初中数学竞赛辅导资料(20200816145119).pdf

初中数学竞赛辅导资料二元一次方程的整数解甲内容提要1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解，（9，3）3，而 3 不能整除10；（4，2）2，而 2 不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2，二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。方法一，整除法：求方程5x+11y=1 的整数解解：x=5111y=yyyy2515101(1),设kky(51是整数），则 y=1-5k(2),把（2）代入（1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是kykx51211（k 是整数）方法二，公式法：设 ax+by=c 有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）3，求二元一次方程的正整数解：1出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值2用观察法直接写出。乙例题例 1 求方程 5x9y=18 整数解的能通解解 x=53235310155918yyyyy设ky53（k 为整数），y=35k,代入得 x=99k原方程整数解是kykx5399（k 为整数）又解：当x=o 时，y=2，方程有一个整数解20yx它的通解是kyyx5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例 2，求方程5x+6y=100 的正整数解解：x=52056100yyy(1)，设ky5(k 为整数)，则 y=5k,(2)把（2）代入（1）得 x=20-6k，00yx解不等式组050620kk得 0k620,k 的整数解是1，2，3，正整数解是514yx108yx152yx例 3，甲种书每本3 元，乙种书每本5 元，38 元可买两种书各几本？解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得3x+5y=38（x,y 都是正整数）x1 时，y=7，71yx是一个整数解通解是kykx3751（k 为整数）解不等式组037051kk得解集是3751k整数 k=0，1，2把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解71yx46yx111yx答：甲、乙两种书分别买1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。丙练习 101，求下列方程的整数解公式法：x+7y=4,5x-11y=3整除法：3x+10y=1,11x+3y=42,求方程的正整数解：5x+7y=87,5x+3y=1103，一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4，兄弟三人，老大20 岁，老二年龄的2 倍与老三年龄的5 倍的和是97，求兄弟三人的岁数。5，下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）14x2y=11,10 x-5y=70,9x+3y=111,18x-9y=98,91x-13y=169,120 x+121y=324.6,一张试巻有20 道选择题，选对每题得5 分，选错每题反扣2 分，不答得 0 分，小这军同学得48 分，他最多得几分？7用观察法写出方程3x+7y=1 几组整数解：y=142x=371y