 15 年 能力提升 1.某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加10 万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40Q120Q2，则总利润L(Q)的最大值是_万元【解析】L(Q)40Q120Q210Q2 000 120Q230Q2 000120(Q300)22 500，当Q300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元【答案】2 500 2.销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1a x1m，y2bx，(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图 4210 所示 图 4210(1)求函数y1，y2的解析式；(2)若该商场一共投资 4 万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值【解】(1)由题意 ma0，3am85，解得a45，m45，y145x145(x0)又由题意 8b85得b15，y215x(x0)(2)设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入(4x)万元令所获利润为y万元 由(1)得 y45x14515(4x)45x115x(0 x4)令x1t(1t 5)，则有 y15t245t15 15(t2)21(1t 5)当t2 即x3 时，ymax1.综上，该商场所获利润的最大值为 1 万元