第8讲. 复数的一般形式.docx

第1课时复数的代数形式一.复数的概念.复数：z = a+hi ( a.beR )强调。/eR1 .实部、虚部：1。（2）=。表示2 =。+沅的实部，1111（2）=/?表示2 = " +瓦的虚部z + z = 2 Re( z)z-z = 2 Im( z) i.复数的模：z=a2+b2 |zHz| |z|2=zz （分母实数化用得太多了）I 卒2 |二| 马 | | Z2 |事实上他给出了我们一个计算复数乘法（或者除法）的模的一个简单办法。就是模可 以分到每个因子上面 特别的|z|二|z|把i当成一个已知的未知数，从而进行四则混合运算（包括复数的内部运算）。例1.化简:3-4z4 + 3,2 + i-1 + 2/例2.计算Co - G3 G% +嘴、Coo - / +%100100解析：正负交叉周期为4,故而考虑把（l + x>°°赋值i (1 + O100 =+ C；oo ，+ Goo e / + c；oo ,+ Cjoq -i4 + + C'oJ -(l + 0100 =(2/)50 =-250因此 c；x）Go（）+ c；）（）-* H = -2、4 ,复数实数化的策略 例3 .已知复数z满足z + 2|z|=2 + i,求|z|解析：z = a+bi, a,b w R所以，2？+/ =2 + (l 4解得：b = l,。= 0,3例4.设复数Z满足I z 1=1,使得关于X的方程功2+22工+2 = 0有实根，则这样的复数Z的 和为 解析：设 z = a+)i, a,beR ,则？+/=1所以(q + bi)x2 + 2( - bi)x + 2 = 0因此以之 +2qx + 2 = 0, Zzx(x-2) = 0显然b=0或者%=2(1)当 =0时，解得。=1(2)当x = 2D寸，解得 =一,，b = 土叵443因此这样的复数z的和为-士2二、复数范围内的运算在复数与复数之间，提公因式，约分，完全平方公式，平方差公式；求根公式，韦达 定理；等式左右两边同时取模，取实部，同时乘方（开方不行一一解释原因）等等均可以 大胆使用.例 5.复数z3=l,则 z3+2z2+2z + 20 =解析：由 z3=l 得(z l)(z2+z + l) =。所以z = l,或者z?+z + l = 0因止匕 z3 +2z2 +2z + 20 = 25 或 19记住z3=l的三个根（学习了三角形式之后更好记）4、设方程r=1的一个虚根为，（为正整数）则苏+“+1 =解析：依题意（X 1）（工2+工+ 1） = 0,因此Q2+刃+ 1=0（1）当 =3攵时，疗 + +1 = 1 +1 +1 = 3（2）当 =34+1时，苏 + 69 + 1 = 692 + 69 + 1 = 0(3)当 =3左时,co + a）2 +1 = 05、复数满足% + , = 1,则2。+$=2JCJC6、若非零复数满足/+D+丁2=0,求（严19 +（二严19的值.2 x+ y x+ y7、已知复数。力满足|。|=1或|。|=1,且aw匕,求证：|0心|二1 -ab, a-b , , a-b , , a-b , , 1 , 1,解析：|一|=| "=1下-1=1 = 1=; = 1-ab aa-ab a（a-b） a a 三、几个原理实系数方程虚根成对原理即实系数一元n次方程，有一个虚数根，那么它的共朝复数也是这个方程的根（学了 第二课时给大家证明）注：奇次方程至少一个实根1例如x2+x + l = 0的两个根分别为一 一土 J22关于复数方程，求根公式韦达定理都可以用注：求根公式主要说的是二次方程，而韦达定理指的是高次方程的韦达定理1八例如工2+工+ 1 = 0的两个根分别为土 J（解释求根公式）22-2； + a/4/ + 8再比如/+2&+l-i = 0的求根公式为 （此处知识不够以后解释）2n次方程，在复数范围内有n个根（当然可以是重根）c比如z3=l的三个根分别为1, ± Z21、设实系数二次方程/ + px+9 = 0的两个根在复平面内分别对应于点A和点8,。是原点，aAOB是等边三角形，且边长为2,求的值解析：两个根为共辗复数，由图知或-百±i 这样根据韦达定理知p = -273,q = 4 ,或者 =26应=42、实系数方程/+公3+H2+5+4 =（）的根都不是实数，其中两个根的和为2 + j,另 两个根的积为5 + 6兀则b =A.ll B.13C.15D.前三个答案都不对解析：因为两个根的和为2 + i,所以这两个根不是互为共胡的两个根。因此设这两个根为西 + yi, x2 + y2i,另外两个根为刀yi, x2 - y2i故% +工2 = 2 ,丹 + % = 1, xxx2 -yxy2 =5 ,= -6由韦达定理知 ZZ +ZZ2 + Zj Z2 + ZjZ2 + z z2 + z2 z2 =b运算量较大解析：因为两个根的和为2 + i,所以这两个根不是互为共辗的两个根。设4个根分别为Z”Z2*3，Z4 ,令4*2互为共掘复数，Z3/4互为共辄复数，不妨Zj + z3 - 2 + i , z2z4 =5 + 6，=(Z + Z3)Z2 +(Z + Z3)z4 +4Z3 + z2z4 = (2 + i)(2 i) + 5 + 6i + 5 6i = 15后面题为了介绍韦达定理，虚根成对用到5=1 z|2 (事实上是第2课时内容)3、已知实系数方程d + 2(Z l)/+9x + 5(Z 1) = 0有一个模为逐的虚根，则左=解析：奇次方程必有一个实根记为2,另外两个虚根为土万，/+22=5 根据韦达定理a + bi + a-bi + m = -2(左 一 1)< ( + bi) (a - bi) + m(a + bi) + m(a -bi) = 9(a + bi)(a-bi)m - -5(左一 1)2a + m = -2(k-V)即=2解得攵= 3,1m = 一 (Z 1)解析：记这个方程的三个根分别为Z”Z2,23,因为奇次方程必有一个实根，不妨Z3为实根,互为共筑复数，Z|Z2=5,则 z + z2 + z3 = 2(/-1), z(z2 + z2z3 + z3Z1 = 9 , z1z2z3 = -5( 1)由(3)式得Z3=(女1),代入(1) (2)式得Zj + z9 (k 1) 9 5 (k 1)( Zj + z,) = 9联立解得攵= 3,1当然也可以把A*?实数化去解题，但是显然运算量大 练习题:az + h2、已知 a,b,c，d w R, co-，且当 Im(z)O 时，Im)>0 则(C )cz + cl/,ad+bc>0 B.ad+hc<0C. adbc>0D. adbc<Q3、已知 q,0,C£N+，且。=(。+ 4)3-107,，求 c198 4、已知复平面上的点A与点8对应的复数分别为2与万，线段上的动点P对应复数16-8y(0<y<2)16-8y(0<y<2)为z,若复数对应的点为。(x,y),则点。的轨迹方程为X29 o1-V55、复数|z|=l,若存在负数。使得z2242 + 4 = 0,则。=二_1、1、已知Z=,求，°°+z5°+l的值3、1 + zl°°°已知复数1 2 + z2=0,求56 Z