2022考研数学一真题及答案.pdf

20212021 考研数学一真题及答案考研数学一真题及答案一、选择题18 小题每题 4 分，共 32 分以下曲线有渐近线的是Ay y x x sinsinx xBy y x x sinsinx x2Cy y x x sinsin112Dy y x x sinsinx xx x【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以【详解详解】对于y y x x sinsin近线y y x x应该选C2 2设函数设函数f f(x x)具有二阶导数，具有二阶导数，g g(x x)f f(0)()(1 x x)f f(1)x x，那么在，那么在 0,1 上上A A当当f f (x x)0时，时，f f(x x)g g(x x)B B当当f f (x x)0时，时，f f(x x)g g(x x)C C当当f f (x x)0时，时，f f(x x)g g(x x)D D当当f f (x x)0时，时，f f(x x)g g(x x)【分析】此题考察的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解详解 1 1】假如对曲线在区间 a a,b b 上凹凸的定义比拟熟悉的话，可以直接做出判断假如对区间上任意两点x x1,x x2及常数0 1，恒有1y y1，可知limlim 1且limlim(y y x x)limlimsinsin 0，所以有斜渐x x x xx x x x x xx xf f(1 )x x1 x x2 (1 )f f(x x1)f f(x x2)，那么曲线是凸的显然此题中x x1 0,x x2 1,x x，那么(1 )f f(x x1)f f(x x2)f f(0)()(1 x x)f f(1)x x g g(x x)，而，而f f(1 )x x1 x x2 f f(x x)，故当f f (x x)0时，时，曲线是凸的，即f f(1 )x x1 x x2 (1 )f f(x x1)f f(x x2)，也就是f f(x x)g g(x x)，应该选C【详解详解 2 2】假如对曲线在区间 a a,b b 上凹凸的定义不熟悉的话，可令F F(x x)f f(x x)g g(x x)f f(x x)f f(0)()(1 x x)f f(1)x x，那么F F(0)F F(1)0，且1 F F(x x)f f(x x)，故当f f (x x)0时，时，曲线是凸的，从而F F(x x)F F(0)F F(1)0，即F F(x x)f f(x x)g g(x x)0，也就是f f(x x)g g(x x)，应该选C3设f f(x x)是连续函数，那么11 y y 1 y y2 dydy 00f f(x x,y y)dydy 1 x x2 dxdx 01x x 101 x x1f f(x x,y y)dydy dxdx 10 100f f(x x,y y)dydyf f(x x,y y)dydy 21coscos sinsin 0 10dxdx 0f f(x x,y y)dydy dxdx 1 x x2(20d d d d 1coscos sinsin 0f f(r rcoscos,r rsinsin)drdr d d 2f f(r rcoscos,r rsinsin)drdr 201coscos sinsin 0f f(r rcoscos,r rsinsin)rdrrdr d d 1coscos sinsin 0f f(r rcoscos,r rsinsin)rdrrdr【分析】此题考察二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图【详解详解】积分区域如下图假如换成直角坐标那么应该是 0 1dxdx 1 x x20f f(x x,y y)dydy dxdx 011 x x0A，Bf f(x x,y y)dydy，两个选择项都不正确；假如换成极坐标那么为 20d d 1coscos sinsin 0f f(r rcoscos,r rsinsin)rdrrdr d d 2 1coscos sinsin 0f f(r rcoscos,r rsinsin)rdrrdr应该选D假设函数 (x x a a coscos x x b b sinsinx x)11 2dxdx minmin(x x a acoscos x x b bsinsinx x)2dxdx，那么a a,b b R R a a1coscos x x b b1sinsinx x 2sinsinx x2coscos x x2 sinsinx x2 coscos x x【详详解解】注意232x x dxdx 3，coscos2x xdxdx sinsin2x xdxdx 2，x xcoscos x xdxdx coscos x xsinsinx xdxdx 0，2 x xsinsinx xdxdx 2，所以23 222(x x a acoscos x x b bsinsinx x)dxdx (a a b b)4 b b 32 22所以就相当于求函数a a b b 4b b的极小值点，显然可知当a a 0,b b 2时获得最小值，所以应该选A 0a a5行列式b b0b b等于0a a000c cd dc c00d d22A(adad bcbc)B(adad bcbc)Ca a d d b b c cD a a d d b b c c【详解详解】22222222a a0b ba a0b ba a00b b a a 0d d0 b b0c c00c cd d0c c0d dc c0d dc c00d d adada ab bc cd d bcbca ab bc cd d0a ab b0 adad(adad bcbc)bcbc(adad bcbc)(adad bcbc)2应该选B 6设 1,2,3是三维向量，那么对任意的常数k k,l l，向量 1 k k 3，2 l l 3线性无关是向量 1,2,3线性无关的A必要而非充分条件B充分而非必要条件C充分必要条件D 非充分非必要条件【详解详解】假设向量 1,2,3线性无关，那么 10 1 k k 3，2 l l 3(1,2,3)01 (1,2,3)K K，对任意的常数k k,l l，矩 k kl l 阵K K的秩都等于 2，所以向量 1 k k 3，2 l l 3一定线性无关3 1 0 0 而当 1 0,2 1,3 0 时，对任意的常数k k,l l，向量 1 k k 3，2 l l 3线性 0 0 0 无关，但 1,2,3线性相关；应选择A 7 7设事件设事件 A A，B B 想到独立，想到独立，P P(B B)0.5,P P(A A B B)0.3那么那么P P(B B A A)A A0.1 0.1 B B0.2 0.2 C C0.3 0.3 D D0.4 0.4【详解详解】P P(A A B B)0.3 P P(A A)P P(ABAB)P P(A A)P P(A A)P P(B B)P P(A A)0.5P P(A A)0.5P P(A A)所以P P(A A)0.6，P P(B B A A)P P(B B)P P(ABAB)0.5 0.5P P(A A)0.2应选择B 8设连续型随机变量X X1,X X2互相独立，且方差均存在，X X1,X X2的概率密度分别为f f1(x x),),f f2(x x)，随 机 变 量Y Y1的 概 率密度 为f fY Y1(y y)1(X X1 X X2)，那么21(f f1(y y)f f2(y y)，随 机 变 量2Y Y2 AEYEY1 EYEY2,DYDY1 DYDY2BEYEY1 EYEY2,DYDY1 DYDY2CEYEY1 EYEY2,DYDY1 DYDY2DEYEY1 EYEY2,DYDY1 DYDY211【详解详解】EYEY1 y y(f f1(y y)f f2(y y)dydy EXEX1 EXEX2 E E(Y Y2)，2 2EYEY12 121122y y(f f(y y)f f(y y)dydy EXEX EXEX1212，222111112EXEX12 EXEX2 E E2(X X1)E E2(X X2)E E(X X1)E E(X X2)22442111112 D D(X X1)D D(X X2)E E X X1 X X2 D D(X X1)D D(X X2)DYDY244444DYDY1 E E(Y Y12)E E2(Y Y1)故应该选择D 二、填空题此题共 6 小题，每题 4 分，总分值 24 分.把答案填在题中横线上9 9曲面曲面z z x x(1 sinsin y y)y y(1 sinsinx x)在点在点(1,0,1)处的切平面方程为处的切平面方程为224【详详 解解】曲曲 面面z z x x(1 sinsin y y)y y(1 sinsinx x)在在 点点(1,0,1)处处 的的 法法 向向 量量 为为22z zx x,z zy y,1|(1,0,1)(2,1,1)，所以切平面方程为，所以切平面方程为2(x x 1)(1)()(y y 0)(1)()(z z 1)0，即即2x x y y z z 1 010 设f f(x x)为 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数，且f f(x x)2(x x 1),),x x 0,2，那 么f f(7)【详解详解】当x x 0,2时，f f(x x)2 2(x x 1)dxdx x x2 2x x C C，由f f(0)0可知C C 0，即f f(x x)x x 2x x；f f(x x)为周期为 4 奇函数，故f f(7)f f(1)f f(1)111微分方程xyxy y y(ln(lnx x lnln y y)0满足y y(1)e e的解为3【详解详解】方程的标准形式为dydyy yy yy y lnln，这是一个齐次型方程，设u u，得到通解为x xdxdxx xx xy y xexeCxCx 1，将初始条件y y(1)e e3代入可得特解为y y xexe2x x 112设L L是柱面x x y y 1和平面y y z z 0的交线，从z z轴正方向往负方向看是逆时针方向，那么曲线积分22 L Lzdxzdx ydzydz dydzdydzdzdxdzdxdxdydxdy 【详解详解】由斯托克斯公式 PdxPdx QdyQdy RdzRdz 可知L L x x y y z z P PQ QR R L Lzdxzdx ydzydz dydzdydz dzdxdzdx dxdydxdy D Dxyxy dxdydxdy 22其中:y y z z 0 x x y y 122取上侧，D Dxyxy(x x,y y)|x x y y 12213设二次型f f(x x1,x x2,x x3)x x1 x x2 2axax1x x3 4x x2x x3的负惯性指数是 1，那么a a的取值范围是【详解详解】由配方法可知2f f(x x1,x x2,x x3)x x12 x x2 2axax1x x3 4x x2x x3(x x1 axax3)(x x2 2x x3)(4 a a)x x222223由于负惯性指数为 1，故必需要求4 a a 0，所以a a的取值范围是 2,2 5 2x x,x x 2 14设总体 X 的概率密度为f f(x x,)3 2，其中 是未知参数，0,其它其它X X1,X X2,X Xn n是来自总体的简单样本，假设C C X Xi i2是 2的无偏估计，那么常数i i 1n nC C=【详解详解】E E(X X)2 n n n n2 2x x52522C CX X ，所以，由于是x xdxdx E E C CX X CnCn i i i i2 23 2i i 1 i i 1 252 2的无偏估计，故CnCn 1，C C 25n n三、解答题15 此题总分值 10 分 求极限limlimx xx x1(t t2(e e 1)t t)dt dt1x x2ln(ln(1)x x1t t【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法那么求未定型极限【详解详解】x x1x x2ln(ln(1)x x111 1 limlim x x2(o o()x x 22x x x x2x xx x 2x x limlimx x1(t t(e e 1)t t)dt dt21t t limlimx x1(t t(e e 1)t t)dt dtx x21t t limlim(x x(e e 1)x x)x x 21x x16 此题总分值 10 分设函数y y f f(x x)由方程y y xyxy x x y y 6 0确定，求f f(x x)的极值【详解详解】解：在方程两边同时对x x求导一次，得到322(3y y2 2xyxy x x2)y y (y y2 2xyxy)0，即dydy y y2 2xyxy dxdx3y y2 2xyxy x x26 令dydy 0及y y3 xyxy2 x x2y y 6 0，得到函数唯一驻点x x 1,y y 2dxdx在式两边同时对x x求导一次，得到(6yyyy 4y y 2xyxy 4x x)y y (3y y 2xyxy x x)y y 2y y 0把x x 1,y y 2,y y(1)0代入，得到y y(1)224 0，9所以函数y y f f(x x)在x x 1处获得极小值y y 217 此题总分值 10 分 2z z 2z zz z f f(e e coscos y y)满足2 2(4z z e ex xcoscos y y)e e2x x设函数f f(u u)具有二阶连续导数，假 x x y yx x设f f(0)0,f f(0)0，求f f(u u)的表达式【详解详解】设u u e e coscos y y，那么z z f f(u u)f f(e e coscos y y)，x xx x z z f f(u u)e ex xcoscos y y,x x 2z z f f(u u)e e2x xcoscos2y y f f(u u)e ex xcoscos y y;2 x x z z 2z zx x2x x2x x f f (u u)e e sinsin y y,f f(u u)e esinsin y y f f (u u)e e coscos y y；2 y y y y 2z z 2z z 2 f f(u u)e e2x x f f(e ex xcoscos y y)e e2x x2 x x y y 2z z 2z zx x2x x(4z z e e coscos y y)e e由条件2，2 x x y y可知f f(u u)4f f(u u)u u这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：f f(u u)C C1e e2u u C C2e e 2u u其中C C1,C C2为任意常数对应非齐次方程特解可求得为y y*1u u4故非齐次方程通解为f f(u u)C C1e e2u u1 C C2e e 2u u u u47 将初始条件f f(0)0,f f(0)0代入，可得C C1 11,C C2 1616所以f f(u u)的表达式为f f(u u)18 此题总分值 10 分12u u1 2u u1e e e e u u16164设曲面:z z x x y y(z z 1)的上侧，计算曲面积分：33(x x 1)dydzdydz(y y 1)dzdxdzdx(z z 1)dxdydxdy 22【详解详解】z z 1设 1:2取下侧，记由,1所围立体为，那么高斯公式可得2x x y y 1 13322(x x 1)dydzdydz(y y 1)dzdxdzdx(z z 1)dxdydxdy (3(x x 1)3(y y 1)1)dxdydzdxdydz (3x x2 3y y2 7 6x x 6y y)dxdydzdxdydz (3x x 3y y 7)dxdydzdxdydz 22 d d rdrrdr 2(3r r2 7)dzdz 4 00r r2 11在 z z 1 1:22 x x y y 133取下侧上，(x x 1)dydzdydz(y y 1)dzdxdzdx(z z 1)dxdydxdy (1 1)dxdydxdy 0，1 1所以(x x 1)dydzdydz(y y 1)dzdxdzdx(z z 1)dxdydxdy 133=(x x 1)dydzdydz(y y 1)dzdxdzdx(z z 1)dxdydxdy 4 23319 此题总分值 10 分设数列 a an n,b bn n 满足0 a an n（1）证明limlima an n 0；n n,0 b bn n 2，coscosa an n a an n coscosb bn n且级数 b bn n 1 n n收敛8（2）证明级数 a an n收敛n n 1b bn n【详解详解】1证明：由coscosa an n a an n coscosb bn n，及0 a an n 2,0 b b n n 2可得0 a a n n coscosa an n coscosb bn n 2，所以0 a an n b bn n 2，由于级数 b bn n收敛，所以级数a an n也收敛，由收敛的必要条件可得limlimn n a an n 0n n 1 n n 12证明：由于0 a an n 2,0 b bn n 2，所以sinsina an n b bn n a an n b bn n2,sinsinb bn n a an nb bn n a an n22 2b ba a2sinsina an n n nsinsinb bn n a an nn n22b b coscosa an n coscosb bn nb b n nn nb bn n2a an n b bn nb bn n a an n 22 b b222n n a an n b bn n b bn nb bn n2b bn n2b bn n2 由于级数b ba an nn n收敛，由正项级数的比拟审敛法可知级数收敛n n 1 n n 1b bn n20 此题总分值 11 分 1 设A A 23 4 01 11 ，E 为三阶单位矩阵 1203 （1）求方程组AXAX 0的一个根底解系；（2）求满足ABAB E E的所有矩阵【详解详解】1对系数矩阵 A 进展初等行变换如下：1 23 4 1 23 4 1 A A 01 11 01 11 23 4 01 11 10 01 1203 04 31 001 3 00，9 01 0 2 1 3 得到方程组AXAX 0同解方程组 x x1 x x4 x x2 2x x4 x x 3x x4 3 1 2 得到AXAX 0的一个根底解系 1 3 1 x x1 x x22显然 B 矩阵是一个4 3矩阵，设B B x x 3 x x 4对矩阵(AEAE)进展进展初等行变换如下：y y1y y2y y3y y4z z1 z z2 z z3 z z4 1 23 4100 1 2 (AEAE)01 11010 01 12 03001 0400 100 1 23 41 01 11010 010 00 1 3 1 41 001由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为3 1 3 41100 010 101 1126 1 2 1 31 3 1 41 x x1 2 1 y y1 6 1 z z1 1 1 x xy yz z 12 321 2 2 2 2 c c c c c c x x 1 1 3，y y 4 2 3，z z 1 3 3，3 3 3 1 y y 0 1 z z 0 1 x x 0 4 4 4 即满足ABAB E E的所有矩阵为 2 c c1 1 2c c1B B 1 3c c1 c c1 其中c c1,c c2,c c3为任意常数21 此题总分值 11 分6 c c2 3 2c c2 4 3c c2c c2 1 c c3 1 2c c3 1 3c c3 c c3 10 1 1证明n n阶矩阵 1 11 001 11 002 与 相似 11 00n n 11 001 11 002 ，B B 11 00n n 1 1【详解详解】证明：设A A 1 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1 E E A A 1 1 1 1 1 1 1 1(n n)n n 1，所以 A 的n n个特征值为 1 n n,2 3 n n 0；而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且A A 0；0 E E B B 000 1 20 n n(n n)n n 1所以 B 的n n个特征值也为 1 n n,2 3 n n 0；对于n n 1重特征值 0，由于矩阵(0E E B B)B B的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应n n 1重特征值 0的特征向量应该有n n 1个线性无关，进一步矩阵 B 存在n n个线性无关的特 征向量，即矩阵 B 一定可以对角化，且B B 1 1从而可知n n阶矩阵 1 0 0 11 001 11 002 与相似 11 00n n 22 此题总分值 11 分11 设随机变量 X 的分布为P P(X X 1)P P(X X 2)从均匀分布U U(0,i i),),i i 1,2（1）求Y Y的分布函数；（2）求期望E E(Y Y).).【详解详解】1分布函数1，在给定X X i i的条件下，随机变量Y Y服2F F(y y)P P(Y Y y y)P P(Y Y y y,X X 1)P P(Y Y y y,X X 2)P P(Y Y y y/X X 1)P P(X X 1)P P(Y Y y y/X X 2)P P(X X 2)1 P P(Y Y y y/X X 1)P P(Y Y y y/X X 2)2当y y 0时，F F(y y)0；当0 y y 1时，F F(y y)11y y3y y y y；22 2411y y11 y y；22 242当1 y y 2时，F F(y y)当y y 2时，F F(y y)1所以分布函数为,y y 0 0 3 y y,0 y y 1 4F F(y y)1 y y,1 y y 2 24 1,y y 2 3 4,0 y y 1 12概率密度函数为f f(y y)F F(y y),1 y y 2，4,0其它其它 E E(Y Y)2y y33ydyydy dydy 04144123 此题总分值 11 分12 x x ,x x 0，其中 为未知的大于零的参数，设总体 X 的分布函数为F F(x x,)1 e e x x 0 0,2X X1,X X2,X Xn n是来自总体的简单随机样本，1求E E(X X),),E E(X X)；2求的极大似然估计量2 是否存在常数a a，使得对任意的 0，都有limlimP P n n a a 0n n 【详解详解】先求出总体 X 的概率密度函数 2x x x x e e,x x 0f f(x x,)，0,x x 0 2EXEX 2x x20 e e3 x x2 dxdx x x2 0 x xdede x x2 xexex x2 x x2|0 e e0 x x2 dxdx；EXEX2 2x x0 e e dxdx 1 0 x x2e e dxdx2 1 0te te dt dt ;t t极大似然函数为 x x2i i n n n n i i 1 2n nL L()f f(x xi i,)n n x xi ie e,x xi i 0i i 1i i 1 0,其它其它 当所有的观测值都大于零时，LnLLnL()n nlnln2 n n lnln x xi i 1n ni i n nlnln x x i i 11n n2i i，d d lnlnL L()0，得的极大似然估计量为 令d d x xi i 1n n2i in n；222因为X X1,X X2,X Xn n独立同分布，显然对应的X X1,X X2,X Xn n也独立同分布，又有 1n n2 个可知EXEX ，由辛钦大数定律，可得limlimP P x xi i EXEXi i 0，n n n ni i 1 2i i由前两问可知，x xi i 1n n2i i2，EXEXi i ，所以存在常数a a ，使得对任意的 0，都有n n13 limlimP P n n a a 0n n 14