2022年新高考北京数学高考真题文档（原卷）.pdf

2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 .已知全集。=目-3%3 ,集合 A =x|-2 N。时,an 0”的（)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和IgP的关系，其 中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是b a r.下列结论中正确的是（）A.当7=220,P=1026时，二氧化碳处于液态B.当T=2 7 0,。=128时，二氧化碳处于气态C.当T=3（）0,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态8.若（2x-1）4=%/+“2*2+，则。（）+。2+。4=（）A.40 B.41 C.-40 D.-419.已 知 正 三 棱 锥P-ABC的 六 条 棱 长 均 为6,S是ABC及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合.设 集 合T=Q eS|PQK 5,则T表示的区域的面积为（）3兀A.4B.7 1 C.2兀 D.3兀10.在ZiABC中，AC=3,8C=4,NC=90.P为ABC所在平面内的动点，且PC=1,则 丽 丽的取值范围是（）A.-5,3 B.-3,5 C.-6,4 D.-4,6第二部分（非 选 择 题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.函 数/（）=工+/心 的定义域是.X2/o1 2.已知双曲线V+工=1的渐近线方程为y=X二尤，则m=_.m 31 3.若函数/(x)=A si n x -J i c osx 的一个零点为$则 4=；/信卜.ax+1,xa.1 5 .已知数列 a,J的各项均为正数，其前项和S“满足a,j S,=9(=1,2,).给出下列四个结论：,的第2项小于3；为 为等比数列；4 为递减数列；4 中存在小于荒的项.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6 .(本小题1 3 分)在 A B C 中，s i n 2 C =G s i n C .(I)求 NC；(I I)若b=6,且 A B C 的面积为6g,求 Z k A B C 的周长.1 7 .(本小题1 4 分)如图，在三棱柱A B C 44c l 中，侧面BCG片为正方形，平面BCGd _ L 平面ABg A,A B =5C=2,M,N分别为4g,AC的中点.(I)求证：MN 平面(I I)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线A3与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.条件：AB 1 M N ；条件：B M =M N .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.1 8 .（本小题1 3 分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0 m以 上（含9.5 0 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲:9.8 0,9.70,9.5 5,9.5 4,9.4 8,9.4 2,9.4 0,9.3 5,9.3 0,9.2 5；乙：9.7 8,9.5 6,9.5 1,9.3 6,9.3 2,9.2 3；丙：9.8 5,9.6 5,9.2 0,9.1 6.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（I I）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E X；（I I I）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）1 9 .（本小题1 5 分）2 2己知椭圆E:三+=1（。力 0）的一个顶点为A（0,l）,焦距为2 百.a b（I）求椭圆E的方程；（I I）过点P（-2,l）作斜率为/的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线A 8,AC分别与x轴交于点M,N,当|M N|=2 时，求 左的值.2 0 .（本小题1 5 分）己知函数/（x）=e ln（l+x）.（I）求曲线y =/（x）在点（0,/（0）处的切线方程；（I I）设 g（x）=/（x）,讨论函数g（x）在 0,+8）上的单调性；（U D 证明:对任意的 s,r e （0,+8）,W f（s+t）/（5）+/（?）.2 1 .（本小题1 5分）己 知 Q:%,4,%为 有 穷 整 数 数 列.给 定 正 整 数m,若对任意的 e l,2,加 ,在。中存在ai ,ai+l ai+2，,ai+j（J ），使得 aj +aM +ai+2 3-1 用+J =,则称 Q 为 连续可表数列.（I）判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由;（I I）若 Q：q,/，怎为8 连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（H I）若 Q:q,%，4 为2 0-连续可表数列，且4+4+%7.2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学参考答案第一部分（选 择 题 共 40分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.B 1 0.D第二部分（非选择题 共 110分）二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分.1 1.（f 0）5。山1 2.-31 3.1 .-V21 4.0 （答案不唯一）.11 5.三、解答题共6 小愿，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.（1）-6 6+67 317.（1）取AB的中点为K，连接MK,NK,由三棱柱43C 可得四边形A B B,为平行四边形，而瓦M=AM,，BK=必，则 MK/BB、,而MKU平面C 88C，8 g u平面C 88C，故M K 平面C B B C 1,而 CN=N4,BK=K4,则 N K/B C,同理可得 NK/平面 C B B ,而 NK AMK=K,N K,M K u平面M K N,故平面M K N H平面C B B ,而MN u平面M K N,故M N H平面C B B ,（2）因为侧面C B B 为正方形，故CB，BB,而CBu平面CB4G，平面C 8 g，平面ABgA,平面。?片G c平面A=8与，故C B 平面ABB1 4,因为N K/B C,故NK，平面A8瓦4 ,因为平面A 8 g 4，故 N K L A B,若选，则 A B LM N,而 N K 工 A B,N K M N =N,故AB_L平面M N K,而M K u 平面M N K,故所以ABL8耳，而CB_L3与，C B c A B =B,故8旦_1.平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,故 丽=（0,2,0）,丽=（1,0）,加=（0,1,2）,设平面B N M的法向量为n=（x,y,z）,则n-B N=0_ _ _ _ _.，从而，n-B M =0 x+y=0-/.八，取z=l，则=(-2,2,_1),y+2z=0 设直线AB与平面BNM所成的角为8,则sin 3=|cosn,A2?|=g-若选，因 N K U B C,故NKJ_平面,而KM u平面KN,故 N K 1 K M ,而 B、M =B K =1,NK=1,故 B、M =N K ,而 4 8=MK =2,M B =M N,故 ABB、M 三AMKN,所以 NBBM=N M K N=90 ,故 Ag BB,而C8L84，C B c AB =B,故平面A B C,故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),(0,l,2),故 丽=(0,2,0),丽=(1/,0),丽;=(),1,2),设平面B N M的法向量为n=(x,y,z),则n-B N -0一 _ _ _，从而n-BM=0y=0 一 /、取zi则”(I)，设直线A6与平面BMW所成的角为。，则/-A 4 2s i n，=c o s(n,A B)=-=一!2 x 3 3、71 8.(1)0.4(2)-5(3)丙1 9.(1)+y2=14-(2)k=Y2 0.(1)y =x(2)g(x)在(),+功上单调递增.(3)解：原不等式等价于/(s +f)-/)/)-/(0),4-m(x)=f(x+t)-f(x),(x,r 0),即证机(x)加(0),V mx=f(x+t)-f(x)=e+,l n(l +x +/)-er l n(l +x),e +，exmr(x)=e*l n(l +x +f)+-eA l n(l +x)-=g(x +/)g(x),1+x+Z 1+x由(2)知 8(/=八 刈=(1 11(1 +幻+!?在 0,伏)上单调递增，g(x+t)g(x),m (x)0.”(x)在(0,+8)上单调递增，又因为x,f 0,A m(x)m(0),所以命题得证.2 1.(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.(2)若 Z W 3,设为Q：a,6,c,则至多a +Z?,b +c,a +b +c,反c,6 个数字，没有8 个，矛盾；当=4 时，数列 Q：l,4,l,2 ,满足 4=1,包=2,a3+a4=3,a2=4 ,a1+a2=5 ,q +%+%=6，/+%+%=7，q +4 +%+%=8，=4.(3)。：q,g,4，若 =./最多有种，若 ij,最多有C；种，所以最多有二+C =(；+”种,若左 5,则4,生，4 至多可表空士=1 5 个数，矛盾，2从而若人7.