高等量子力学第四章表象理论.ppt

4 表象理论表象理论 4-1 矢量和算符的矩阵表示矢量和算符的矩阵表示4-2 表象变换表象变换4-3 若干矩阵计算若干矩阵计算4-4 连续本征值情况连续本征值情况4-1 矢量和算符的矩阵表示矢量和算符的矩阵表示K表象表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用，用它们的共同本征矢量作为基矢：它们的共同本征矢量作为基矢：完备性关系：完备性关系：一、矢量的矩阵表示一、矢量的矩阵表示右矢对应于一列矩阵：右矢对应于一列矩阵：(4.1)将左矢对应一行矩阵：将左矢对应一行矩阵：(4.2)二、内积的矩阵表示二、内积的矩阵表示三、算符的矩阵表示三、算符的矩阵表示算符对应于方矩阵：算符对应于方矩阵：四、公式的矩阵表示：四、公式的矩阵表示：(4.3)(4.4)(4.5)于是有于是有即即本征值方程：本征值方程：移项，得移项，得久期方程：久期方程：解久期方程得本征值：解久期方程得本征值：代入本征方程可得本征矢量：代入本征方程可得本征矢量：4-2 表象变换表象变换（4.7）两组基之间的关系是两组基之间的关系是（4.8）（4.9）（4.10）式中式中（4.11）显然显然（4.12）（4.13）（4.14）即即即即（4.15）1、矢量的表象变换矢量的表象变换或写成矩阵形式：或写成矩阵形式：（4.16）同样，相反的关系是同样，相反的关系是（4.17）（4.15）和（）和（4.17）两式就是矢量的表象变换。）两式就是矢量的表象变换。2、算符的表象变换算符的表象变换 右边是三个矩阵相乘，相反的关系是右边是三个矩阵相乘，相反的关系是（4.18）、（）、（4.19）式就是算符的表象变换。）式就是算符的表象变换。于是于是即即（4.18）（4.19）4-3 若干矩阵运算若干矩阵运算1、矩阵的迹、矩阵的迹：迹的重要性质是迹的重要性质是(4.20)(4.21)2、矩阵的行列式、矩阵的行列式 det(4.22)矩阵的行列式的最重要的性质是矩阵的行列式的最重要的性质是 证明：证明：det 3、矩阵的相似变换、矩阵的相似变换 我们定义我们定义:一个算符的迹和行列式为在任何表象中的矩阵的一个算符的迹和行列式为在任何表象中的矩阵的迹和行列式，因为后者的值在表象变换下是不变的。迹和行列式，因为后者的值在表象变换下是不变的。(4.25)(4.26)定理：定理：任何厄米矩阵都可以通过相似变换（实际上是幺正变换）任何厄米矩阵都可以通过相似变换（实际上是幺正变换）成为对角矩阵。成为对角矩阵。（4.27）（4.28）这个幺正矩阵这个幺正矩阵U就可以把厄米矩阵就可以把厄米矩阵A对角化。对角化。所以所以其次证明厄米矩阵其次证明厄米矩阵A经过经过U的幺正变换后确是对角矩阵。的幺正变换后确是对角矩阵。于是，于是，上式成为上式成为4-4 连续本征值情况连续本征值情况 设在无穷维空间中取设在无穷维空间中取K表象，而厄米算符（或对易的厄米表象，而厄米算符（或对易的厄米算符完备组）算符完备组）K具有在某一区间内的连续本征值谱。具有在某一区间内的连续本征值谱。完全性关系：完全性关系：(4.30)(4.31)(4.32)两个矢量的内积可以用函数形式表出：两个矢量的内积可以用函数形式表出：(4.33)(4.34)K表象：表象：而所有的运算都是矩阵的乘法，对于连续表象，原来对而所有的运算都是矩阵的乘法，对于连续表象，原来对i的取和的取和改变为对改变为对k的积分。的积分。