高中数学数形结合思想.pdf

1/9 数形结合思想 由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基础知识的范畴，通过对数学知识的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。数形结合的思想重点考查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大数形结合常用于解方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形象性、直观性、数的深刻性、精确性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。例题 1关于 x 的方程 2x23x2k0 在(1,1)内有一个实根，则 k 的取值范围是什么？分析：原方程变形为 2x23x=2k 后可转化为函数y=2x23x。和函数 y=2k 的交点个数问题 解：作出函数 y=2x23x 的图像后，用 y=2k 去截抛物线，随着 k 的变化，易知 2k89或12k5 时只有一个公共点 k=169或21kx1.分析：令x3y，则 y2(x3)(y0),它表示抛物线的上半支令 yx1 表示一条直线作出图象求解 解：作出抛物线 y2(x3)(y0),以及直线 yx1 解方程组)3(12xyxy得 x=2 或 x=1（舍去）,由右图可知：当 x2 时不等式x3x1 成立，所以原不等式的解集为x|x2.点拨解疑：一般地，形如nmxcbxax2(亦可)等不等式皆可用数形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此法如3x12等 例题 5求 m=2x+94362x的值域 分析：设94362x=y，即 4x2+9y236（y0）,则求值域问题转化为求直线 2x+ym 的纵截距的范围问题 解：设94362x=y，即 4x2+9y236（y0）又令 2x+y=m,则由3694222yxmxy得 40 x236mx+9m236=0,令=(36m)2160(9m236)=0,得 m=210,直线 y=2x+m 过 A 点时，x=3,y=0,m=6 取得最小值；当直线与椭圆上半部分相切时，m 取得最大值 210 由，m 的取值范围为 6,210,值域为6，210 例题 6AB 为平面上的两定点，C 为平面上位于直线 AB 同侧的一个动点，分别以 AC、BC为边，在ABC 外侧作正方形 CADF、CBEG，求证：无论 C 点取在直线 AB 同侧的任何位置，DE的中点 M 的位置不变 分析：由于 D、E 随着 C 的变化而变化，但 M为定点，故用几何方法不易说清变换思维角度，如以 C 点坐标为参量，证得 M 点坐标不随其变化而变化即可获证 证明：以 AB 中点为坐标原点,直线 AB 为实轴，建立复平面.设 A、B、C 对应的复数分别为a，a，x+yi 其中 a、x、yR 3/9 则 AC=ZCZA=(x+a)+yi,AD=ACi=y+(x+a)i=OAOD,OAADOD=(a+y)+(a+x)i,D 点的坐标是(y+a),a+x),同理 E 点的坐标为(y+a,ax),据中点公式,DE 中点 M 的坐标为（0，a），它是与 AB 长度有关，而与 C 点位置无关的点，即为定点 点拨解疑：这是用数解形的一例，可见它形象而直观，但不够深刻、精确，而数却精确细致，但它不够直观，故常以数量形，以形辅数，数形结合 例题 7设 A、B、C、D 是一条有向线段上的四点，且DBADCBAC=0，求证：ADAC11=AB2.分析：由于A、B、CD 顺序不定，若用几何方法分类不便，故用解析法，又 A、B、C、D 共线，所以只需数轴即可 证明：以四点所在直线为数轴，设 A、B、C、D 四点的坐标依次为0,b、c、d,DBADCBAC=0,dbdcbc=0,b(c+d)=2cd,cddc=b2,又ADAC11=cddcdc11=b2=AB2，等式成立.例题8函数 y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式 f(x)f(x)十 x 分析一：由图像可得出函数关系式，由形看数 解法一：由题意及图像，有011101)(22xxxxxf，（1）当 0f(x)+x 得21x2)(1x+x,解得0 x552;（2）当1x2)(1x+x,解得1x2x，而方程 f(x)=2x的解为 x=552，据图像可知原不等式解集为1,552)(0,552).点拨解疑：本题以形看数（解析式，奇偶性），以数解形（曲线交点 A、B）最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短 4/9 基础知识练习 一选择题：1向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 v 与水深 h 的函数关系如图所示，那么水瓶的形状是 2已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在（0，+）上是增函数且 f(31)0 则满足)(log81xf0 的 x 的取值范围是 （A）21(2,+)（B）(0,21)（C）(0,21)(2,+)（D）(2,+)3已知 arg(z+3)43，则|z+6|+|z3i|的最小值为 （A）35 （B）3 （C）53 （D）5 4方程 lgx=sinx 的根的个数是 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）无数个 5函数 ya|x|和 y=x+a 的图像恰好有两个公共点，则实数 a 的取值范围为 （A）(1,+)（B）(1,1)（C）(,1)（D）(,1)(1,+)二填空题：6已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 分别为（1，1）和（2,2），若直线l：x+my+m=0 与 PQ 的延长线相交，则 m 的取值范围是 .7若直线 l：ykx+1 与曲线 c：x12y只有一个公共点，则实数 k 的取值范围是 .8函数 y=xx132的值域是 .三解答题：9已知 4a+9b10（a，b6 R+）,求 2a十 3b的最大值.10如果关于 x 的方程 sinx+acosx=2恒有解，求实数 a 的取值范围 5/9 高考常考题强化训练 一选择题：1已知 0a1，方程|log|xaax的实数根的个数是 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）以上都有可能 2若不等式 x2logax0 在(0,21)内恒成立,则 a 的取值范围是 （A）161,1)（B）(0,161)（C）(161,1)（D）(0,1)3代数式22222222)1()1()1()1(yxyxyxyx的最小值为 （A）2 （B）22 （C）4 （D）42 4函数 ysin2x+acos2x 图像的一条对称轴为 x8，那么 a 等于 （A）2 （B）2 （C）1 （D）1 5直线 y=a（aR）与曲线 ycot(t)，（0）的相邻两交点之间的距离是 （A）k （B）2 （C）（D）以上都不对 6若非零复数 z1，z2分别对应于复平面内的点 A、B 且 z123z1z2+z22=0,则AOB 是 （A）等腰三角形 （B）等腰直角三角形 （C）等边三角形 （D）直角三角形 二填空题：7若 z1，z2为复数，且|z1|=3,|z2|=5,|z1z2|=7，则21zz=8若 a(0,21)，则 T1sin(1+a)，T2=sin(1a),T3=cos(1+a)的大小关系为 9方程|x|2x+1|=1 的不同实根的个数为 .10函数 uxx2512的最大值是 .三解答题：11已知函数 f(x)=ax2c 满足一 4f(1)1，1f(2)5，求 f(3)的范围 12已知 a 0,b0,a+b=1，求证：2121ba2.13 若 A=x|2xa，B=y|y2x+3，xA,Cz|z=x2,xA，若 CB，求 a 的值 14已知抛物线 C：yx2+mx1，点 A（3，0），B(0,3),求抛物线 C 与线段AB 有两个不同交点时 m 的范围 6/9 基础知识练习参考答案 7/9 8/9 高考常考题强化训练参考答案 9/9