山东省烟台市2023届高三高考适应性练习（一)数学试题含答案.pdf

高三数学试题（第 1 页，共 4 页）D P OE BAC2023 年高考 适 应性 练习（一）数 学 注意事 项：1.本 试题 满分 150 分，考试 时 间为 120 分钟。2.答卷 前，务必 将姓 名和 准考证 号填 涂在 答题 纸上。3.使 用答 题纸 时，必须 使用 0.5 毫米 的黑 色签 字笔 书写，要字 迹工 整，笔迹 清晰；超出 答题区书 写的 答案 无效；在 草稿纸、试 题卷 上答 题无 效。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的 四个 选项中，只有一项符合题目要求。1.设 集合|+1 0 A xx=，|1 2xB yy=，则 AB=A.(1,0 B.0,1)C.(1,1)D.0,)+2.已知 复数 z 满足(1 i)i z+=，则 z 在复 平面内 对应 的点 位于A.第一 象限 B.第二 象限 C.第三 象限 D.第四 象限3.设201 2(1 2)nnnx a ax ax ax+=+，若322 aa=，则 n=A.4B.5 C.6 D.74.尺规 作图三 等分角 是古希 腊三 大几何 难题之一，现今 已 证明该 问题无 解.但借 助有 刻度的直尺、其 他曲 线等，可将 一个 角三 等分.古希 腊数 学家帕普斯曾提 出以 下作法：如 图，以 ACB 的顶点C 为圆 心作圆 交角的 两边于,AB 两点；取 线段 AB 的三 等分点,OD；以 B 为焦 点，,AD 为 顶点 作双 曲线，与 圆弧 AB 交于点 E，连接CE，则 3 ACB BCE=.若图中 CE 交 AB 于点 P，56 AP PB=，则 cos ACP=A.2425 B.1225 C.725 D.12255.函数(sin sin 2)yx x x=的部 分图 象大 致为6.口袋 中装 有编 号分 别为1,2,3 的三个 大小 和形 状完 全相 同的小 球，从中 任取 2 个球，记取出的 球的 最大 编号 为 X，则()DX=A.29B.49C.227D.83xxxxy y y yO1C.D.1OO1B.A.1O山东省烟台市2023届高三高考适应性练习（一)数学试题高三数学试题（第 2 页，共 4 页）7.若函数21()ln2f x x x ax=+有两个 极值 点12,xx，且12()()5 fx fx+，则 A.42 a B.22 a C.22 a D.42 a 8 九章 算术 是 我国 古代 的一部 数学 名著，书 中 记载了 一类 名为“羡 除”的五面 体.如图所示，在羡 除 ABCDEF 中，底面 ABCD 为 矩形，22 AB AD=，ADE 和 BCF 均为正 三角 形，/EF 平面 ABCD，3 EF=，则该 羡除 的 外接 球的 表面 积为 A.132 B.152 C.172 D.192 二、选择题：本题共4 小 题，每小题 5 分，共20 分。在每小题给出的选 项中，有多项符 合题目要求。全部选 对的 得5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得0 分。9.已知 函数()sin cos fx x x=，则 A.()fx 的 最小 正周 期为 B.)(x f 在0,2上单调 递增 C.直线4x=是()fx 图 象的 一条 对称轴 D.()fx 的 图象 可由 2 sin yx=的图象向 左 平移4个单位 长度 得到 10.已知 双曲 线C 经 过点6(,1)2，且 与椭圆22:12xy+=有 公共 的 焦点12,FF，点 M 为 椭圆 的上顶点，点 P 为C 上一 动点，则 A.双 曲线 C 的离心 率为2 B.6sin3MOP C.当 P 为C 与的交点 时，121cos3F PF=D.|PM 的最 小值 为1 11.如图，在棱 长为1 的正方体111 1ABCD A B C D 中，,EF 分别为 棱11 1,A D AA 的中 点，G为线段1BC 上一个 动点,则 A.存在 点G，使 直线1C B 平面 EFG B.存在 点G，使平 面/EFG 平面1BDC C.三棱 锥1A EFG 的体 积为 定值 D.平面 EFG 截正 方体 所得截 面 的最大 面积 为334 12.定义 在R 上的 函数()fx 满足()(4)0 fx f x+=，(2 2)fx+是偶函 数，(1)1 f=，则 A.()fx 是奇 函数 B.(2023)1 f=C.()fx 的图象 关于 直线 1 x=对称 D.1001(2 1)100kkf k=F E D C B A F E GB1D1A1C1DCBA高三数学试题（第 3 页，共 4 页）三、填空题：本题共4 小 题，每小题 5 分，共20 分。13.已知 向量(1,3)=a，|2=b，|2|25+=ab，则a 与b 夹角 的大小 为.14.若点(cos,sin)A 与(sin(),cos()33B+关于x轴 对称，则 的一个 可能 取 值为.15.已知 点 P 为x轴上的 一 个动点，过 P 的 直线 与圆228 12 0 xy x+=相交于,AB 两 点，则弦 AB 中点的 轨迹 的最 大长度 为.16.给定 数列 A，定 义 A 上的 加 密算法if：当 i 为奇 数时，将 A 中 各奇数 项 的值 均 增加i，各偶数 项的值 均 减去1；当 i 为偶数时，将 A 中各偶数 项的 值 均 增加 2i，各 奇数 项 的值均 减去 2，并记新得到的数列为()ifA*()i N 设 数列0B：2,0,2,3,5,7，数列1()n nnB fB=，*()n N，则 数列2B 为；数列2nB 的所有 项的 和为.（本 小题 第一空 2 分，第二 空 3 分）四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出 文字说明、证明过程 或演 算步骤。17.（10 分）已知 ABC 的 内角 C B A,的对边分 别为 c b a,，且22sin()ac B b a c=.（1）求sin B；（2）求222bac+的最小 值.18.（12 分）已知nS 为数列 na 的前 n 项和，11=a，且2nnna S n n=，*n N.（1）求 数列 na 的通项 公式；（2）若)1 2)(1 2(21=+n nna aanb，求数列 nb 的前 n 项和nT.19.（12 分）如图，在圆 台1OO 中，11,A B AB 分别为上、下 底面 直径，1124 AB A B=，C 为AB的 中点，M 为线段 BC 的 中点，1CC 为圆台 的母 线，1CM 与 圆台下底 面所成的角 为 45（1）证 明：1CC 平面1OBC；（2）求 平面1OMC 与平面1BMC 夹 角的余弦值.20.（12 分）已知 函数2()exxfx=.（1）求()fx 的单调 区间；（2）当 1 x 时，()(1 ln)0 fx k x+，求实 数 k 的取 值范围.MA1C1BAOO1B1C高三数学试题（第 4 页，共 4 页）21.（12 分）某 企业 拥有甲、乙 两条 零件 生产 线，为了解 零件 质量 情况，采用 随 机抽 样方法从两 条生 产线 共抽 取180 个零 件，测量 其尺 寸（单位:mm）得 到 如下 统计 表，其中尺寸位 于55,58)的零件 为一 等品，位于54,55)和58,59)的零件 为二 等品，否则 零件为三等 品.生产线 53,54 54,55)55,56)56,57)57,58)58,59)59,60 甲 4 9 23 28 24 10 2 乙 2 14 15 17 16 15 1（1）完成 22 列联表，依据 0.05=的 独立性检验能否认为 零件 为一等品与 生 产线有关联?（2）将 样本 频率 视为 概率，从甲、乙 两条 生产 线中分 别随 机抽 取 2 个零件，每次抽 取零 件互 不影响，以表示这 4 个零 件 中一等 品的 数量，求的 分布 列和 数学 期望()E；（3）已知该 企业生产 的零 件随机装箱 出售，每 箱 60 个.产品出厂前，该企业 可自愿 选择是否 对 每箱 零件 进行 检验.若执 行检 验，则每 个零件 的 检验 费用 为5 元，并 将检 验出的三等品更 换为一等 品或 二等品；若 不执行检 验，则对卖出的 每个三等 品零件支付120 元赔偿 费用.现 对一 箱零件 随机检验 了10 个，检出 了1 个三等品.将 从两 条 生产线抽取的 所有 样本 数据 的频 率视为 概率，以整 箱检 验 费用与 赔偿 费用 之和 的期 望作为 决策依据，是 否需 要对 该箱 余下的 所有 零件 进行 检验？请说 明理 由.附：22()()()()()n ad bcab cdac bd=+，其中 nabcd=+；0.053.841 x=.22.（12 分）在 平面 直角 坐标系xOy中，,PQ是抛物 线C:2xy=上 两点（异 于点O），过点 P 且与C 相切的 直线l 交x轴于点 M，且 直线OQ与l 的斜率 乘 积为 2.（1）求 证：直线PQ过定点，并求此 定点 D 的坐 标；（2）过 M 作l 的垂 线交 椭圆2214xy+=于,AB 两点，过 D 作l 的 平 行线 交直线 AB 于 H，记 OPQ 的面积 为 S,ABD 的面 积为T.（i）当2TS取最 大值 时，求点 P 的纵坐标；（ii）证 明：存在 定点G，使|GH 为 定值.一等品 非一等 品 甲 乙 高三数学答案（第 1 页，共 6 页）2023 年高考适应性练习（一）数学参考答案及评分标准 一、选择题 B D B C C A C D 二、选择题 9.BC 10.ACD 11.ACD 12.ABD 三、填空题 13.4 14.如：12（答案 不唯 一）15.2 16.1,3,1,6,4,10，29 3 19 nn+四、解答题 17.解：（1）由 余弦 定理 知 2 222 cos b a c ac B=+,1 分 所以22sin()2 cos 2 ac B b a c ac B ac=+，所以 2 cos 2 sin=+B B，3 分 又因为 1 cos sin2 2=+B B，所以25sin 4sin 0 BB=，在 ABC 中，sin 0 B,所以54sin=B.5 分（2）由（1）知 ac c a b562 2 2+=，所以222 22615b acac ac=+7 分 625125acac=,当且 仅当ac=时等号 成立.所以222bac+的最小 值为52.10 分 18.解：（1）因 为 n n S nan n=2，所以)1()1()121 1=n n S a nn n（2 n），两式相 减得 2 2)1(1=n a a n nan n n，2 分 化简得)2(21=n a an n，4 分 所以数 列 na 是以1 为首项，2 为公差 的等 差数 列，所以 1 2 2)1(1=+=n n an.6 分 高三数学答案（第 2 页，共 6 页）（2）)1 211 21(31)1 2)(1 2(21 2 1 2 1 2 1 21 2=+n n n nnnb，9 分 所以12.nnTbb b=+)1 211 21.1 211 211 211 21(311 2 1 2 5 3 3+=+n n)1 211(311 2=+n 所以2111(1)32 1n nT+=.12 分 19.解：（1）证明：连接1 11,OO CO，则1OO 平面ABC.因为1CC为母线，所以11CCOO四点共 面，且11/OC OC.取CO 中点N，连 接 1,C N MN.因为1124 AB AB=，则111 ON CO=，所以四 边形11ONCO为平 行四 边形.所以11/CN OO，所以1CN 平面ABC.所以1CMN 为1CM与 底面 所成 角，即145 CMN=.2 分 在1Rt C NO 中，11 C N NO=，所以12 CO=，同理12 CC=.在1CCO 中，2 2211CO CO CC=+，所以11CC CO.4 分 因为1OO 平面ABC,AB 平面ABC，所以1OO AB.因为C 为AB的中 点，所以AB CO，又1OC OO O=,所以AB 平面11COOC，又1CC 平面11COOC，所以1CC AB.5 分 又因为11CC CO，1AB CO O=，所以1CC 平面1BOC；6 分（2）以O 为 原点，分 别以,1,OC OBOO 所在的 方向 为,xyz的正方 向，建 立空 间直 角坐标系O xyz，则(2,0,0)C，(0,0,0)O，(0,2,0)B，1(1,0,1)C，(1,1,0)M，所以(1,1,0)BM=，1(1,2,1)BC=，(1,1,0)OM=，1(1,0,1)OC=.7 分 设平面1BMC的一个 法向 量为1 1 11(,)xyz=n，由11100BMBC=nn，得111 11020 xyx yz=+=，令11 x=，得111 yz=，所以1(1,1,1)=n.9 分 NzyxCB1O1OABC1A1M高三数学答案（第 3 页，共 6 页）设平面1OMC的一个 法向 量为2 2 22(,)xyz=n，由22100OMOC=nn，则222200 xyxz+=+=.令21 x=，得21 y=，21 z=，所以2(1,1,1)=n，11 分 设平面1OMC与 平面1BMC夹角为，则12111 1cos|cos,|3 33=nn.所以平 面1OMC与平面1BMC夹 角的 余弦 值为13.12 分 20.解：（1）22()exxxfx+=，2 分 令()0 fx，得 02 x，此时()fx 在(0,2)上为 增函 数；令()0 fx，得 0 x，此时()fx 在(,0)和(2,)+上为 减函 数；4 分 综上，()fx 的 单调 增区 间为(0,2)，单调 减区 间为(,0)和(2,)+.5 分（2）法一：当 1 x 时，1 ln 0 x+，所以2e(ln)xxkx+.7 分 设2()(1)e(ln)xxgx xx=+，则2222 ln ln()e(ln)xx xxx x xgxx+=+，8 分 设22()2 ln ln hx x x x x x x=+，则()hx(1)(3 2ln)xx=+，9 分 当 1 x 时，恒有3 2ln 0 x+，()0 hx，()hx 在(1,)+单增，所以()(1)0 hx h=恒成立，即()0 gx，所以()gx 在(1,)+单增.10 分 所以当 1 x 时，1()(1)egx g=，所以k 的取值 范围 为1(,e.12 分 法二：由 1 x 可得(ln)exxk xx+，即为1 lne(1 ln)eexxxk x+；8 分 因为 1 x，所以ln 1ln 10exx+，可得1 lnee1 lnexxxkx+恒成立.设()exxgx=，则1()exxgx=.当 1 x 时，()0 gx 在(1,)+上恒 成立.令()ln hx x x=，11()1 0 xhxxx=，所以()hx 在(1,)+上单调 递增，得()(1)1 hx h=，所以 1 ln 1 xx+.10 分 所以()(1 ln)gx g x+，即1 ln1 lneexxxx+，所以1 lne11 lnexxxx+，高三数学答案（第 4 页，共 6 页）所以 e1 k，可得1ek,所以k 的取 值范 围为1(,e.12 分 21.解：（1）由题 意得 列联 表如 下：一等品 非一等品 甲 75 25 乙 48 32 1 分 22180(75 32 48 25)4.621123 57 100 80=，2 分 因为0.054.621 3.841 x=，依据 小概 率值 0.05=的独 立性 检验，可以 认为 零件是 否为 一等 品与 生 产线 有 关联.3 分（2）由 已知 任取 一个 甲生产 线零 件为 一等品 的 概率 为23 28 24 3100 4+=，任取 一个 乙生 产线 零件 为一 等品 的概 率为15 17 16 380 5+=.4 分 的所有 可能 取值 为 0,1,2,3,4.1122 4(0)4 4 5 5 400P=，1 21 2221 3 2 2 3 1 36(1)()()4 4 5 5 5 4 400PC C=+=，2 2 2 21 1223 2 1 3 1 3 2 3 117(2)()()()()()4 5 4 5 4 4 5 5 400P CC=+=，21 1 2223 2 3 1 3 3 162(3)()()4 5 5 4 4 5 400P CC=+=，223 3 81(4)()()4 5 400P=，6 分 所以 的分布 列为 0 1 2 3 4 P 4400 36400 117400 162400 81400 7 分 4 36 117 162 81 27()01234400 400 400 400 400 10E=+=.8 分 高三数学答案（第 5 页，共 6 页）（3）由已 知，每个 零件 为三 等品 的频 率为4221 1180 20+=，设余下 的50 个零件 中的 三等 品个 数为X，则1(50,)20XB，9 分 所以15()5020 2EX=.设检验 费用 与赔 偿费 用之 和为Y.若不对 余下 的所 有零 件进 行检 验，则 10 5 120 YX=+,5()50 120()50 120 3502EY EX=+=+=.10 分 若对余 下的 所有 零件 进行 检验，则 检验 费用 60 5 300=元.11 分 因为350 300，所以 应对 剩下 零件 进行 检验.12 分 22.解：（1）设2211 2 2(,),(,)Pxx Qx x，因为 2 yx=，所以l 斜率12lkx=，1 分 所以直 线OQ 斜率11OQkx=，即222210 10 xxxx=,2 分 所以221212 112 11PQxxk xxxxx x=+=，所以PQ 的方程 为211 111()()yx x xxx=，即111()1 yx xx=+，3 分 所以直线PQ 过定点D(0,1)；4 分（2）（i）12 1 11111|111|22|2S OD OD xx x xxx=+=+=，5 分 l 的方程 为21112()yx xxx=，令 0 y=，得1(,0)2xM，所以直线AB 的方程 为111()22xyxx=，即1124xyx=+，所以直线AB 过定点1(0,)4N.6 分 将1124xyx=+与2214xy+=联立，得22111 15(1)04xxxx+=.显然 0，设33 44(,),(,)Ax y Bx y，则134 211xxxx+=+，2134 21154(1)xxxx=+.所以23 4 3 4 34|=()4 x x x x xx+42 211 2 1122 211 115 16 15()11 1xx xxxx x+=+=+，所以421134 2113|1|216815T NDxxxxx=+，7 分 高三数学答案（第 6 页，共 6 页）所以421186 211 1232111215 1615 16 11(1)|1324 3124xxxx xxxxTS=+，令21tx=，则 0 t，43 4233615 16 15 16(1)33(1 22)tt ttTStt+=+，8 分 设43615 1()61)ftttt=+，0 t，则2276(5(1)2 8)()tt tftt+=.令()0 ft=，得1 415t+=（负根 舍去），当1 41(0,)5t+时，()0 ft，()ft 单 增；当1 41(,)5t+时，()0 ft，()ft 单 减；所以 当1 415t+=时，()ft 取 得最大 值，即2TS取得最 大值，此 时P 的纵坐 标为211 415Pyx+=.9 分（ii）证 明：因为 直线AB 过定点1(0,)4N，DH 平行于l，所以DH NH，所以点H 在以DN 为直 径的 圆上.10 分 设G 为DN 中点，则5(0,)8G，且13|28GH DN=,所以存 在定 点5(0,)8G，使得|GH 为 定值.12 分