2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第04讲：向量问题一含解析.pdf

2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第04讲：向量问题一（解析版）第三讲：向量问题（一）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算；拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。1、向量的数量积若。=（再，%）,匕=（占,%），则 4.）=百-2 +%2、向量的数乘若=（占，）,/7 =（七,%），则4 =助 时，与=4，=死3、向量的线性运算若。=（内，乂）,/?=（%，刈），。=（%3，必）,则c =/U +4 匕时，玉=%+号为=九乂【考点剖析】考点一：向量数量积A?21例 1.在平面直角坐标系X。），中，椭圆E：=+Z =l（a 6 0）的左顶点到右焦点的距离是3,离心率为;.a b 2（1）求椭圆E的标准方程；（2）斜率为正的直线/经过椭圆E的右焦点，且与椭圆相交于4,8 两点.已知点P（-3,0）,求P4P8的值.变式训练1：已知椭圆，+，=1（。6 0）的 离心率为半，点T（20，且）在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线 =点 +,”与椭圆交于A,8两点，点P的坐标为（2&,0）,且 为.斯=一1，求实数加的值.变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点斗鸟在坐标轴上，离心率为0,且过点4,-加).(1)求双曲线的方程；若 点 M(3M)在双曲线上，试 求 岬 的 值.例 2.已知点A(-1,0),圆B：(X-1)2+V=8,点/是圆B上的动点，%的垂直平分线与私交于点Q ,记。的轨迹为C.(1)求 C的方程；(2)设经过点E(0,。)的直线/与C交于M,N两点，求证：OM ON为定值,并求出该定值.变式训练3：已知椭圆E：的左、右 焦 点 分 别 为 小 尸 2,离心率。=冬 P为椭圆上一动点，尸耳后面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若C,。分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足连接C M交椭圆于点N,。为坐标原点.证明：OM-O N 为定值.变式训练:4：已知抛物线C 的顶点在坐标原点。，对称轴为x 轴，焦点为尸，抛物线上一点A的横坐标为2,U U U U且 R V 0 A =1 6.(1)求抛物线的方程；过 点 M(8,0)作直线/交抛物线于B,C两点，设 83 5),(7(,为)，判断OB0 C 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.例3.已知椭圆E与椭圆+(=1有共同的焦点，且椭圆E经过点(1)求椭圆E的标准方程；设尸为椭圆E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，。为坐标原点，求 的 最 小 值.变式训练5：已知椭圆%的左右焦点分别为小 6,离 心 率 为 ，P是椭圆上一点，且 叱 面积的最大值为1.(1)求椭圆的方程;(2)过人的直线交椭圆于M,N两点，求用的取值范围.变式训练6：在平面直角坐标系x。)，中，已知点耳(-2,0)、每(2,0),点M满 足 耳 卜/段=2,记点M的轨迹为C.(1)求C的方程；若直线/过圆/+/_ 2工+35=0的圆心。且与圆交于A 3两点，点P为C上一个动点，求R 4.P B的最小值.2 2例4.已知椭圆C:二+今=1(”0)的左焦点为尸(-2,0),点尸到短袖的一个端点的距离为几.a b(1)求椭圆C的方程；(2)过点/作斜率为k的直线/,与椭圆C交于A,B两 点,若。4。8 -2，求&的取值范围.变式训练7:已知椭圆G 的方程为土+y 2=l,双曲线a 的左、右焦点分别是G 的左、右顶点，而 C?的左、4右顶点分别是G 的左、右焦点.求双曲线G 的方程；(2)若直线/:y =h +四与双曲线C?恒有两个不同的交点A和 8,且O 4 O B 2(其中。为原点)，求女的取值范围.2 2变式训练8：已知双曲线C:-5=1(力 0)的浙近线方程为四2y =0,且虚轴长为2 G.a h-(1)求双曲线C 的方程；若直线/：y =6+l与双曲线C 相交于不同的两点A,B,且满足O4 O3-1,求k的取值范围.考点二：向量的数乘例 1.己知椭圆七:3+亲-=1(。)过点。-孝)且离心率e*，。为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)判断是否存在直线/,使得直线/与椭圆E相 交 于 两 点，直 线/与 丫 轴 相 交 于 点 且 满 足C N =-2 C M，若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.变式训练：1己知椭圆C:+=l(a b 0)的左右焦点分别为4，F2,焦距为2,椭圆C 的上顶点为。,。石工为正三角形，过点”的直线/与椭圆相交于4 B两点(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若 说=2 疝，求直线4 3的一般方程.变式训练2：已知抛物线C:y 2=2 p x(p 0),准线方程为x=-1.(1)求抛物线的标准方程；若定点以 2,1),直 线 1 与地物线C交于A,B两点，且=求直线1 的斜率.2 2变式训练3：若 双 曲 线 与 一 马=l(a0,b0)的焦点坐标分别为(-2及,0)和(2夜,0),且该双曲线经过点a b-P(3,1).(1)求双曲线的方程；(2)若 F 是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F,Q的直线1 与 y 轴交于点M,且MQ+2QF=0,求直线1 的斜率.考点三：双向量数乘例 1 .已知点尸(1,0)，直线/：x=T,P 为平面上的动点，过点P作/的垂线，垂足为点。，且 Q P。尸=FP FQ.(1)求动点尸的轨迹C 的方程；(2)过点厂的直线交轨迹C 于 A、B 两点，交直线/于点M.若=MB=%BF(4 w R,4 eR),求4+4 的值.f V2.变式训练1：已知椭圆C：t+2 =l(“b0)的离心率为；，短轴一个端点到右焦点厂的距离为2.a b 乙(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点尸的直线/交椭圆于4 8 两点，交丁轴于尸点，设 抬=/1,4 /8=/128尸，试判断4+4 是否为定值？请说明理由.变式训练3：已知直线/：*=加），+2过双曲线C：二-匕=1的右焦点尸，且直线/交双曲线C于A,B两点.a2 3（1）求双曲线C的方程；（2）若直线1交y轴于点A/,且 总=4 筋，M B =Z2B F，当m变化时，探究4+4的值是否为定值？若是，求出4+4的值；否则，说明理由;考点四：向量的线性运算2 2例 1 .设。为坐标原点，过椭圆E：+方=1（“匕 0）的左焦点厂（-1,0）作直线/与椭圆E交于A,B 两点,点。卜，|）在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程;（2）求 0A 8 面积的取值范围;（3）是否存在实数&,使直线/的斜率等于时，椭圆E上存在一点P 满足。P =Q 4+0 B?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.变式训练1：已知椭圆C:+W =l（a 方 0）,F（石,0）为其右焦点，过 F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所a h得的弦长为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线/：丫 =履+巩-1 左,2）与椭圆（；相交于八，B两点，O P =O A +OB，其中点P在椭圆C 上，0 为坐标原点，求I O P I 的取值范围.变式训练2：已知椭圆C的右焦点为尸(1,0),点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P,Q两点，且归。=3.(I )求椭圆C的标准方程；(I I )若直线1的倾斜角为3 0 ,且与椭圆C交于M,N两点，问是否存在这样的直线1使得B 4+硒=0?若存在，求1的方程；若不存在，说明理由.2 2变式训练3：已知A,B分别为椭圆C：鼻+%=1(4 0)的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，P F恰好垂直平分线段0 B (0为坐标原点)，PF =.(1)求椭圆C的方程；过F的直线1交C于M,N两点，若点Q满足O Q =OM+ON(Q,M,N三点不共线)，求四边形0 M Q N面积的取值范围.考点五：向量的线性运算(范围)例 1.已知圆C：x?+(y +0)2 =1 6,点 A(o,6),P是圆上任意一点，线段A P 的垂直平分线交C P 于点。，当点尸在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E,直线/：，=去+机与，轴交于点。，与曲线E 交于，N两个相异点，且MO=/L DV.(1)求曲线E 的方程；(2)是否存在实数?，使得O M+/IO N =4。？若存在，求出机的取值范围，若不存在，请说明理由.变式训练1：已知椭圆C:+/=l(a 8 0)的两个焦点分别为月弱，过点耳且与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ，N两点，i的面积为5椭圆c的 离心率为今(1)求椭圆c的标准方程；(2)已知。为坐标原点，直线/：y =履+”与 y 轴交于点P,与椭圆C 交于A ,8 两个不同的点，若存在实数A,使得O A +/IO B =4 O P，求机的取值范围.【当堂小结】1、知识清单：(1)椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；(2)向量的数量积，数乘，线性运算；(3)不等式的求解和导数单调性求解范围；2、易错点：向量的表示及其运算；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化;4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1.已知椭圆 C:*+/=1(。6 0)过点 A(-2,0),3(项.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线/过C 的右焦点交C 于M,N两点，A M A N =6,求直线/的方程.2 .己知抛物线C：y 2=2 p x(p 0)上的点(2,。到焦点厂的距离为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设纵截距为1 的直线/与抛物线C 交于A ,B两个不同的点，若 F A F B=4,求直线/的方程.3 .已知抛物线的顶点是坐标原点0,焦点在x 轴上，且抛物线上的点M(4,附到焦点的距离是5.(1)求该抛物线的标准方程和“的值；(2)若过点(2,0)的直线/与该抛物线交于A ,8 两点，求证：0408为定值.2 24 .已知椭圆。:=+4=1(。6 0),椭圆C 的其中一个焦点F 在抛物线y?=4 x 准线上，并且椭圆C 的左a b顶点到左焦点的距离为0-1.(1)求椭圆c的方程；(2)已知经过点尸的动直线/与椭圆交于不同的两点A ,B,点加卜：,。)，证明：MAM?为定值.5 .已知椭圆C：5的左、右焦点分别为耳，鸟，离 心 率 为 当 且过点(0,1).(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过点后的直线/与椭圆C 相交于A ,8两 点(A、B非椭圆顶点)，求FTARB的最大值.6.己 知 椭 圆+4=l（4 b 0）的长轴长是6,离心率是:a b 3（1）求椭圆E 的标准方程；设 O 为 坐 标 原 点，过点尸（。，2）的 直 线/与 椭 圆 交 于 A 8 两 点，判 断 是 否 存 在 常 数 使 得O4OB+2PA尸 8 为定值？若存在，求出2 的值；若不存在，请说明理由.2 27.已知椭圆C:+2 =l（a b 0）的左、右焦点分别为埠马，若焦距为4,点 P 是椭圆C 上与左、右顶点不重合的点，且耳心的面积最大值2TL（1）求椭圆C 的方程；过 点 E（-2,0）的直线机交椭圆C 于点M、N,且满足OM.ON=勺但-1（。为坐标原点），3 tanNMON求直线机的方程.8.已知双曲线C 的方程为名-2/=1 (。0),离心率为a(1)求双曲线c的标准方程；(2)过E(O,1)的直线/交曲线C 于M、N两点，求 的 取 值 范 围.9.已知椭圆C1 的方程为?+日=1,双曲线c 2 的左、右焦点分别为G 的左、右顶点，而G 的左、右顶点分别是G 的左、右焦点.(1)求双曲线c 2 的方程；(2)若直线/：y =+2 与双曲线C?恒有两个不同的交点A和 B,且。(其中。为 原 点)，求女的取值范围.1 0 .设片，鸟分别是椭圆E：+2=1（4 6 0）的左、右焦点，E 的离心率为也，点（0,1）是 E 上一点.（1）求椭圆E 的方程；过 点 的直线/交椭圆E 于 A,B两点，且 班=2 与A ,求直线/的方程.1 1 .在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点尸在x轴的正半轴上且产到双曲线Y-f =1 渐近线的距离为正.32（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线/过抛物线C 的焦点F,与抛物线C 相交于AB两点，且满足AF=4尸 8,求直线/的方程.2 212.已知椭圆C:+与=l(a 6 0),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三a b角形.(D 求椭圆的方程；UUU UU 过 点。(-1,0)的直线/交椭圆于A,B两点，交直线x=Y 于点E,S.AQ =AQ B,=求证：几+为定值，并计算出该定值.13.已知定圆A:(x+l+y 2=1 6,动圆M 过点3(1,0),且和圆A相切.(1)求动圆圆心 的轨迹E 的方程；(2)若过点5 的直线/交轨迹E 于 P,。两点，与)轴于点N,且 NP =2 PB,NQ =Q B,当直线/的倾斜角变化时，探求4+的值是否为定值？若 是,求出彳+M的值；否则，请说明理由.1 4.已知动圆M过点6(-2,0),且动圆M内切于定圆心：(x-2)?+y 2=32,记动圆圆心的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)若A、B是曲线上两点，点P满 足%+P4 +PB =0,求直线AB的方程.第三讲：向量问题(一)【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算；拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。1、向量的数量积a=(xl,yl),b=(x2,y2),贝!J a I=+%必2、向量的数乘若“=(%,),/，=(%,%),则“=时，否=*,3、向量的线性运算若。=(%,凶),人=(%2，%)，。=(X 3，%)，则 C =U+。时，刍=%玉 +工 2，、3 =4 乂 +【考 点 剖 析】考点一：向量数量积2 2例 1.在平面直角坐标系X。)，中，椭圆E：+方=l(a 6 0)的左顶点到右焦点的距离是3,离心率为，(1)求椭圆E的标准方程；(2)斜率为正的直线/经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A,8 两点.已知点P(-3,0),求抬.尸3 的值.【答案】土丫 2 +匕2 2 =1;1彳2 5.4 3 1 1解析：(1)因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3,所以a +c=3.又椭圆的离心率是不，所以一二7，解得。=2,C =l,从 而=-C?=3.2 a 22 2所以椭圆C的 标 准 方 程 工+二=1 .4 3(2)因为直线/的斜率为近，且过右焦点(1,0),所以直线/的方程为y =7 5(x-1).j =V2(x-1)联立直线/的方程与椭圆方程*y 2 ,1 4 3消去九 W11X2-*16X-4=0,其中 =16 2+16X110.解析：(1)椭圆的离心率e =迈，.匕Qa 3 a2设A(“)，S(x,y2),则玉+吟，2=-因为P(-3,0),所以尸4 尸 8=(百+3,),(%2+3,%)=(工 +3)(%2+3)+%=(玉+3)(xj +3)+2(x,-l)(x7 1)=3xix+(x,+x2)+l l12 51 T,因此P A 尸 8 的值是1胃2 5.变式训练1：已知椭圆。1(。”0)的离心率为手，点7(2 0,今 在 椭 圆 上.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线y =V 5 x+7 与椭圆交于A,8 两点，点P的坐标为(2&,0),且 为.弗=，求实数机的值.【答案】(1)+-=1；(2)m =-3.9 32则/=3好,3点T(2 近,4 在椭圆上,7解得从=3 ,则4=9 ,2 2椭 圆 的 方 程 为 三+二=1.9 3(2)设4(玉,乂),8 ,%).y=A/2X+m联立，冗 2 y 2 ,得 x1+6 a m v+3 瓶2 -9 =0.+=119 3/.A=（6 6 m）-4 x 7 x（3 加之-9）0 ,即0 根？2 1,6 7 2 3/n2-9再 +/=-/W，X2 =-,P A P B =1，二.P A 必=（苦 20）（/-2 忘）+X V 2 =（%2 也）（工 2 -2&）+（及工+/%）（&工2 +6）=3%j X2+（夜加一2 垃）（玉 +x2）+8+/n2=3+（后 一 2 应 卜（一 字）+8+/=4/+；皿 +2 9=_ ,整理得病+6 w +9 =0,解得机=3,满足A（）,故?=3.变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点用工在坐标轴上，离心率为近，且过点4 4,一 质）.（1）求双曲线的方程；若点用（3,?）在双曲线上，试求MK“鸟的值.【答案】（1）X2-/=6；（2）0解析：（1广.屋=夜，可设双曲线的方程为产一丫2 =/1（2*0）.双曲线过点尸，一 如），,16 10 =2,即4=6.双曲线的方程为Y 丁=6.（2）由（1）可知，a b l b 得 C=2G，7-260），K（2 G,0）,MF,=（-2A/3-3,-/?）,=（2 近一 3,-加），从而 MF -M F2=1 26一 3,-机）（2 6-3,-机）=-3 4-nr由 于 点 在 双 曲 线 上，.19 z2=6 ,即机2 3 =0,故5.用g=0.例2.已知点A(-1,0),圆8：(x-l +y 2=8,点P是圆8上的动点，丛的垂直平分线与PB交于点Q,记。的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设经过点E(0,空)的直线/与C交于M,N两点，求证：O M O N为定值，并求出该定值.【答案】(1)+9=1;(2)证明见解析，定值为-1解析：(1)圆B的圆心为B(l,0),半径忸丹=2夜,由点。在Q 4的垂直平分线上，得=所以|例+Q B =Q P +Q B=BP =2 j 2 AB =2 ,所以。的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，2 a =2叵,2c=2,所以。二 夜，c=l,b =,所以C的方程为+)2=l;(2)证明：当直线/的斜率不存在时，易知O M 0N =(0,1).(0,=,当直线/的斜率存在时，设/：y=kx+,”(3,乂)，3则把丫=后+且 代 入3+丁=1得3(2/+1)/+4 6区一4=0,显然()，有技/将=-寻 访，y,y2=(kxl+#)(3 +/)=公 士 赴+母 口 士 +三)+g=3 d：；，l l t 八1,八*,4-6k +1 -k 3,所 以 O M -ON=x.x2+y.y=-+-=-；-=-1,1-1 2 3(2 公+1)3(2 公+1)3(2 k2+1)综上所述，O M O N为定值-1.变式训练3：已知椭圆E：+=1(0)的左、右焦点分别为小尸2,离心率e=，P为椭圆上一动点，尸耳心面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若C,。分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足MZ)_LC,连接C M交椭圆于点N,。为坐标原点.证明：O M-O N为定值.【答案】三+亡=1：（2）。用.。汽为定值4,证明见解析4 2_也a l解析：（1）当尸为短轴端点时，耳外的面积最大，b e =2,故 儿=2，解得=2,b=c=a,故椭）2a =h+c 圆E 的 方 程 为r工2+v乙2=1.4 2（2）由（1）知，C（2,0）,5 2,0）,设直线。“e=刈+2）,%（占,乂），M D r C D,:.M（,2 Ak）,联 立 42，整理得(2 r +1)f +认 2、2+8/_4=0,y=k(x+2)c 8公 4-2-4k2 7 /4&由罚得寸药:亦 彳:#2 丁),OM-ON=2 x2,4 +4 k x =4,2 k2+1 2 k2+1 2 k2+1 2 k2+1故O M Q N 为定值4.变式训练:4：已知抛物线C 的顶点在坐标原点。，对称轴为x 轴，焦点为尸，抛物线上一点A 的横坐标为2,U U U U且 E4-OA=16.（1）求抛物线的方程;过 点 （8,0）作直线/交抛物线于氏C 两点，设 B（4 必）,。（七,）,判 断 OB.OC是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（D V=8X；是，0解析：由题意，设抛物线的方程为：/=2 p x（p 0）,所以点尸的坐标为（g o）,点A 的坐标为仅,2赤），因为力VOA=1 6,所以（2-与 2）（2,2万）=1 6,即4-p +4p=1 6,解得 =4.所以抛物线的方程为：丁=8万设直线/的方程为=切+8,二8不则联立方程-。得/一 8妙-64=0,x=k）+8所以+必=弘，y%=-64,因为O3=(X，y),OC=(w，y2)，所以 OB OC=%刍+x%=(ky+8)(y,+8)+y y2=(公+l)x%+8仪 +必)+64=-6 4(/+1)+8h8%+64=0.所以OB-OC为定值0.例 3.已知椭圆E 与椭圆：+1=1有共同的焦点，且椭圆E经 过 点 巾-0.(1)求椭圆E 的标准方程；设尸为椭圆E 的左焦点，M 为椭圆E上任意一点，。为坐标原点，求O M.FM 的最小值.2 2【答案】三+工=1；(2)24 32 2解析：由题可设椭圆E 的 方 程 为 工+工=1。-8),9+Z 8+f )(3 1 9 35由椭圆E 经过点A。,一 )可 得 先；+砥用=1，解得仁-5或，=-?(舍).所以，椭圆E 的标准方程为三+亡=1.4 3 易 知?(一1,0),设点材(%,几)，则 y=3-；尺，且一24%42,FM=(x0+l,%),3 1 1 2则 OM.FM=x0(x0+1)+=XQ 4-x04-3-x0=XQ+x0+3=(x0+2)+2 2,当且仅当/=-2 时，等号成立，故。河.方”的最小值为2.变式训练5：已知椭圆+，=1的左右焦点分别为耳，工，离 心 率 为 李，P 是椭圆上一点，且PKK面积的最大值为1.(1)求椭圆的方程；(2)过 6 的直线交椭圆于“，N 两点，求月八.K/的取值范围.r27【答案】三+丁 2=1；(2)-i,-j解析：（1）由题意可列方程组C _ 5/2a 2hx2 c =,2a2-h2=c2解得b =ic =l ,所以椭圆方程为：+?-1.a =6 2（2）当过尸2的直线与X轴垂直时，此时“（1,也），N Q-耳,耳（T O）,则片M=（2,也），F M=Q 耳1 7/.F.M-F2M =4-=-.当过尸2的直线不与X轴垂直时，可设M&,%），直线方程为y=K x-）联 立V 得:+V =1I 2（1 +2 4 2）犬-4%5 +2 炉-2 =0.所以高2 k2-2+2 k2IM-FlN=（xi+l,yl）-（x2+l,y2）=*1 +1）（占+1）+必 必=（X1+1）*2 +I）+&2（XI -1）（X2-1）=XtX2+（X1 +占）+1 +%2%+%2 -&“X|+X2）=（1 +/）王占+（1-女2）（占 +）+1 +2将韦达定理代入上式得:.RM.RN（1 +k2）（2 k2-2）+4公（1 一/）+（1 +无2）（1 +2 k2）1 +2/_ 2 r-2 +2/-2 k2+4r-4-+1 +2公+公+2/1 +2&27k。-1 +2 k2_1X（2 Z:2+1）-|1+2公7 92 4k2+2.2+4k2 2,7 924k2+29 9七队ci，7由可知E-KNG 1，5 .变式训练6：在平面直角坐标系x O y中，已知点片（-2,0）、居（2,0）,点满足|M用-附 图=2,记点M的轨迹为c.(1)求C的方程；若直线/过圆Y +y2-i2x+35=0的圆心。且与圆交于4 3两点，点 为。上一个动点，求PA.PB的最小值.2【答案 X 2-=1卜21);(2)23解析：由明留一|峭|=20力0),则2a=2,可得a=l,b=4-4 =6,所以C的方程为=2 设P&,%),则 十 _=且与2 1,圆心。(6,0),则 P4.PB=(PD+a 4)(P O +B)=(PO+ZM)(PO-)A)=Pc2-D A。=(%-6 f+1 _ 1 =(%一 6)2 *6+3_ 1)_ 12 2例4.已知椭圆C*+方=1(稣 0)的左焦点为爪-2,0),点尸到短袖的一个端点的距离为振.(1)求椭圆C的方程；(2)过点尸作斜率为左的直线/,与椭圆C交于A,8两点，O A O B -2,求的取值范围.【答案】二+父=1；卒 或)6 2 2 2解析：(1)根据题意，己知椭圆C的左焦点为尸(-2,0),则有：c=2点尸到短袖的一个端点的距离为遥，则有：a =6则 有:b=0故椭圆C的方程为：+=1=4年-12%+32=4(%-|+233因为九 2 1,则当面=5时，己.而取最小值23.(2)设过点F 作斜率为女的直线/的方程为：y=&(x+2)联立直线/与椭圆C 的方程可得：y=Z（x+2）一+/-1-16 2则有：(3公+1)/+12公X+1222-6=0,直线/过点F,所以()恒成立，不妨设A,8 两点的坐标分别为:A&,y),3(w，%),则有:xt+x2=-12k3公+112&2-6y.OA-OB=xx2+yy2且,M=公（+2）（毛+2）则有：OA-OB=xxx2+yy2=xx2+k2（X+2）（x2+2）=（攵？+1卜氏+4公+2k2（%+毛）、出 12.k 12,k 6/心、=将X一 记T 代入后可得：OA OB063k2+1若O V O B -2,则有：咯16*一 403 r+1解得：或 上 2=1,双曲线a的左、右焦点分别是G 的左、右顶点，而 G 的左、4右顶点分别是G 的左、右焦点.求双曲线c?的方程；(2)若直线/:卜=日+四与双曲线C2恒有两个不同的交点A 和 B,且0 4。8 2(其中。为原点)，求女的取值范围.则=3,C2=4,再 由/+。2=。2,得从二1故 的 方 程 为 三-丁 日32 将y=kx+42代入会-2=1,得(1 一3 公)/一6 行丘-9 =0由直线/与双曲线C?交于不同的两点，得 1-3 4 2 H o卢卜 6&0+3 6(1 _ 3&2)=3 6(1 _ r)0k2 片；且A7 /2）A x2+夜）=（公+1）再+”（王 +）+2 =又 OA-OB 2，得玉+乂%2，.Z 2,即-3 +9 0,解 得:公 3 3k2-1 3k2 3由得 0)的浙近线方程为6 r 2 y =0,且虚轴长为2 T La b(1)求双曲线C的方程；(2)若直线/：y =&+l与双曲线C相交于不同的两点A,8,且满足求2的取值范围.【答案】=：(2)-1%-在 或 正 k _1二+2则整理得3 4/0,.5/3 _u./3A ，22综上，Z的 取 值 范 围 为 且 或 且 1.2 2考点二：向量的数乘例 i.已 知 椭 圆 后 邑+方=1(。人 。)过点。卜一亭)，且离心率6=变，。为坐标原点.2(1)求椭圆E 的方程;(2)判断是否存在直线/,使得直线/与椭圆E 相交于M,N 两点，直线/与y 轴相交于点。(0,2;)，且满足C N =-2 C M，若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.【答案】;+y2=l；(2)存在，方程为 丫 =+和 y=-x +-2 5 2 51 1 IF+r=1/2 b 2 =，解得：a 2a2=b2+c2解析：(1)由题意得：b =l，椭圆E的方程为兰+丁=1；t2c=(2)由题意知：直线/斜率存在且不为零，可设/:y =f c r+立 伏*0),加(方,乂)，N(x2,y2),y=kx+J l5由9厂 2 1 4-V =12 -得：(1+2 小卜2则；X|2A,|=-X|=4非k5(1+2 用?4&85(1+2 巧 =一 解得：二=2，.乂 =也，2 2满足条件的直线/存在，方程为y =*x+或 和 y =-孝 x +好.V2 V2变式训练：1 已知椭圆C：3+齐 =l(a b()的左右焦点分别为/;；,F2,焦距为2,椭圆C的上顶点为。,。片鸟为正三角形，过点环的直线/与椭圆相交于4 8两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若 检=2 点5，求 直 线 的 一 般 方 程.2 2【答案】(1)-+-=1 ；(2)5x-2 岛+5=0 或5x +2 石 y +5=0.解析：(1)由题意得2 c =2,即c =l,因为。耳鸟为正三角形，所以4=2故从=a2 c2=3 9所以椭圆C的标准方程为三+匕=14 3(2)由题意可得直线A B 的方程为工=冲-1,联立千+?=1,得(3毋+4)/-6 吟9 =0设 4（%,电），8（，%），则 为+%=丁 ，乂必=3 疗+4 3帆+4若 说=2 ，则 X=-2%由得-%=3m+4o由得2只=3m+44m 2 _ 1由 得 前 二 而 可解得加2 =0，7 7 7 =255所以直线AB的一般方程为5 x-2岛+5=0 或5x+25+5=0变式训练2：已知抛物线C：V=2px（p 0）,准线方程为x=-1.（1）求抛物线的标准方程；若定点尸（2,1）,直 线 1 与地物线C交于A,B两点，S.AP=P B,求直线1 的斜率.【答案】（l）y 2=4x:；g 或-1解析：因为准线方程为x=-l.所以4=-1,即P=2.所以抛物线的标准方程为V=4x.设 A（X1,yJ,B ,%）由 AP=g P 8 可得7（2-玉,1-乂）=（一2,%-1）,从而有7%+%=8,即=8-7 乂，化简得=-7y-i因为直线1 过点以 2,1）,所以设直线1 的方程为x-2 =m（y l）,将其与抛物线C的方程联立得V-4%，+4/n-8=0,故乂+必=4机，-j2=4w-8.而%7 +X T =(-1)一+(乃-I =(X+)2-2必-i(y-i)(%-i)丫书-(必+必)+1=16 161 8=-7-J,即加2 一加一2 =0,解得5=2 或-1,7 7所以直线1 的斜率为g或-1.变式训练3：若双曲线三一4.=l(a 0,b0)的焦点坐标分别为(-2&,0)和(2 贬,0),且该双曲线经过点a bP(3,1).(1)求双曲线的方程；(2)若 F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过 点 F,Q的直线1 与 y轴交于点M,且MQ+2 Q 尸=0,求直线1 的斜率.【答案】工-f =1；(2)土 叵6 2 6t z2+Z?2=c2=8 r 2 6 2 2解析：9 1 ，解 得 故 双 曲 线 方 程 为 三-E=1除-7=1 9=2 6 2(2)F(2/2,0),故设直线方程为y =k(x-2 夜)贝由 MQ+2 Q F =0 得：xQ+47 2 -2XQ-0yQ+2y/2k+2(0-yQ)=0故 Q(40,2 应%),点。在双曲线上，则%-氏=1,解得4=返6 2 6直 线 1 的斜率为土我6考点三：双向量数乘例 1 .已知点尸(1,0)，直线/：x =-1,P为平面上的动点，过点P 作/的垂线，垂足为点Q,且。尸=”尸。.(1)求动点尸的轨迹C的方程；(2)过点尸的直线交轨迹C于 A、B两点，交直线/于点M.若M 4 =/t,A尸，M B =4 8 F(4 w R,4 w R),求4+4 的值.【答案】y2=4 x；(2)0.解析：(1)设点尸(x,y),则Q(-l，y),由QR Q尸=得(x+l,0).(2,-y)=(x-l,y).(-2,y),化简得曲线 C 的方程为 y2=4x ；（2）由于直线A 8 不能垂直于了 轴，且又过x 轴上的定点，设直线A B的方程为x=m y+1（相*0）,则M（-1,y 2 -4 丫 ,x=my+,.、f K+必=47 n,消去x 得 2-4冲一4=0,A=（-4/w）2+16 0,故 匕 0）的离心率为I:，短轴一个端点到右焦点F的距离为2.（1）求椭圆C的标准方程；过点尸的直线/交椭圆于A B 两点，交V轴于尸点，设R 4 =4 AF,23 =43。试判断4+4是否为定值？请说明理由.2 2【答案】三+匕=1；（2）是定值，理由见解析4 3,1解析：（1）由题可得，6 1 =用+C2=2,又6=-=彳,，。=1,a 2所 以 万=。2-,MB=B F 当 m变化时-，探究4+4的值是否为定值？若是，求出4+4的值；否则，说明理由;【答案】（1）/_ =1；（2）是定值，为解析：（1）由题知双曲线的交点在x 轴上，6=3,因为直线/：x=，孙+2 过双曲线C：二-二=1 的右焦点F,a2 3所以*2,0）,即c=2,所以=4-3 =1 ,即 a =l.所以双曲线C的方程d =1.3（2）由题知设A（大,凹）,3（无 2,必），M A =,y H “F=（2-,-乂）,MB=2，乂+、1=（2_%2,一%），因 为 忌=0,且3-，0,即，冬1 9,77 9所以 =一 藐 匚 凶 打=n2 2/22、2(y,+y j所以 4+%=_-=-2 -1-=-2-冲1 /2 2 口孙 2 J 约1%2(一 时加 24m-2 I 3布-”一 赤1-21 2忆29？9？9-33/-3m2-1所以当机变化时，探究4+4的值是定值，为|.考点四：向量的线性运算例1.设。为坐标原点，过椭圆E：1 +/=1(“b 0)的左焦点 T O)作直线/与椭圆E交于A,B两点，点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)求.QA8面积的取值范围；(3)是否存在实数女，使直线/的斜率等于4时，椭圆E上存在一点尸满足。2=。4+。8?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)二+亡=1；(2)(0；(3)不存在，理由见解析4 3 1 2a2-h2=1解析：(1)由 已 知 得1 9 解得/=4万=3,R H 7=1a 4b所以椭圆E的方程为+炉=1;4 3(2)设直线/的方程为x=ty-,A&,y j,B(孙力)，x=ty-联 立J v2,，消去X得(3 r+4卜2一6 0一9=0,4 36t 91-3/+4 1-3/+4则1=而后FH+篇-5 OAB=亦 1-|=3 产+4令yj t2+1 =m，m N 1,则产=加 1 ,6w2+1 6m 6)n 6当 3 产+4 3(疗一 1)+4 3m2+1 3 旭 +!,m由对勾函数的性质可知，=3 雨+，在口,内)上单调递增,3fti H 2 4 ,m.0 4 8 面积的取值范围为(0 9(3)假设存在实数4，使直线/的斜率等于左时，椭圆E上存在一点产满足。P =Q 4 +0B，设为。(王 0，儿),则 由(2)得6 r /、c 6/c 8%=%+%=内，%=%+寸心+%)-2 =门-2 =-许，=1，4 3解得=(),此时直线/的方程为x =-l,其斜率不存在.故不存在实数3使直线/的斜率等于左时，椭圆E上存在一点产满足。/=。4 +。/2 2变式训练1：已知椭圆。:=+与=1(“10),尸(石,0)为其右焦点，过 F垂直于x 轴的直线与椭圆相交所a b得的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/：y =丘+?(-l 6 0）,a Z r解得y =乙,2 b 2所以过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为丝=1,a所以2 b 2 =a ,由 c =G ，/=/+/,3由解得从=1 或-1（舍）4所 以/=4,所以椭圆。：二+丁=1.4（2）设 A（%,y）,3（%,%），2（%，%），由已知得O P =0 4 +OB，所以Xo=X I+N，%=%+%，由得（1+4 斤 2,2+8 A H T+4 加2-4 =0 ,rc iu-S kni所以