(精品)光滑离散函数导数.ppt

课件制作课件制作:华东师范大学附属东昌中学华东师范大学附属东昌中学 费宗翔费宗翔资料来源资料来源:教育过程系统测评方法与实践教育过程系统测评方法与实践一、信息一、信息 对信息有不同的定义：对信息有不同的定义：“消息就是信消息就是信息息”，或，或“有用消息就是信息有用消息就是信息”等。华东等。华东师大师大信息科技信息科技教材定义为教材定义为“信息指数信息指数据、消息中包含的意义据、消息中包含的意义”。本书定义：没。本书定义：没有差异就没有世界，有差异就没有世界，差异就是信息差异就是信息。二、信息是有密度的二、信息是有密度的 电子数字计算机中的信息，都以离散电子数字计算机中的信息，都以离散脉冲表示。教育教学评价中，也碰到大量脉冲表示。教育教学评价中，也碰到大量离散数据。数据表达了某种实际意义，例离散数据。数据表达了某种实际意义，例如身高、体重、成绩、人数差异，因此是如身高、体重、成绩、人数差异，因此是信息。信息。信息密度定义信息密度定义 定义：设定义：设 为信息密度尺度，为信息密度尺度，简称为信息密度，记简称为信息密度，记映射映射测度测度则信息密度则信息密度二、信息是有密度的二、信息是有密度的将黑点看成一个个数据将黑点看成一个个数据信息密度低信息密度低信息密度高信息密度高二、信息是有密度的二、信息是有密度的有离散序列有离散序列 若取其中：若取其中：n n个数个数 则信息密度则信息密度故当离散序列中的数据全部用上时，信息密度最大。故当离散序列中的数据全部用上时，信息密度最大。5 5个数个数 2 2个数个数 连续函数有导数、微分和微分方程。近连续函数有导数、微分和微分方程。近2020年来，离散函数在导数、微分和微分方程年来，离散函数在导数、微分和微分方程建模上的成功突破，大大提高了实用数学模建模上的成功突破，大大提高了实用数学模型的精度（有的高达型的精度（有的高达99%99%以上）。以上）。三、离散数据的导数三、离散数据的导数1 1连续函数的导数连续函数的导数一元函数y=x(t)的导数一般形式定义为 定义：当函数在一点的左极限等于右极限并等于该点的函数值时，函数在该点连续。这是函数这是函数 的图像，该函数在的图像，该函数在点点p p处连续可导。处连续可导。pp2 2光滑离散函数的导数光滑离散函数的导数 当k足够大时，k时刻的函数值x(k)小于k时刻以前所有（离散）函数值之和，即时，称x(k)为光滑离散函数。定义：光滑离散函数的导数定义为3 3比较光滑离散函数和连续函数的导数比较光滑离散函数和连续函数的导数光滑离散函数的导数为一元函数y=x(t)的导数为离散函数信息密度离散函数信息密度足够大时：足够大时：t=1t=1 由光滑离散函数导数的定义知，导数是x(k)和x(k-1)的二元组合，并称之为导数偶对，记为（x(k)，x(k-1)）。光滑离散函数的导数，是偶对导数的映射4 4光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性 k不同，偶对就不同，导数dx/dt也不同。事实上，每一个dx/dt都是在一定的背景值(k)下得到的，故称(k)为k时刻导数dx/dt的背景值。4 4光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性4 4光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性 连续函数导数是在t 0条件下定义的。当t足够小时，导数偶对x(t)和x(t-t)几乎重合。背景值(t)到偶对x(t)和x(t-1)具有平射性。t 0时 (t)=x(t)=x(t-1)连续函数连续函数 光滑离散函数的导数，尽管时间间隔 t t 足够小，甚至也可以写成 t t 0 0，但是时区测度mx(k)，x(k-1)=1的性质却始终没变，对应的背景值(k)，应该取x(k)和x(k-1)中的哪一个，也始终存在，并成了问题的关键。4 4光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性 定理：当以偶对（x(t)，x(t-1)）的均值生成z1(k)为背景值(k)时，(k)到偶对（x(t)，x(t-1)）具有平射性。三、过程评价中的应用三、过程评价中的应用 过程评价：根据学生在学习过程中记录过程评价：根据学生在学习过程中记录下的一系列数据，对学生的学习效果和成绩下的一系列数据，对学生的学习效果和成绩给予评定。即，根据已知数据，推测出整体给予评定。即，根据已知数据，推测出整体发展情况和最终结果。发展情况和最终结果。例如：下图中，红点表示某一学生在学习过程中的一些已记录数据。数据较少，信息密度较低，数据较少，信息密度较低，数据较少，信息密度较低，数据较少，信息密度较低，构不成光滑离散函数，较难推构不成光滑离散函数，较难推构不成光滑离散函数，较难推构不成光滑离散函数，较难推测出学生的学习情况。测出学生的学习情况。测出学生的学习情况。测出学生的学习情况。数据多，信息密度高，构数据多，信息密度高，构数据多，信息密度高，构数据多，信息密度高，构成光滑离散函数，能比较准确成光滑离散函数，能比较准确成光滑离散函数，能比较准确成光滑离散函数，能比较准确的掌握学生的学习情况。的掌握学生的学习情况。的掌握学生的学习情况。的掌握学生的学习情况。三、过程评价中的应用三、过程评价中的应用 我们知道，连续函数的导数的几何意义我们知道，连续函数的导数的几何意义是在函数图像上某点的斜率是在函数图像上某点的斜率(k)(k)。k0,k0,是减函数，是减函数，f(x+f(x+x x)0,k0,是增函数，是增函数，f(x+f(x+x x)f(xf(x)，学生成绩处，学生成绩处于上升阶段；于上升阶段；k0k0时，若时，若k k值不断增加，学生成绩突飞猛进。值不断增加，学生成绩突飞猛进。k0k0时，若时，若k k值不断减小，成绩迅速下滑。值不断减小，成绩迅速下滑。三、过程评价中的应用三、过程评价中的应用 在光滑离散函数中，如何选取一点测斜在光滑离散函数中，如何选取一点测斜率呢？率呢？根据前面介绍的根据前面介绍的平射行平射行原理，选取偶原理，选取偶对（对（x(tx(t)，x(t-1)x(t-1)）的均值生成的均值生成z1(k)z1(k)为背为背景值景值(k(k)，并从该点，并从该点测斜率，可得出准确测斜率，可得出准确的发展情况。的发展情况。