平面四节点等参单元分析程序.pdf

变分原理与有限元大作业 平面四节点等参单元分析程序 .姓 名：潘 清 学 号：SQ 完成时间：2011-4-26 ：一、概述 通常情况下的有限元分析过程是运用可视化分析软件(如 ANSYS、ABAQUS、SAP 等)进行前处理和后处理，而中间的计算部分一般采用自己编制的程序来运算。具有较强数值计算和处理能力的 Fortran 语言是传统有限元计算的首选语言。随着有限元技术的逐步成熟,它被应用在越来越复杂的问题处理中，但在实际应用中也暴露出一些问题。有时网格离散化的区域较大,而又限于研究精度的要求，使得划分的网格数目极其庞大，结点数可多达数万个，从而造成计算中要运算的数据量巨大，程序运行的时间较长的弊端，这就延长了问题解决的时间，使得求解效率降低。因为运行周期长，不利于程序的调试，特别是对于要计算多种运行工况时的情况；同时大数据量处理对计算机的内存和 CPU 提出了更高的要求，而在实际应用中，单靠计算机硬件水平的提高来解决问题的能力是有限的。因此，必须寻找新的编程语言。随着有限元前后处理的不断发展和完善，以及大型工程分析软件对有限元接口的要求，有限元分析程序不应只满足解题功能，它还应满足软件工程所要求的结构化程序设计条件，能够对存储进行动态分配，以充分利用计算机资源，它还应很容易地与其它软件如 CAD 的实体造型，优化设计等接口。现在可编写工程应用软件的计算机语言较多，其中 C 语言是一个较为优秀的语言，很容易满足现在有限元分析程序编程的要求。C 语言最初是为操作系统、编译器以及文字处理等编程而发明的。随着不断完善，它已应用到其它领域，包括工程应用软件的编程。近年来，C 语言已经成为计算机领域最普及的一个编程语言，几乎世界上所有的计算机都装有 C 的编译器，从 PC 机到巨型机到超巨型的并行机，C 与所有的硬件和操作系统联系在一起。用 C 编写的程序，可移植性极好，几乎不用作多少修改，就可在任何一台装有 ANSI、C 编译器的计算机上运行。C 既是高级语言，也是低级语言，也就是说，可用它作数值计算，也可用它对计算机存储进行操作。二、，三、编程思想 本程序采用 C 语言编程，编制平面四边形四节点等参元程序，用以求解平面结构问题。程序采用二维等带宽存储整体刚度矩阵，乘大数法引入约束，等带宽高斯消去法求解位移，然后求中间高斯点的应力，最后用绕节点平均法讲单元应力等效到节点上，再将结果写到tecplot 文件中。在有限元程序中，变量数据需赋值的可分为节点信息，单元信息，载荷信息等。对于一个节点来说，需以下信息：节点编号（整型），节点坐标（实型），节点已知位移（实型），节点载荷（实型），边界条件（实型）等。同样，对于一个单元来说，需以下信息：单元的 节点联接信息（整型），材料信息（弹性模量，泊松比等）（实型）等。在 FORTRAN 程序中，以上这些变量混合在一起，很难辨认，使程序的可读性不好，如需要进行单元网络的自适应划分，节点及单元的修改将非常困难。在进行 C 语言编译过程中，采用结构 struct 使每个节点信息存储在一个结构体数组中，提高程序的可读性，使数据结构更趋于合理。三、平面四节点等参单元介绍 四节点等参单元实际单元与基本单元的映射关系如图 3-1 所示?坐标的映射关系为：其位移模式和坐标的映射有相同的插值函数，形函数为：单元应变矩阵为：、图 3-1 xyxyuxuyuvyx 上式一般简写为：B 其中 B的子块矩阵为 iiiiiNxNByNNyx 由于iN是、的函数，在 iB中的x、y要按照复合函数来求导，即 iiiiiiNNNxyxxJNNNxyyy 从而有？1iiiiNNxJNNy 因此，单元应力矩阵为 D B 单元刚度矩阵为 TeAKBDB hdxdy 其中积分采用三点高斯积分，3311,11111(,)()(,)nipijijiiijifd dfW f 2nipn（高斯积分点的总数），i和j或iW是加权系数，i和j是单元内的坐标.。对于三点高斯积分，高斯积分点的位置：110.6,5.0 9.0，220.0,8.0 9.0，330.6,5.0 9.0。结构刚度矩阵 eeKK 结构结点荷载列阵 eePP 注意，对于上两式中e的理解不是简单的叠加而是按照对应的自由度集成。总刚平衡方程 KP;从式上式求出：1KP 四、有限元分析的模块组织 一个典型的有限元分析过程主要包括以下几个步骤：1)读输入数据，定义节点及单元数组。2)由边界条件计算方程个数，赋值荷载列阵。3)读入在带状存储的总刚度矩阵中单元和载荷信息。4),5)定义总刚度阵数组。6)组装总刚度阵。7)解方程组。其流程图可见下图 输入边界条件(力、位移)形成各荷载工况的节点荷载总刚分解 回代求出位移及输出-形成单元刚单刚向总刚投坐标变换 输入原始参数 计算总刚规模 形成总刚方程 向总节点荷载阵投放（调整几何、弹性矩阵 调整单元位移列阵 五、程序变量及函数说明 1、控制信息 np：结构节点总数 ne：结构离散单元总数 nr1，nr2：总的约束的节点数，nr1，x 方向；nr2，y 方向 nd：每个单元的节点数 nf：每个节点的自由度数 ld：集中力载荷的个数 nm：材料的种类 nu1，nu2：非零位移边界条件的节点数，nu1，x 方向；nu2，y 方向 u1，u2：非零位移的大小，u1，x 方向；u2，y 方向 n=nf*np：结构的节点位移总数 ndf=nd*nf：每个单元的节点自由度数；2、输入的原始数据 x(np):节点的 x 方向坐标 y(np):节点的 y 方向坐标 me（nd，ne）：单元节点的总体编号 nrr(nr1+nr2)：约束为零的位移所对应的总体位移编号 p（n）：载荷向量 nu（nu1+nu2）：位移载荷 mat（6，nm）：材料参数 3、程序中的其他标识符 LD（n）：存放结构刚度阵所以主对角线元素在 A（nn）中的序号 IS（ndf）：单元节点位移和节点力在总体位移阵列和载荷阵列中对应的序号 EK（ndf，ndf）：总体坐标系下的单元刚度矩阵 A（nn）：架构刚度阵下三角变带宽一维压缩存储的数组 nn：数组 A 的元素个数 RSTG(3):高斯积分点的值 H(3):高斯积分点的加权系数 S（6，ne）：各单元的应力分量 XJAC（2,2）：雅阁比矩阵 RJAC（2,2）：雅阁比矩阵的逆 PN（2,4）：4 个节点处形函数对局部坐标的导数 DNX（2,4）：4 个节点处形函数对整体坐标的导数 FUN（4）：形函数的值 六、计算流程图 ，&开始 输出节点位移 计算局部坐标系下的单元刚度矩阵 输入控制信息 n=nfnp ndf=ndnf 计算单元的 IS(ndf)数组 取出单元在总体坐标系下的节点位移 计算局部坐标系下单元节点位移 输入原始数据【计算局部坐标下的单元刚度矩阵 坐标变换矩阵 总体坐标下的单元刚度矩阵 形成单元的 IS(ndf)数组 单元刚度矩阵向结构刚度矩阵叠加 进行约束处理 求解线性方程组求得结构节点位移 计算局部坐标系下单元节点力应力 输出节点位移和应力 结束 七、计算结果与 abaqus 分析结果的比较 1、中间带圆孔平面应力板的分析。宽 40m，长 50m，圆孔位于板中心，半径为 4m，承受水平方向位移载荷，E=200Pa，3.0，取1t m。用 abaqus 建模离散，并计算。再讲 abaqus 离散的节点和单元信息拷贝到本程序的输入文件中，用该程序计算，结果输出成 tecplot 文件，用 tecplot 可以查看结果。与abaqus 的计算结果进行比较，位移和应力云图如下（左边是程序计算结果，右边是 abaqus结果，下同）：2、纤维增强复合材料平面应力板的分析。宽 40m，长 50m，增强纤维位于板中心，纤维半径为 8m，承受水平方向位移载荷，基体材料E=20000Pa，25.0，纤维材料E=8000Pa，3.0，取1t m。3、半无限大含裂纹板的应力分析 宽 40m，长 60m，裂纹位于板左侧中间位置，裂纹长 10m，承受竖直方向位移载荷，E=200Pa，3.0，取1t m。结果分析比较：通过以上三个算例发现该程序可以用于计算单材料、双材料、带孔、含裂纹等各种平面问题，加载条件可以是加集中力和加位移，因此，该程序的适用范围还是比较广的。)以上三个算例的自编程序所得结果与 abaqus 分析结果进行比较发现，两者的计算结果很接近，而且自编程序对于孔边应力集中和裂尖应力集中都能很好的表达，说明该程序有很好的精度。第三个算例在裂尖处数值上有些区别，但总的分布规律还是很吻合的，主要是因为本程序是用四节点等参单元，对于应力的奇异性表达效果还不是很好。八、附录 附录一：程序代码,#include#include#include#include#include float*float_two_array_malloc(int m,int n).n);void output()ft,sji);fprintf(fp2,n);fclose(fp2);printf(写入完成.n);void tecplot()ft%.4ft%.4ft%.4ft,xj+bl*pj*2,yj+bl*pj*2+1,pj*2,pj*2+1);for(i=0;i6;i+)fprintf(fp3,%.4ft,nsij);【fprintf(fp3,n);for(i=0;ine;i+)for(j=0;jnd;j+)fprintf(fp3,%dt,meji+1);【fprintf(fp3,n);fclose(fp3);printf(写入完成.n);】void fld().n);void fis(int ie).n);void cholesky(float*A).n);%void stress(int ie).n);void main()int i,j,k;float*A;input();fld();A=float_one_array_malloc(nn);for(i=0;inn;i+)Ai=0;.n);fr(A);cholesky(A);for(j=0;jne;j+)stress(j);printf(求单元应力完成.n);stress_average();output();tecplot();附录二：输入的原始数据的格式：9 4 3 1 4 2 3 1 3 0 /依 次 为np,ne,nr1,nr2,nd,nf,ld,nm,nu1,u1,nu2,u2-20 15 /各节点的 x,y 坐标-20 0-20-15 0 15 0 0 0-15 20 15 20 0 20-15 1 2 5 4 /各单元节点的整体编号 2 3 6 5 4 5 8 7 5 6 9 8 1 2 3 /x 方向约束为零的位移对应的节点编号 3 /y 方向约束为零的位移对应的节点编号 12 10 /集中力载荷 14 40 16 10 1 4 200 /材料信息起、止单元号，E，MU 7 8 9 /位移非零的节点号